El volumen del prisma con álgebra

¿Para qué sirve esto?

Una fábrica de empaques no hace una sola caja: hace cajas de muchos tamaños con la misma forma. En vez de calcular el volumen de cada una por aparte, conviene tener una expresión que sirva para todas. Si el largo de la caja es siempre 2 cm mayor que el ancho, basta con llamar $x$ al ancho, escribir el volumen con $x$ y reemplazar.

Esa expresión también responde preguntas que la gente suele contestar mal, como esta: si se hace una caja con todas las medidas al doble, ¿le cabe el doble? En esta lección vas a descubrir que no, y por qué.

Antes de empezar recuerda cómo se multiplica un monomio por un polinomio y cómo se calcula el valor numérico de una expresión.

El volumen de un prisma

Medir el volumen de una caja es contar cuántos cubitos de una unidad caben en ella. Si la caja mide $l$ de largo, $a$ de ancho y $h$ de alto, en el fondo cabe una capa de $l \cdot a$ cubitos, y caben $h$ capas iguales, una encima de otra. Por eso:

$$V = l \cdot a \cdot h$$

Lo mismo vale para cualquier prisma recto, aunque su base no sea un rectángulo: cada capa tiene tantos cubitos como el área de la base, y hay tantas capas como la altura.

$$V_{\text{prisma}} = A_{\text{base}} \cdot h$$

Aristas con letras

Cuando las medidas de una caja dependen unas de otras, se pueden escribir con una letra. Si el ancho es $x$, el largo es $2$ más que el ancho y la altura es $3$, las aristas son $x$, $x + 2$ y $3$, y el volumen es el producto de las tres. Al multiplicar queda un polinomio en $x$, que da el volumen de todas las cajas de esa familia: para conocer el de una en particular, se reemplaza $x$ por su ancho.

El área superficial también se puede escribir con la letra. Se suman las tres parejas de caras, igual que con números, y se reducen los términos semejantes. Una buena costumbre es comprobar la expresión con un valor: si al reemplazar sale lo mismo que con la caja dibujada, la expresión está bien escrita.

Fíjate en una diferencia que se ve en las expresiones. En el volumen se multiplican tres longitudes, por eso sus términos tienen grado hasta 3 y sus unidades son cúbicas. En el área se multiplican dos longitudes, por eso sus términos tienen grado hasta 2 y sus unidades son cuadradas. En un cubo de arista $a$, el volumen es $a^3$ y el área es $6a^2$.

Qué pasa al agrandar una caja

Si las tres aristas de una caja se multiplican por $2$, el largo pasa a $2l$, el ancho a $2a$ y la altura a $2h$. El nuevo volumen es

$$(2l)(2a)(2h) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot l a h = 8\,l a h,$$

es decir, ocho veces el volumen de antes, no el doble. Puedes verlo con cubitos: al duplicar el largo y el ancho, cada capa tiene cuatro veces más cubitos; y al duplicar la altura hay el doble de capas. En total, $4 \cdot 2 = 8$ veces más.

Con el área pasa otra cosa. Cada cara es un rectángulo con dos lados, y al duplicar los dos su área se multiplica por $2 \cdot 2 = 4$. Como todas las caras crecen igual, el área total se multiplica por cuatro.

La regla general: si todas las aristas se multiplican por un número $k$, las áreas se multiplican por $k^2$ y los volúmenes por $k^3$. Al triplicar, el área se multiplica por 9 y el volumen por 27.

Y si solo cambia una arista, solo cambia un factor del producto: duplicar solo la altura duplica el volumen; duplicar el largo y el ancho, dejando la altura igual, lo multiplica por cuatro.

En resumen

• El volumen de una caja es largo por ancho por alto, y el de cualquier prisma recto, área de la base por altura.

• Con aristas algebraicas, el volumen y el área son polinomios que sirven para toda una familia de cajas; se calculan reemplazando la letra.

• En el volumen se multiplican tres longitudes y en el área dos; por eso uno lleva unidades cúbicas y el otro cuadradas.

• Si todas las aristas se multiplican por k, el área se multiplica por k² y el volumen por k³: al duplicar, por 4 y por 8.

• Si cambia una sola arista, el volumen cambia en la misma proporción que ella.

Vocabulario

Volumen

Espacio que ocupa un cuerpo. Se mide en unidades cúbicas, como cm³ o m³.

Ortoedro

Prisma recto cuyas seis caras son rectángulos; es la forma de una caja de zapatos.

Factor de escala

Número por el que se multiplican todas las longitudes de una figura para ampliarla o reducirla.