Volumen de pirámides y capacidad
Lo que vas a aprender
- Calcular el volumen de una pirámide como la tercera parte del prisma de igual base y altura.
- Convertir entre m³, dm³ y cm³, y entre esas unidades y los litros y mililitros.
- Resolver problemas de capacidad de recipientes con forma de prisma o de pirámide.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la etiqueta de una caja de jugo dice cuántos mililitros trae, y en la factura del agua dice cuántos metros cúbicos se gastaron en el mes. Son dos maneras de medir lo mismo: el espacio que ocupa algo. Pasar de una a otra sirve para saber cuántos vasos salen de una jarra, cuántos litros caben en un tanque o cuánta arena llena un molde.
En esta lección vas a calcular el volumen de las pirámides y a convertir volúmenes en capacidades, en litros y mililitros.
Antes de empezar recuerda que el volumen de un prisma es el área de la base por la altura, y cómo se multiplica y se divide por 10, por 100 y por 1000.
Una pirámide dentro de un prisma con la misma base y la misma altura. Si se llena la pirámide de arena y se vacía en el prisma, hay que hacerlo tres veces para llenarlo.
Explicación
El volumen de la pirámide
Toma un prisma y una pirámide que tengan la misma base y la misma altura, como en la figura. A simple vista la pirámide ocupa bastante menos, porque se va angostando hasta la cúspide. ¿Cuánto menos? Si llenas la pirámide de arena o de arroz y la vacías en el prisma, necesitas hacerlo tres veces para llenarlo. El volumen de la pirámide es, por eso, la tercera parte del volumen del prisma:
$$V_{\text{pirámide}} = \frac{1}{3}\,A_{\text{base}} \cdot h$$
Ojo: es un tercio, no la mitad. Mucha gente imagina que la pirámide llena la mitad del prisma, pero el experimento dice otra cosa. Puedes hacerlo en el salón con un prisma y una pirámide de cartulina de la misma base y la misma altura, y arroz.
La altura $h$ es la distancia de la cúspide a la base, medida en línea recta y perpendicular a ella. No es la apotema, que va por encima de una cara.
Comparar volúmenes sin calcularlo todo
La fórmula también sirve para comparar sólidos mirando solo sus medidas. Si una pirámide tiene la misma base que un prisma pero el triple de altura, el tercio y el triple se compensan, y los dos tienen el mismo volumen. Si a una pirámide se le duplica la altura y la base queda igual, su volumen se duplica, porque la altura es un solo factor del producto. En cambio, si se duplican los dos lados de una base cuadrada y la altura queda igual, el área de la base se multiplica por cuatro, y el volumen también. Y si se duplican todas sus medidas, como en el prisma, el volumen se multiplica por ocho: el tercio no cambia esa regla.
Unidades de volumen
La unidad de volumen es un cubo de una unidad de arista: $1\ \text{cm}^3$ es un cubito de $1\ \text{cm}$ de lado, $1\ \text{dm}^3$ un cubo de $1\ \text{dm}$ de lado y $1\ \text{m}^3$ un cubo de $1\ \text{m}$ de lado.
Como $1\ \text{dm} = 10\ \text{cm}$, en un cubo de $1\ \text{dm}$ de arista caben $10 \cdot 10 \cdot 10$ cubitos de $1\ \text{cm}^3$, o sea, mil. Lo mismo pasa entre metros y decímetros. Por eso, en las unidades cúbicas, cada paso vale 1000, no 10:
$$1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{dm}^3 \qquad\qquad 1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3$$
Para pasar a una unidad más pequeña se multiplica por 1000; para pasar a una más grande se divide entre 1000.
Volumen y capacidad
La capacidad de un recipiente es lo que le cabe, y se mide en litros y mililitros. La relación con el volumen es exacta: un litro es lo que le cabe a un cubo de $1\ \text{dm}$ de arista.
$$1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{L} \qquad\qquad 1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{mL} \qquad\qquad 1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{L}$$
Así, un volumen en centímetros cúbicos es ya una capacidad en mililitros, y uno en decímetros cúbicos, una capacidad en litros. Y como un litro tiene mil mililitros, igual que un decímetro cúbico tiene mil centímetros cúbicos, las dos escalas encajan.
Un consejo para los problemas
Antes de multiplicar, pon todas las medidas en la misma unidad. Si quieres el resultado en litros, lo más cómodo es medir en decímetros, porque el volumen sale directamente en $\text{dm}^3$, es decir, en litros. Y si las medidas están en centímetros, calcula en $\text{cm}^3$ y divide entre 1000 al final.
Al terminar, mira si el resultado es razonable: una caja de jugo no trae 240 litros, y un tanque de agua de una casa no tiene 3 mililitros.
Ejemplo resuelto
La pirámide y su prisma
Una pirámide tiene base cuadrada de 6 cm de lado y 5 cm de altura. ¿Cuál es su volumen? Compáralo con el del prisma de igual base y altura.
Ver la solución paso a paso
Área de la base: $6^{2}$
$36$
Volumen de la pirámide: un tercio del área de la base por la altura. $\frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5$
$60$
El prisma de igual base y altura tiene $36 \cdot 5$ cm³, exactamente el triple: $36 \cdot 5 = 3 \cdot 60$
Respuesta: la pirámide tiene 60 cm³, y el prisma, 180 cm³.
Respuesta: $60$
Llena la pirámide de agua y vacíala en el prisma de igual base y altura. Cada pirámide llena un tercio: hacen falta tres para llenar el prisma.
Ejemplo resuelto
Los litros de un tanque
Un tanque de agua tiene forma de caja y mide por dentro 2 m de largo, 1,5 m de ancho y 1 m de alto. ¿Cuántos litros le caben?
Ver la solución paso a paso
Volumen en metros cúbicos: $2 \cdot 1{,}5 \cdot 1$
$3$
Cada metro cúbico son 1000 litros: $3 \cdot 1000$
$3000$
Otra forma: en decímetros, el tanque mide 20 por 15 por 10, y el volumen sale directamente en litros. $20 \cdot 15 \cdot 10 = 3000$
Respuesta: al tanque le caben 3000 litros.
Respuesta: $3000$
Ejemplo resuelto
Una caja de jugo
Una caja de jugo mide 6 cm de largo, 4 cm de ancho y 10 cm de alto. ¿Cuántos mililitros le caben? ¿Y cuántos litros?
Ver la solución paso a paso
Volumen en centímetros cúbicos: $6 \cdot 4 \cdot 10$
$240$
Como $1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{mL}$, le caben 240 mL. Para pasarlo a litros dividimos entre 1000: $\frac{240}{1000}$
$0{,}24$
Respuesta: a la caja le caben 240 mL, que son 0,24 L, un poco menos de un cuarto de litro.
Respuesta: $0{,}24$
Ejemplo resuelto
Un molde con forma de pirámide
Un molde de gelatina tiene forma de pirámide de base cuadrada, de 12 cm de lado y 25 cm de altura. ¿Cuántos litros de gelatina le caben?
Ver la solución paso a paso
Volumen de la pirámide, en centímetros cúbicos: $\frac{1}{3} \cdot 12^{2} \cdot 25$
$\frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 25$
$1200$
Son 1200 cm³, es decir, 1200 mL. En litros: $\frac{1200}{1000}$
$1{,}2$
Respuesta: al molde le caben 1,2 L de gelatina. Si se hubiera olvidado el tercio, habrían salido 3,6 L, el triple.
Respuesta: $1{,}2$
Práctica
Una pirámide tiene base cuadrada de 9 cm de lado y 10 cm de altura. ¿Cuál es su volumen, en cm³?
La base mide 81 cm². V = 81 · 10 ÷ 3 = 270 cm³. Sin dividir entre 3 saldría el volumen del prisma, 810 cm³.
Un prisma tiene un volumen de 150 cm³. ¿Cuál es el volumen, en cm³, de una pirámide con la misma base y la misma altura?
La pirámide es la tercera parte del prisma de igual base y altura: 150 ÷ 3 = 50 cm³. 75 es tomar la mitad, y 450, multiplicar por 3 en vez de dividir.
Una pirámide tiene base rectangular de 8 cm por 6 cm y 7 cm de altura. ¿Cuál es su volumen, en cm³?
La base mide 48 cm². V = 48 · 7 ÷ 3 = 336 ÷ 3 = 112 cm³.
Una pirámide tiene un volumen de 96 cm³ y su base tiene un área de 24 cm². ¿Cuál es su altura, en cm?
De V = A · h ÷ 3 sale h = 3V ÷ A = 3 · 96 ÷ 24 = 288 ÷ 24 = 12 cm.
Un prisma y una pirámide tienen la misma base, de 9 cm², y la misma altura, de 4 cm. ¿Verdadero o falso? El volumen de la pirámide es la mitad del volumen del prisma.
El prisma tiene 9 · 4 = 36 cm³ y la pirámide la tercera parte, 12 cm³. La mitad serían 18 cm³.
Un prisma tiene una base de 10 cm² y 4 cm de altura. Una pirámide tiene la misma base y 12 cm de altura. ¿Verdadero o falso? Los dos tienen el mismo volumen.
El prisma tiene 10 · 4 = 40 cm³ y la pirámide 10 · 12 ÷ 3 = 40 cm³. La pirámide tiene el triple de altura, y eso compensa el tercio.
¿Cuántos centímetros cúbicos son 2,5 litros?
1 L = 1 dm³ = 1000 cm³, así que 2,5 L = 2,5 · 1000 = 2500 cm³. 250 sería multiplicar por 100.
¿Cuántos litros son 3,2 m³?
Cada metro cúbico son 1000 dm³, es decir, 1000 L: 3,2 · 1000 = 3200 L.
¿Cuántos litros son 750 mL?
Un litro tiene 1000 mL, así que se divide entre 1000: 750 ÷ 1000 = 0,75 L, tres cuartos de litro.
¿Verdadero o falso? A un cubo de 10 dm de arista le caben 100 litros.
Su volumen es 10 · 10 · 10 = 1000 dm³, y le caben 1000 L. Es el cubo de 1 m de arista: 1 m³ = 1000 L.
Una pecera con forma de caja mide por dentro 50 cm de largo, 30 cm de ancho y 40 cm de alto. ¿Cuántos litros le caben?
50 · 30 · 40 = 60.000 cm³. Como 1 L = 1000 cm³, son 60.000 ÷ 1000 = 60 L. 6000 es dividir entre 10, como si fueran unidades de longitud.
Para pasar 2 m³ a litros, Julián multiplica por 10 y obtiene 20 L. ¿Qué le dirías?
La equivalencia 1 m = 10 dm es de longitud. En volumen, el cubo de 1 m tiene 10 capas de 10 por 10 cubos de 1 dm³: 1000 dm³ = 1000 L.
Reto
Completa las equivalencias entre volumen y capacidad.
Elige el número que completa cada frase.
Reto
Abre el candado de los recipientes.
Cada pista da un dígito de la clave.
Cierre
En resumen
El volumen de una pirámide es un tercio del área de la base por la altura: cabe tres veces en el prisma de igual base y altura.
En las unidades cúbicas cada paso vale 1000: 1 m³ = 1000 dm³ y 1 dm³ = 1000 cm³.
1 dm³ = 1 L, 1 cm³ = 1 mL y 1 m³ = 1000 L.
Antes de calcular, todas las medidas van en la misma unidad; para obtener litros conviene medir en decímetros.
Al terminar, se revisa si la capacidad obtenida es razonable para el recipiente.
Vocabulario
- Capacidad
Cantidad de líquido o de material que cabe dentro de un recipiente. Se mide en litros (L) y mililitros (mL).
- Litro
Unidad de capacidad igual al volumen de un cubo de 1 dm de arista: 1 L = 1 dm³.
- Mililitro
La milésima parte de un litro; es igual a 1 cm³.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre una caja de jugo y pregunte cuántos centímetros cúbicos creen que tiene; luego lea en la etiqueta los mililitros.
- Explicación · 15 min — El volumen de la pirámide con el experimento de llenar con arroz; unidades cúbicas y su escala de 1000; la equivalencia 1 dm³ = 1 L. Resuelva en el tablero el ejemplo de la pirámide y el del tanque.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; los huecos y el candado en grupo. Pida estimar si el resultado es razonable antes de marcar.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante explique por qué para pasar de m³ a dm³ se multiplica por 1000 y no por 10.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué la pirámide cabe tres veces en el prisma y no dos? ¿Cómo lo comprobarían en el salón?
- Si un recipiente dice 500 mL, ¿cuántos centímetros cúbicos tiene por dentro?
- ¿Qué unidad conviene usar para medir el agua de una piscina? ¿Y la de un frasco de jarabe?
Errores típicos
- Tomar el volumen de la pirámide como la mitad del prisma. Haga el experimento de llenar una pirámide de cartulina con arroz y vaciarla en el prisma de igual base y altura.
- Olvidar el tercio y calcular el volumen del prisma. Pida escribir siempre la fórmula completa antes de reemplazar.
- Convertir unidades cúbicas con un factor de 10 o de 100. Muestre el cubo de 1 dm de arista lleno de cubitos de 1 cm: 10 · 10 · 10 = 1000.
- Multiplicar medidas en unidades distintas. Pida pasar primero todas las medidas a la misma unidad y escribirla al lado de cada número.
Tarea sugerida
Medir por dentro una caja o un recipiente con forma de prisma que haya en la casa, calcular su capacidad en mililitros y en litros, y comprobarla llenándola con una taza medidora. Después, construir en cartulina una pirámide y un prisma de la misma base y la misma altura y verificar con arroz que la pirámide cabe tres veces en el prisma.