Volumen de objetos irregulares
Lo que vas a aprender
- Medir el volumen de un objeto irregular por el agua que desplaza en un recipiente graduado o en un recipiente con forma de prisma.
- Estimar el volumen de un objeto con unidades no estandarizadas o descomponiéndolo en sólidos conocidos.
- Reconocer las fuentes de error de la medición y elegir procedimientos que lo reduzcan.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Calcular el volumen de una caja es fácil: largo por ancho por alto. Pero ¿cuál es el volumen de una piedra, de una llave, de un juguete o de una papa? No tienen aristas que medir ni fórmula que aplicar. Para esos objetos irregulares hace falta otra estrategia: dejar que el agua los mida.
En esta lección vas a medir volúmenes por desplazamiento de agua, a estimarlos cuando no tienes instrumentos y a pensar en algo que acompaña a toda medición: el error, de dónde sale y cómo hacerlo más pequeño.
Antes de empezar recuerda que $1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{mL}$ y que el volumen de un prisma es el área de la base por la altura.
Una probeta con agua antes y después de sumergir una piedra. El nivel sube, y la diferencia entre las dos lecturas es el volumen de la piedra.
Explicación
Que el agua lo mida
Cuando un objeto se hunde por completo en el agua, ocupa un lugar que antes era del agua, y el agua no tiene más remedio que subir. El volumen de agua que sube es igual al volumen del objeto. Así que basta con leer el nivel antes y después:
$$V_{\text{objeto}} = \text{lectura final} - \text{lectura inicial}$$
Si el recipiente está graduado en mililitros, el resultado sale en mililitros, y como $1\ \text{mL} = 1\ \text{cm}^3$, ya es el volumen en centímetros cúbicos.
Si no tienes un recipiente graduado pero sí uno con forma de prisma, como un acuario o una caja plástica de paredes rectas, el agua que sube forma una capa con la misma base del recipiente. Su volumen es el área de la base por cuánto subió el nivel:
$$V_{\text{objeto}} = A_{\text{base}} \cdot \text{subida}$$
Hay una tercera forma: llenar un recipiente hasta el borde, sumergir el objeto y recoger en otro recipiente el agua que se derrama. Esa agua, medida después, es el volumen del objeto.
Estimar sin instrumentos
A veces no hace falta una medida exacta, sino una buena estimación. Se puede estimar con unidades no estandarizadas: cuántas cucharadas de arena llenan un frasco, cuántos cubitos de un juego de construcción ocupan lo mismo que un juguete. Si sabes cuánto mide cada unidad, pasas la estimación a centímetros cúbicos multiplicando.
Otra estrategia es mirar el objeto y descomponerlo en sólidos que sí sabes calcular: un pisapapeles puede parecerse a un cubo con una pirámide encima; un lápiz, a un prisma largo con una pirámide en la punta. La suma de esos volúmenes es una aproximación del volumen del objeto. Si luego lo mides con agua, puedes comparar: una diferencia pequeña dice que la descomposición era buena.
El error de la medición
Ninguna medición es perfecta. Al medir con agua, el error aparece por varias razones:
- La graduación. Si la probeta tiene marcas cada cierto número de mililitros y lees la marca más cercana, cada lectura puede fallar hasta en media graduación. Como el volumen sale de restar dos lecturas, los dos errores se pueden sumar.
- La forma de leer. El agua se curva un poco contra el vidrio. Hay que leer con los ojos a la altura de la superficie, siempre de la misma manera; si se mira desde arriba o desde abajo, la lectura cambia.
- El objeto. Si queda una burbuja de aire pegada, el agua sube de más. Si el objeto flota, no se sumerge del todo y sube de menos. Si absorbe agua, como una esponja o un trozo de madera seca, se mide menos de lo que es.
- El agua que se pierde. Las gotas que salpican o que quedan en las paredes del recipiente al trasvasar se descuentan sin querer.
Cómo reducir el error
No se puede eliminar, pero se puede hacer pequeño comparado con lo que se mide, que es lo que importa:
- Medir muchos objetos iguales a la vez. Si sumerges diez canicas iguales, el agua sube diez veces más, pero el error de lectura es el mismo. Al dividir entre diez, el error que le toca a cada canica también se divide entre diez.
- Usar un recipiente angosto. El mismo volumen hace subir más el nivel en un recipiente de base pequeña, y la subida se lee con más facilidad.
- Repetir la medición varias veces y tomar el promedio.
Un error de un mililitro es enorme si mides un botón, y no importa nada si mides una piedra grande. Por eso, más que el error solo, conviene mirar qué fracción de lo medido representa.
Ejemplo resuelto
Una piedra en la probeta
Una probeta tiene agua hasta la marca de 350 mL. Al sumergir por completo una piedra, el nivel llega a 412 mL. ¿Cuál es el volumen de la piedra?
Ver la solución paso a paso
Restamos la lectura inicial de la final: $412 - 350$
$62$
Respuesta: subieron 62 mL de agua, así que la piedra tiene unos 62 cm³.
Respuesta: $62$
Ejemplo resuelto
Con un recipiente en forma de caja
Una caja plástica de paredes rectas tiene una base de 20 cm por 15 cm. Al hundir un juguete, el nivel del agua sube 1,2 cm. ¿Cuál es el volumen del juguete?
Ver la solución paso a paso
El agua que subió forma una capa de 20 por 15 de base y 1,2 de alto: $20 \cdot 15 \cdot 1{,}2$
$300 \cdot 1{,}2$
$360$
Fíjate en que una subida de poco más de un centímetro corresponde a un volumen grande, porque la base del recipiente es ancha. Si al medir la subida te equivocas en un milímetro, 0,1 cm, el volumen cambia en 30 cm³: $20 \cdot 15 \cdot 0{,}1 = 30$
Respuesta: el juguete tiene unos 360 cm³.
Respuesta: $360$
Ejemplo resuelto
Diez canicas en vez de una
Una probeta tiene marcas cada 2 mL y se lee la marca más cercana, así que la diferencia entre dos lecturas puede fallar hasta en 2 mL. Con 10 canicas iguales, el nivel pasa de 200 mL a 254 mL. ¿Cuál es el volumen de cada canica? ¿Por qué conviene medir las diez juntas?
Ver la solución paso a paso
Las diez canicas juntas desplazan: $254 - 200$
$54$
Cada canica: $\frac{54}{10}$
$5{,}4$
Si midiéramos una sola canica, el error posible, 2 mL, sería más de un tercio de lo medido: $\frac{2}{5{,}4} > \frac{1}{3}$
Con las diez juntas, el mismo error es menos del 4 % de lo medido: $\frac{2}{54} < \frac{1}{25}$
Respuesta: cada canica tiene unos 5,4 cm³. Al medir las diez juntas, el error que le toca a cada una es de apenas 0,2 mL.
Respuesta: $5{,}4$
Ejemplo resuelto
Estimar descomponiendo y comparar con el agua
Un pisapapeles de vidrio parece un cubo de 10 cm de arista con una pirámide encima, de la misma base y 6 cm de altura. Estima su volumen. Al medirlo con agua salieron 1180 mL. ¿Qué tan buena fue la estimación?
Ver la solución paso a paso
Volumen del cubo más volumen de la pirámide: $10^{3} + \frac{1}{3} \times 10^{2} \cdot 6$
$1000 + 200$
$1200$
La estimación y la medición se diferencian en: $1200 - 1180 = 20$
Esa diferencia es menos del 2 % de la estimación: $\frac{20}{1200} < \frac{1}{50}$
Respuesta: la estimación da 1200 cm³ y se aleja de la medición en 20 cm³, menos del 2 %. La descomposición en cubo y pirámide fue una buena aproximación.
Respuesta: $1200$
Práctica
Una probeta tiene agua hasta 120 mL. Al sumergir una llave, el nivel llega a 157 mL. ¿Cuál es el volumen de la llave, en cm³?
157 − 120 = 37 mL, y como 1 mL = 1 cm³, la llave tiene unos 37 cm³.
Una piedra hace subir el agua de una probeta de 400 mL a 430 mL. ¿Verdadero o falso? La piedra tiene 830 cm³.
El volumen es lo que sube el agua, la diferencia entre las lecturas: 430 − 400 = 30 cm³. Sumarlas no tiene sentido.
Un recipiente de paredes rectas tiene una base de 10 cm por 8 cm. Al sumergir una papa, el agua sube 1,5 cm. ¿Cuál es el volumen de la papa, en cm³?
El agua que sube es una capa de 10 · 8 = 80 cm² de base y 1,5 cm de alto: 80 · 1,5 = 120 cm³. 80 olvida la subida y 1200 es tomar la subida como 15.
Al sumergir 20 tornillos iguales, el agua de una probeta pasa de 300 mL a 340 mL. ¿Cuál es el volumen de cada tornillo, en cm³?
Los 20 tornillos desplazan 340 − 300 = 40 mL, y cada uno 40 ÷ 20 = 2 cm³.
Un acuario tiene una base de 40 cm por 25 cm. Al poner una roca decorativa, el agua sube 0,8 cm. ¿Cuál es el volumen de la roca, en litros?
40 · 25 · 0,8 = 800 cm³, y como 1 L = 1000 cm³, son 0,8 L.
Una probeta tiene marcas cada 10 mL, y al medir se lee la marca más cercana. ¿Cuánto puede fallar, como máximo, una lectura, en mL?
Si el nivel está entre dos marcas, la más cercana está a lo sumo a media graduación: 10 ÷ 2 = 5 mL. Como el volumen sale de restar dos lecturas, el resultado puede fallar hasta en 10 mL.
El agua subió 54 mL con 10 canicas y la diferencia entre las lecturas puede fallar hasta en 2 mL. ¿Verdadero o falso? Ese error posible es menos del 5 % de lo medido.
2 ÷ 54 ≈ 0,037, es decir, cerca del 3,7 %, que es menos del 5 %.
Una piedra de 60 cm³ se sumerge en un recipiente de paredes rectas con base de 5 cm por 4 cm. ¿Cuántos centímetros sube el agua?
La subida es el volumen dividido entre el área de la base: 60 ÷ 20 = 3 cm. En un recipiente de 10 cm por 10 cm la misma piedra lo haría subir solo 0,6 cm: el angosto se lee mejor.
Para estimar la capacidad de un frasco, Valentina lo llena con 48 cucharadas de agua. Si cada cucharada tiene 5 mL, ¿cuál es la capacidad aproximada del frasco, en mL?
48 cucharadas de 5 mL son 48 · 5 = 240 mL. 53 es sumar en vez de multiplicar, y 48 es contar cucharadas sin pasarlas a mililitros.
Un trofeo de piedra se parece a una caja de 8 cm por 8 cm por 3 cm con una pirámide encima, de base 8 cm por 8 cm y 6 cm de altura. Estima su volumen, en cm³.
La caja: 8 · 8 · 3 = 192 cm³. La pirámide: 64 · 6 ÷ 3 = 128 cm³. En total, unos 320 cm³.
Simón sumerge una esponja seca en una probeta y el agua casi no sube. ¿Por qué esta medición no da el volumen de la esponja?
El método supone que el objeto no deja entrar agua. Si la absorbe, una parte del agua se queda dentro del objeto en lugar de subir. El volumen no depende del peso.
¿Cuál de estas prácticas ayuda a reducir el error al leer una probeta?
Desde arriba o desde abajo la lectura se corre. Las salpicaduras no son el nivel, y la mano también desplaza agua.
Reto
Completa las mediciones con agua.
Elige el número que completa cada frase.
Reto
Abre el candado del laboratorio.
Cada pista da un dígito de la clave.
Cierre
En resumen
El volumen de un objeto que se hunde por completo es el volumen de agua que hace subir; en mililitros, es su volumen en centímetros cúbicos.
En un recipiente con forma de prisma, el volumen del objeto es el área de la base por la subida del nivel.
Un volumen se puede estimar con unidades no estandarizadas o descomponiendo el objeto en sólidos conocidos.
Toda medición tiene error; viene de la graduación, de la forma de leer, del objeto y del agua que se pierde.
El error se reduce midiendo muchos objetos iguales a la vez, usando recipientes angostos y repitiendo la medición.
Vocabulario
- Probeta
Recipiente alto y angosto con marcas de volumen, que se usa para medir líquidos.
- Desplazamiento de agua
Subida del nivel del agua cuando se sumerge un objeto; el agua que sube ocupa el mismo volumen que la parte sumergida del objeto.
- Graduación
Distancia entre dos marcas seguidas de un instrumento de medida; de ella depende cuánto puede fallar una lectura.
- Error de medición
Diferencia entre el valor medido y el valor verdadero. Siempre existe; lo que se busca es que sea pequeño comparado con lo medido.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre una piedra y una caja, y pregunte cómo medirían el volumen de cada una. Recoja las ideas sin corregirlas.
- Explicación · 15 min — Desplazamiento de agua en probeta y en recipiente de paredes rectas; estimación por descomposición; fuentes de error. Si hay materiales, haga la medición de una piedra frente al grupo.
- Práctica · 20 min — En grupos, midan el mismo objeto con dos recipientes distintos y comparen; luego, preguntas y retos en parejas.
- Cierre · 5 min — Que cada grupo diga qué fuente de error le pareció más importante en su medición y qué haría para reducirla.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué el agua que sube tiene el mismo volumen que el objeto sumergido?
- Si dos grupos miden la misma piedra y obtienen resultados distintos, ¿quién tiene razón? ¿Cómo lo decidirían?
- ¿Cómo medirían el volumen de un objeto que flota, como un corcho?
- ¿Por qué medir diez canicas juntas da un resultado más confiable que medir una sola?
Errores típicos
- Tomar como volumen la lectura final en lugar de la diferencia. Pida anotar siempre las dos lecturas en una tabla, con una columna para la resta.
- Creer que el volumen de un objeto depende de su peso. Compare con agua dos objetos del mismo tamaño y distinto peso, como una canica de vidrio y una bola de plastilina.
- Leer la probeta mirando desde arriba. Haga que dos estudiantes lean la misma probeta desde alturas distintas y comparen.
- Pensar que un resultado con error está mal hecho. Explique que el error siempre existe, y que lo importante es estimarlo y compararlo con lo medido.
Tarea sugerida
Escoger en la casa tres objetos pequeños que se hundan y no absorban agua (una piedra, una llave, una tuerca). Estimar el volumen de cada uno descomponiéndolo en sólidos conocidos y después medirlo con agua en un vaso medidor o en un recipiente de paredes rectas. Escribir las dos cifras, su diferencia y qué fuentes de error pudieron influir.