Datos agrupados en intervalos
Lo que vas a aprender
- Agrupar una lista de datos numéricos en intervalos de clase de igual amplitud.
- Construir una tabla con la frecuencia absoluta, la relativa y la acumulada de cada clase.
- Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias de una tabla.
- Responder preguntas sobre un conjunto de datos leyendo su tabla, su histograma o su polígono.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la clase de Ciencias de un colegio inventado, el grupo de 8.º sembró frijoles en vasos con algodón y, días después, midió la altura de cada planta. Salieron veinte números casi todos distintos. Leídos uno por uno, cuesta responder lo más sencillo: ¿la mayoría creció poco o mucho? ¿Hay plantas que se quedaron muy atrás?
Cuando los datos son muchos y casi no se repiten, contar cuántas veces aparece cada valor no ayuda, porque casi todos aparecen una sola vez. Lo que sí ayuda es repartirlos en tramos y contar cuántos caen en cada uno. Con esa tabla se dibuja un histograma, que muestra de un vistazo dónde se amontonan los datos. Así se presentan las edades de los asistentes a un evento, los tiempos de espera en una fila o las notas de una evaluación.
Antes de empezar repasa cómo pasar una fracción a decimal y a porcentaje.
Explicación
Repartir los datos en clases
Agrupar es decidir unos tramos de la recta numérica y meter cada dato en el suyo. Cada tramo se llama intervalo de clase, o simplemente clase. Para armarlas:
- Busca el dato menor y el mayor. Su diferencia es el rango, la distancia que tienen que cubrir las clases.
- Escoge cuántas clases quieres. Con muy pocas se pierde información; con demasiadas quedan clases casi vacías. Para unos veinte o treinta datos, entre cuatro y seis clases suele ir bien.
- Escoge la amplitud, el ancho de cada clase. Se divide el rango entre el número de clases y se toma un valor cómodo un poco mayor, para que el dato mayor quepa.
- Arma las clases pegadas: la primera empieza en un valor igual o menor que el dato menor, y cada una empieza donde termina la anterior.
En este curso cada clase incluye su límite inferior y no el superior. La clase $[8;\ 12)$ contiene el 8, el 9, el 10 y el 11, pero no el 12: el 12 va en la clase siguiente, $[12;\ 16)$. Gracias a esa regla, ningún dato queda en dos clases ni se queda sin clase.
Tres frecuencias para cada clase
- La frecuencia absoluta $f$ es cuántos datos caen en la clase. Si sumas las frecuencias absolutas de todas las clases, obtienes el total de datos, $n$.
- La frecuencia relativa es $\dfrac{f}{n}$: qué parte del total cae en la clase. Se puede escribir como fracción, como decimal o como porcentaje. Las relativas de todas las clases suman 1, es decir, el 100 %.
- La frecuencia acumulada $F$ es cuántos datos hay en esa clase y en todas las anteriores. Se obtiene sumando, renglón por renglón, las frecuencias absolutas. La acumulada de la última clase siempre es $n$.
La acumulada responde preguntas de la forma «¿cuántos están por debajo de...?». Y al revés: si conoces dos acumuladas seguidas, su diferencia es la frecuencia absoluta de la segunda clase.
El histograma
En un histograma, el eje horizontal es una recta numérica en la que se marcan los límites de las clases. Sobre cada clase se levanta un rectángulo; si todas las clases tienen la misma amplitud, su altura es la frecuencia. Los rectángulos van pegados, porque donde termina una clase empieza la siguiente: la variable es numérica y no hay huecos entre los tramos. Eso lo distingue del diagrama de barras de colores, deportes o marcas, donde cada barra es una categoría separada.
El polígono de frecuencias
El punto medio de cada clase se llama marca de clase: se suman los dos límites y se divide entre 2. Si sobre cada marca ubicas un punto a la altura de la frecuencia de su clase y los unes en orden, obtienes el polígono de frecuencias. Para cerrarlo, se baja hasta el eje en la marca de una clase vacía a cada lado. El polígono deja ver la forma de los datos y sirve para comparar dos grupos en el mismo dibujo.
Cómo leerlos
Frente a una tabla o un histograma, pregúntate:
- ¿Cuál es la clase con más datos? Esa es la clase modal.
- ¿Los datos se reparten parejo a los dos lados o se cargan hacia un extremo?
- ¿Hay clases aisladas, lejos del resto?
Ten presente lo que se pierde al agrupar: la tabla dice cuántos datos hay en cada clase, pero no cuánto vale cada uno.
Ejemplo resuelto
De la lista a la tabla
Estas son las alturas, en centímetros, de las 20 plantas de frijol del grupo (datos inventados): 13; 8; 17; 5; 12; 15; 9; 20; 14; 11; 16; 7; 13; 10; 19; 12; 8; 15; 22; 16. Agrúpalas en cinco clases de igual amplitud y halla las frecuencias absolutas y acumuladas.
Ver la solución paso a paso
El dato mayor es 22 y el menor es 5. El rango es $22 - 5$
$17$ cm.
Con cinco clases, la amplitud tiene que ser algo mayor que $\frac{17}{5}$
$3{,}4$. Tomamos amplitud 4 y empezamos en 4, un poco antes del dato menor. Las clases son [4; 8), [8; 12), [12; 16), [16; 20) y [20; 24). Comprobamos que el dato mayor cabe en la última:
$$4 + 5 \cdot 4 > 22$$
Ahora recorremos la lista y ponemos cada dato en su clase. En cada cuenta, contar(lista; a; b) es el número de datos de la lista que caen en [a; b): los dos últimos números son los límites de la clase. En [4; 8) caen el 5 y el 7:
$$\text{n.º de datos en }[4;\ 8) = 2$$
En [8; 12), el 8, el 9, el 11, el 10 y el otro 8:
$$\text{n.º de datos en }[8;\ 12) = 5$$
En [12; 16), el 13, el 12, el 15, el 14, el otro 13, el otro 12 y el otro 15:
$$\text{n.º de datos en }[12;\ 16) = 7$$
En [16; 20), el 17, el 16, el 19 y el otro 16:
$$\text{n.º de datos en }[16;\ 20) = 4$$
En [20; 24), el 20 y el 22. Fíjate en que el 12, el 16 y el 20 abren su clase, no cierran la anterior.
$$\text{n.º de datos en }[20;\ 24) = 2$$
Las frecuencias absolutas son 2, 5, 7, 4 y 2. Antes de seguir, comprobamos que no se nos quedó ningún dato: $2 + 5 + 7 + 4 + 2$
$20$, el total de plantas.
Las acumuladas se obtienen sumando renglón por renglón. La primera es 2, y la segunda es $2 + 5$
$7$
La tercera: $7 + 7$
$14$
La cuarta: $14 + 4$
$18$
Y la última, que tiene que dar el total: $18 + 2$
$20$
Respuesta: Las clases [4; 8), [8; 12), [12; 16), [16; 20) y [20; 24) tienen frecuencias 2, 5, 7, 4 y 2, y frecuencias acumuladas 2, 7, 14, 18 y 20.
Ejemplo resuelto
Frecuencias relativas y porcentajes
Con la tabla de las plantas, halla la frecuencia relativa de la clase modal y el porcentaje de plantas que miden menos de 16 cm.
Ver la solución paso a paso
La clase modal es [12; 16), con 7 de las 20 plantas. Su frecuencia relativa es $\frac{7}{20}$
$0{,}35$, que en porcentaje es el 35 %.
Las plantas de menos de 16 cm son las de las tres primeras clases, y cuántas son lo dice la acumulada de la tercera clase, 14:
$$\text{n.º de datos en }[4;\ 16) = 14$$
Como fracción del total: $\frac{14}{20}$
$0{,}7$
Es decir, el 70 % de las plantas mide menos de 16 cm. Para terminar, comprobamos que las cinco frecuencias relativas suman 1: $\frac{2}{20} + \frac{5}{20} + \frac{7}{20} + \frac{4}{20} + \frac{2}{20}$
$1$
Respuesta: La clase modal reúne el 35 % de las plantas, y el 70 % mide menos de 16 cm.
Ejemplo resuelto
Marcas de clase y polígono de frecuencias
Halla las marcas de clase de la tabla de las plantas y di qué puntos hay que unir para dibujar el polígono de frecuencias.
Ver la solución paso a paso
La marca de la primera clase, [4; 8), es el punto medio de sus límites: $\frac{4 + 8}{2}$
$6$
Como todas las clases tienen amplitud 4, cada marca es la anterior más 4. La marca de la última clase, [20; 24), es $\frac{20 + 24}{2}$
$22$, y las cinco marcas son 6, 10, 14, 18 y 22.
Sobre cada marca ubicamos un punto a la altura de la frecuencia de su clase: (6; 2), (10; 5), (14; 7), (18; 4) y (22; 2). Para cerrar el polígono bajamos al eje en las marcas de las clases vacías de los extremos, que están 4 unidades antes de la primera y 4 después de la última: $6 - 4$
$2$ y
$$22 + 4$$
$26$. El polígono une (2; 0), (6; 2), (10; 5), (14; 7), (18; 4), (22; 2) y (26; 0). Su pico está en la clase modal, y baja más o menos parejo hacia los dos lados: las alturas se reparten de forma casi simétrica.
Respuesta: Las marcas son 6, 10, 14, 18 y 22. El polígono une (2; 0), (6; 2), (10; 5), (14; 7), (18; 4), (22; 2) y (26; 0).
Histograma de las alturas de las plantas (en cm): los rectángulos sobre [4; 8), [8; 12), [12; 16), [16; 20) y [20; 24) miden 2, 5, 7, 4 y 2. La línea punteada es el polígono de frecuencias, que une los puntos sobre las marcas de clase.
Práctica
Las masas, en gramos, de 15 huevos de una granja inventada son: 52; 61; 58; 49; 55; 63; 57; 50; 60; 54; 59; 62; 51; 56; 60. ¿Cuántos huevos caen en la clase [55; 60)?
Caen 58, 55, 57, 59 y 56. El 55 sí entra, porque es el límite inferior; los dos huevos de 60 g no, porque el límite superior no pertenece a la clase: van en [60; 65).
En la lista de las alturas de las 20 plantas (13; 8; 17; 5; 12; 15; 9; 20; 14; 11; 16; 7; 13; 10; 19; 12; 8; 15; 22; 16), ¿cuál es la frecuencia relativa de la clase [8; 12)? Escríbela como decimal.
En [8; 12) hay 5 plantas: el 8, el 9, el 11, el 10 y el otro 8. La frecuencia relativa es 5 ÷ 20 = 0,25, el 25 %. El 12 no se cuenta: abre la clase [12; 16).
En una tabla de frecuencias, la acumulada de la segunda clase es 9 y la de la tercera es 21. ¿Cuántos datos tiene la tercera clase?
La acumulada de la tercera clase cuenta los datos de las tres primeras; la de la segunda, los de las dos primeras. La diferencia, 21 − 9 = 12, son los de la tercera. 30 sale de sumar las acumuladas, y 21 es la acumulada, no la frecuencia de la clase.
Las frecuencias absolutas de las cuatro clases de una tabla son 3, 7, 8 y 6, en ese orden. ¿Cuál es la frecuencia acumulada de la tercera clase?
Se suman la tercera clase y las anteriores: 3 + 7 + 8 = 18. El 6 es de la cuarta clase y no entra.
Con la lista de las 20 plantas (13; 8; 17; 5; 12; 15; 9; 20; 14; 11; 16; 7; 13; 10; 19; 12; 8; 15; 22; 16), ¿qué porcentaje de las plantas mide 16 cm o más?
Miden 16 cm o más las plantas de [16; 20) y de [20; 24): 4 + 2 = 6 de 20, y 6 ÷ 20 = 0,3, el 30 %. El 70 % son las que miden menos de 16 cm, y 6 es el número de plantas, no el porcentaje.
En la lista de las 20 plantas (13; 8; 17; 5; 12; 15; 9; 20; 14; 11; 16; 7; 13; 10; 19; 12; 8; 15; 22; 16), ¿cuántas miden al menos 8 cm y menos de 16 cm?
Son las de [8; 12) y [12; 16): 5 + 7 = 12. Con la tabla también sale: la acumulada de [12; 16) es 14 y la de [4; 8) es 2, y 14 − 2 = 12.
¿Verdadero o falso? Una planta que mide exactamente 12 cm se cuenta en la clase [8; 12).
La clase [8; 12) no incluye su límite superior. La planta de 12 cm va en [12; 16), la clase que empieza en 12.
¿Cuál es la marca de clase del intervalo [30; 45)? Escríbela como decimal.
La marca de clase es el punto medio: (30 + 45) ÷ 2 = 75 ÷ 2 = 37,5. No tiene que ser un número entero.
Un histograma tiene cuatro rectángulos, de alturas 4, 9, 12 y 5. ¿Cuántos datos representa?
Cada altura es la frecuencia de una clase, y el total de datos es la suma de las frecuencias: 4 + 9 + 12 + 5 = 30. 12 es solo la frecuencia de la clase modal, y 4 es el número de clases.
¿Verdadero o falso? En la tabla de las 20 plantas, las frecuencias relativas de las clases [4; 8), [8; 12), [12; 16), [16; 20) y [20; 24) suman 1.
Cada planta está en una y solo una clase, así que las relativas suman 20/20 = 1, el 100 %: 0,1 + 0,25 + 0,35 + 0,2 + 0,1 = 1.
¿Dónde van los vértices del polígono de frecuencias?
Cada vértice representa una clase: va sobre su punto medio, la marca de clase, y tan alto como su frecuencia. Por eso el polígono pasa por el centro del techo de cada rectángulo del histograma.
Reto
Abre el candado contando plantas.
Las alturas de las 20 plantas, en cm, son: 13; 8; 17; 5; 12; 15; 9; 20; 14; 11; 16; 7; 13; 10; 19; 12; 8; 15; 22; 16. Cada pista da un dígito.
Reto
Completa la tabla de las bicicletas.
Una tienda inventada anotó los minutos que tardó cada arreglo de bicicleta. Las clases son [0; 20), [20; 40), [40; 60) y [60; 80), con frecuencias 6, 9, 3 y 2.
Reto
Encuentra las palabras de los datos agrupados.
Busca las seis palabras en horizontal, en vertical o en diagonal. No llevan tildes.
Cierre
En resumen
Para agrupar datos se reparten en clases pegadas de igual amplitud; cada clase incluye su límite inferior y no el superior, así que cada dato cae en una sola clase.
La frecuencia absoluta cuenta los datos de una clase; la relativa es esa cuenta dividida entre el total, y las relativas suman 1.
La frecuencia acumulada suma la clase y todas las anteriores; la de la última clase es el total de datos.
El histograma tiene un rectángulo pegado por clase con altura igual a la frecuencia; el polígono de frecuencias une los puntos sobre las marcas de clase.
Al agrupar se gana una imagen clara de dónde se amontonan los datos, pero se pierde el valor exacto de cada uno.
Vocabulario
- Intervalo de clase
Cada tramo en que se reparten los datos. Incluye su límite inferior y no el superior, como [8; 12).
- Amplitud
El ancho de un intervalo de clase: límite superior menos límite inferior.
- Frecuencia absoluta
Cuántos datos caen en una clase. Se escribe f.
- Frecuencia relativa
La frecuencia absoluta dividida entre el total de datos. Se puede dar como fracción, decimal o porcentaje.
- Frecuencia acumulada
Los datos de una clase más los de todas las clases anteriores. Se escribe F.
- Marca de clase
El punto medio de un intervalo de clase.
- Histograma
Gráfico de barras pegadas, una por clase, con la altura igual a la frecuencia cuando las clases tienen la misma amplitud.
- Polígono de frecuencias
Línea quebrada que une, en orden, los puntos ubicados sobre la marca de cada clase a la altura de su frecuencia.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Proyecte la lista de las 20 alturas sin ordenar y pregunte qué pueden decir de ella en un minuto. Después pregunte cómo la organizarían.
- Explicación · 15 min — Arme la tabla del primer ejemplo en el tablero, tachando cada dato de la lista a medida que se ubica. Pida que digan en voz alta en qué clase van el 12, el 16 y el 20.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Entregue papel cuadriculado para que dibujen el histograma y el polígono de las plantas antes de mirar la figura, y comparen.
- Cierre · 5 min — Pregunte qué se gana y qué se pierde al agrupar los datos.
Preguntas para el salón
- Si una planta midiera 24 cm, ¿en qué clase iría? ¿Qué habría que hacer con la tabla?
- ¿Qué pasaría con el histograma de las plantas si usáramos clases de amplitud 1? ¿Y de amplitud 10?
- ¿Por qué la última frecuencia acumulada tiene que ser igual al total de datos?
- ¿En qué se parece y en qué se diferencia un histograma de un diagrama de barras de deportes favoritos?
Errores típicos
- Contar un dato que coincide con un límite en las dos clases, o en ninguna. Escriba siempre las clases con corchete y paréntesis, [8; 12), y haga una ronda rápida de «¿dónde va el 12?».
- Dejar espacios entre los rectángulos del histograma. Pida que marquen en el eje los límites de clase y que cada rectángulo empiece exactamente donde termina el anterior.
- Confundir la frecuencia acumulada con la absoluta al leer la tabla. Pida que subrayen en la pregunta si dice «en la clase» o «hasta la clase» antes de responder.
- Dar la frecuencia relativa como número de datos y no como parte del total. Pida que la escriban primero como fracción con el total en el denominador, y solo después como decimal o porcentaje.
Tarea sugerida
Medir el largo, en centímetros, de la mano de 20 personas de la familia o del barrio, agrupar los datos en cuatro o cinco clases de igual amplitud, completar la tabla con las tres frecuencias y dibujar el histograma y el polígono.