Medidas de tendencia central con datos agrupados

¿Para qué sirve esto?

La coordinación de un colegio inventado quiere saber cuánto tardan sus estudiantes en llegar en la mañana, para decidir si vale la pena correr la hora de entrada. La mayoría vive cerca, pero unos pocos vienen de una vereda lejana. Si alguien dice «en promedio tardan veinte minutos», ¿eso describe bien al grupo? ¿O los que viven lejos están cambiando la foto?

Muchas veces no tienes la lista de los datos, sino solo una tabla de frecuencias con intervalos: así se publican las encuestas y los informes. En esta lección aprendes a sacar de esa tabla un valor que represente al grupo, a decidir cuál de las medidas lo representa mejor y a prever qué pasa cuando llegan datos nuevos.

Antes de empezar repasa cómo se calculan la media, la mediana y la moda de una lista, y cómo se arma una tabla de frecuencias con intervalos.

La media con las marcas de clase

Con la lista completa, la media es la suma de todos los datos dividida entre cuántos son. Con la tabla, en cambio, no sabes cuánto vale cada dato: solo sabes en qué clase cae. La salida es suponer que todos los datos de una clase valen su marca de clase, el punto medio del intervalo. Entonces cada marca se cuenta tantas veces como su frecuencia:

$$\bar{x} \approx \frac{m_1 \cdot f_1 + m_2 \cdot f_2 + \cdots + m_k \cdot f_k}{n}$$

donde $m$ es la marca de cada clase, $f$ su frecuencia y $n$ el total de datos. Fíjate en el denominador: se divide entre el total de datos, no entre el número de clases.

El resultado es una media aproximada. Dentro de cada clase hay datos por encima y por debajo de la marca; muchas veces esos errores se compensan en parte, pero casi nunca del todo. Por eso se escribe con el signo $\approx$ y se dice «aproximadamente».

La clase modal

Con datos agrupados no se habla del dato que más se repite, sino de la clase modal: la clase con mayor frecuencia. En el histograma es el rectángulo más alto. Responde a la pregunta «¿qué es lo más común?».

La clase de la mediana

La mediana es el dato del centro cuando los datos se ordenan de menor a mayor. Con $n$ datos:

• si $n$ es impar, la mediana ocupa el lugar $\dfrac{n + 1}{2}$;
• si $n$ es par, está entre los lugares $\dfrac{n}{2}$ y $\dfrac{n}{2} + 1$.

Con la tabla no se ve el dato, pero sí en qué clase está. Para encontrarla se recorren las frecuencias acumuladas hasta la primera que alcance el lugar de la mediana: esa es la clase de la mediana. La mitad de los datos está por debajo de la mediana y la otra mitad por encima. Si $n$ es par y los dos lugares del centro quedan en clases distintas, la mediana es el promedio de esos dos datos: queda entre ellos, a uno u otro lado del límite entre las dos clases, y con la tabla sola no se puede saber su valor exacto. Por ejemplo, si los datos del centro son 18, en $[10;\ 20)$, y 25, en $[20;\ 30)$, la mediana es $21{,}5$, no 20.

¿Cuál representa mejor a los datos?

• Si el histograma es más o menos simétrico, la media, la mediana y la clase modal quedan cerca, y cualquiera sirve. La media tiene la ventaja de usar todos los datos.
• Si hay unos pocos datos atípicos, muy alejados del resto, la media se va hacia ellos, porque los suma. La mediana casi no se mueve, porque solo le importa el orden. En ese caso la mediana describe mejor al estudiante «del medio».
• Si la pregunta es por lo más frecuente, como la talla de uniforme que más se pide, la respuesta es la clase modal.

El rango

El rango es el dato mayor menos el dato menor, y mide qué tan extendidos están los datos. Con la lista se calcula exacto. Con la tabla solo se puede decir que es menor que la distancia entre el límite inferior de la primera clase y el superior de la última. Dos grupos pueden tener la misma media y rangos muy distintos: por eso conviene dar una medida de tendencia central acompañada del rango.

Cuando llegan datos nuevos

Si se agregan datos, todas las medidas pueden cambiar. Unos datos nuevos muy grandes suben la media, a veces bastante; la mediana se mueve poco o nada; el rango solo crece si alguno de los nuevos queda por fuera de los extremos. Por eso, antes de decir que unos datos olvidados «no cambian los resultados», hay que hacer las cuentas.

En resumen

• Con datos agrupados, la media se aproxima suponiendo que cada dato vale la marca de su clase; se multiplica cada marca por su frecuencia, se suma y se divide entre el total de datos.

• La clase modal es la de mayor frecuencia; la clase de la mediana es la primera cuya frecuencia acumulada alcanza el lugar del dato central.

• Si hay datos atípicos, la media se va hacia ellos y la mediana casi no se mueve; entonces la mediana describe mejor al dato típico.

• El rango, dato mayor menos dato menor, dice qué tan extendidos están los datos y conviene darlo junto con una medida de tendencia central.

• Cuando llegan datos nuevos hay que volver a calcular: la media puede cambiar mucho aunque la mediana se quede quieta.

Vocabulario

Media aproximada

La media que se calcula con la tabla, suponiendo que cada dato vale la marca de su clase.

Clase modal

La clase con mayor frecuencia absoluta.

Clase de la mediana

La clase en la que cae el dato del centro cuando los datos se ordenan; es la primera cuya frecuencia acumulada alcanza la posición de la mediana.

Rango

La diferencia entre el dato mayor y el dato menor.

Dato atípico

Un dato muy alejado de la mayoría de los demás.