Espacio muestral y probabilidad
Lo que vas a aprender
- Distinguir un experimento aleatorio de uno que no lo es.
- Enumerar el espacio muestral de un experimento con una lista, una tabla de doble entrada o un diagrama de árbol.
- Identificar los resultados favorables a un evento y calcular su probabilidad cuando los resultados son igual de posibles.
- Explicar por qué una probabilidad siempre está entre 0 y 1, y reconocer los eventos imposibles y seguros.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la rifa del curso, ¿conviene más comprar la boleta 7 o la 23? En un juego de mesa, ¿es más fácil que los dos dados sumen 7 o que sumen 12? Antes de responder «da lo mismo» o «el 7 tiene suerte», hay que hacer algo muy concreto: escribir todo lo que puede pasar y contar.
La probabilidad es la parte de las matemáticas que mide qué tan posible es que algo ocurra. Se usa para decidir con información cuando no se puede saber el resultado de antemano: para diseñar un juego justo, para leer un pronóstico del clima o para entender por qué casi nadie gana una lotería. En esta lección aprendes el primer paso de todo eso: hacer la lista completa de resultados y calcular, a partir de ella, una probabilidad.
Antes de empezar repasa cómo simplificar fracciones y cómo pasar una fracción a decimal y a porcentaje.
Explicación
Experimentos aleatorios
Un experimento aleatorio es una acción que se puede repetir en las mismas condiciones y cuyo resultado no se puede predecir con certeza: lanzar una moneda, lanzar un dado, girar una ruleta, sacar sin mirar una balota de una bolsa. En cambio, soltar una piedra para ver si cae, o sumar 3 + 4, no son experimentos aleatorios: el resultado se sabe antes.
El espacio muestral
El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles. Se escribe entre llaves, separando con punto y coma. Al lanzar un dado es $\{1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6\}$; al lanzar una moneda, $\{\text{cara};\ \text{sello}\}$. Hay tres maneras de enumerarlo, y conviene escoger según el experimento:
- Una lista, cuando el experimento tiene un solo paso: girar una ruleta, sacar una carta.
- Una tabla de doble entrada, cuando hay dos pasos: cada fila es un resultado del primero y cada columna un resultado del segundo. Cada casilla es un resultado del experimento completo.
- Un diagrama de árbol, cuando hay dos o más pasos. De un punto inicial salen ramas, una por cada resultado del primer paso; de cada una salen ramas para el segundo paso, y así sucesivamente. Cada camino completo, de la raíz a una punta, es un resultado.
En la tabla y en el árbol se ve una regla útil: si el primer paso tiene $a$ resultados y el segundo tiene $b$, el experimento completo tiene $a \cdot b$ resultados.
Lo importante es que la lista quede completa y sin repeticiones. Al lanzar dos dados, «un 2 en el primero y un 5 en el segundo» y «un 5 en el primero y un 2 en el segundo» son resultados distintos, aunque la suma sea la misma. Pensar que los dados son de colores distintos, uno rojo y uno azul, ayuda a no olvidarlo.
Eventos y resultados favorables
Un evento es una condición sobre el resultado, como «sacar un número par». Los resultados que la cumplen son los favorables: para «sacar un número par» en un dado son 2, 4 y 6.
La probabilidad
Cuando todos los resultados del espacio muestral son igual de posibles (el dado no está cargado, las balotas son del mismo tamaño, los sectores de la ruleta son iguales), la probabilidad de un evento $A$ es
$$P(A) = \frac{\text{número de resultados favorables}}{\text{número de resultados posibles}}.$$
Como los favorables son parte de los posibles, el numerador nunca es mayor que el denominador ni es negativo. Por eso toda probabilidad está entre 0 y 1:
- Si ningún resultado es favorable, la probabilidad es 0: el evento es imposible, como sacar un 7 con un dado.
- Si todos los resultados son favorables, la probabilidad es 1: el evento es seguro, como sacar un número menor que 7 con un dado.
- Entre más cerca de 1, más posible es el evento. Una probabilidad se puede dar como fracción, como decimal o como porcentaje.
Un número mayor que 1 o negativo nunca es una probabilidad: si una cuenta te da eso, hay un error. Y ojo con otra trampa: que haya dos resultados, como «gana» o «pierde», no quiere decir que cada uno tenga probabilidad un medio. Eso solo pasa si los dos son igual de posibles.
Con esto ya se responde la primera pregunta: en una rifa honesta todas las boletas son igual de posibles, así que la 7 y la 23 tienen la misma probabilidad, 1 entre el número de boletas. No hay boletas con suerte.
Ejemplo resuelto
Con una lista
Una ruleta tiene 10 sectores iguales, numerados del 1 al 10. La giras una vez. Escribe el espacio muestral y halla la probabilidad de que salga un número primo.
Ver la solución paso a paso
El espacio muestral es la lista de los diez números: {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}. Como los sectores son iguales, los diez resultados son igual de posibles.
Los primos del 1 al 10 son 2, 3, 5 y 7 (el 1 no es primo). Hay 4 resultados favorables, así que la probabilidad es $\frac{4}{10}$
$\frac{2}{5}$
$0{,}4$, es decir, el 40 %.
Respuesta: $\frac{2}{5}$
Al lanzar un dado rojo y uno azul, la tabla de doble entrada tiene una fila para cada resultado del dado rojo y una columna para cada resultado del azul. En cada casilla está la suma de los dos:
| Rojo \ Azul | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
La otra pregunta del principio también se responde con la tabla: la suma 7 aparece en seis casillas, una en cada fila, y la suma 12 en una sola.
Ejemplo resuelto
Con una tabla de doble entrada
Lanzas un dado rojo y uno azul, los dos de 6 caras, y sumas los puntos. Con la tabla de las sumas, halla la probabilidad de que la suma sea 9, la de que sea 12 y la de que sea 1.
Ver la solución paso a paso
Cada casilla es un resultado. Hay 6 filas y 6 columnas, así que los resultados posibles son $6 \cdot 6$
$36$, todos igual de posibles.
La suma es 9 en cuatro casillas: rojo 3 y azul 6, rojo 4 y azul 5, rojo 5 y azul 4, rojo 6 y azul 3. La probabilidad es $\frac{4}{36}$
$\frac{1}{9}$
La suma es 12 solo cuando los dos dados dan 6, es decir, en una sola casilla:
$$6 + 6 = 12$$
Su probabilidad es $\frac{1}{36}$
Ninguna casilla tiene suma 1, porque cada dado da al menos 1 punto. Es un evento imposible: $\frac{0}{36}$
$0$
Comparamos: sacar suma 9 es cuatro veces más posible que sacar suma 12, y las dos probabilidades son positivas y menores que 1:
$$\frac{1}{36} < \frac{1}{9} < 1$$
Respuesta: La probabilidad de suma 9 es 1/9; la de suma 12, 1/36; y la de suma 1, 0, porque es imposible.
Lanza los dados rojo y azul muchas veces y compara cada barra con su probabilidad: la suma 9 sale en 4 de las 36 casillas, y la 12 en una sola.
Ejemplo resuelto
Con un diagrama de árbol
Lanzas una moneda tres veces seguidas. Enumera el espacio muestral con un árbol y halla la probabilidad de obtener exactamente dos caras.
Ver la solución paso a paso
Del punto inicial salen dos ramas, C (cara) y S (sello), para el primer lanzamiento. De cada una salen otras dos para el segundo, y de cada una de esas, dos más para el tercero. El número de caminos completos es $2 \cdot 2 \cdot 2$
$8$
Leyendo los caminos de arriba abajo, el espacio muestral es {CCC; CCS; CSC; CSS; SCC; SCS; SSC; SSS}. Los ocho son igual de posibles.
Tienen exactamente dos caras CCS, CSC y SCC: 3 resultados favorables. CCC no cuenta, porque tiene tres. La probabilidad es $\frac{3}{8}$
$0{,}375$, es decir, el 37,5 %.
Respuesta: $\frac{3}{8}$
Práctica
Lanzas una moneda y después un dado de 6 caras. ¿Cuántos resultados tiene el espacio muestral?
La moneda tiene 2 resultados y el dado 6. En una tabla de doble entrada son 2 filas por 6 columnas: 2 · 6 = 12 resultados, de C1 a S6.
Giras una ruleta de 4 sectores iguales, de colores rojo, azul, verde y amarillo, y después lanzas una moneda. ¿Cuántos caminos completos tiene el diagrama de árbol?
Del inicio salen 4 ramas, una por color, y de cada una salen 2, cara y sello: 4 · 2 = 8 caminos.
Una bolsa tiene 3 balotas rojas, 5 azules y 2 verdes, todas del mismo tamaño. Sacas una sin mirar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea azul?
Hay 10 balotas y 5 son azules: 5/10 = 1/2. La respuesta 1/3 cuenta colores en vez de balotas, pero los colores no son igual de posibles. 1 sale de dividir las azules entre las que no son azules (5 ÷ 5).
Lanzas un dado de 6 caras. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número mayor que 4?
Los números mayores que 4 son 5 y 6: 2 de 6 resultados, 2/6 = 1/3. 2/3 cuenta los números hasta 4, y 2 es el número de casos favorables, que no es una probabilidad.
Lanzas dos dados de 6 caras y sumas los puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 10? Escríbela como fracción simplificada.
En la tabla, la suma es 10 en tres casillas: 4 y 6, 5 y 5, 6 y 4. Son 3 de 36 resultados: 3/36 = 1/12. Si contaste solo dos, olvidaste que 4 y 6 y 6 y 4 son resultados distintos.
Lanzas una moneda 3 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en los tres lanzamientos? Escríbela como fracción.
El árbol tiene 2 · 2 · 2 = 8 caminos y solo uno es CCC: 1/8.
Lanzas una moneda y un dado de 6 caras. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara y un número par?
De los 12 resultados, son favorables C2, C4 y C6: 3/12 = 1/4. 1/2 es solo la probabilidad de cara, y 1/12 cuenta un solo resultado favorable.
Marca todos los números que pueden ser la probabilidad de un evento.
Marca todas las que apliquen.
Una probabilidad está entre 0 y 1, con los dos extremos incluidos: 0 es la de un evento imposible y 1 la de uno seguro. 1,2 y 9/8 son mayores que 1, y −1/2 es negativo.
¿Verdadero o falso? Al lanzar dos dados de 6 caras, la probabilidad de que la suma sea 13 es 0.
La suma mayor es 6 + 6 = 12, así que ninguna casilla de la tabla tiene suma 13: el evento es imposible y su probabilidad es 0.
¿Cuál de estas situaciones es un experimento aleatorio?
Antes de sacar la carta no se sabe cuál saldrá, y la acción se puede repetir en las mismas condiciones. En las otras tres situaciones el resultado se conoce de antemano.
Reto
Abre el candado contando resultados.
Cada pista da un dígito: cuántos resultados se piden.
Reto
Las probabilidades de la bolsa.
Una bolsa tiene 4 balotas rojas, 3 azules y 1 blanca, todas del mismo tamaño. Se saca una sin mirar.
Reto
Encuentra las palabras de la probabilidad.
Busca las seis palabras en horizontal, en vertical o en diagonal. No llevan tildes.
Cierre
En resumen
Un experimento aleatorio se puede repetir en las mismas condiciones y su resultado no se puede predecir con certeza.
El espacio muestral es la lista completa de resultados; se enumera con una lista, una tabla de doble entrada o un diagrama de árbol.
Un evento es una condición sobre el resultado, y sus resultados favorables son los que la cumplen.
Si los resultados son igual de posibles, la probabilidad es el número de favorables dividido entre el número de posibles.
Toda probabilidad está entre 0 y 1; un evento imposible tiene probabilidad 0 y uno seguro, 1.
Vocabulario
- Experimento aleatorio
Una acción que se puede repetir en las mismas condiciones y cuyo resultado no se puede saber con certeza antes de hacerla.
- Espacio muestral
El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
- Evento
Un grupo de resultados del espacio muestral, descrito con una condición, como «sacar un número par».
- Resultado favorable
Un resultado que cumple la condición del evento.
- Evento imposible
Un evento sin ningún resultado favorable. Su probabilidad es 0.
- Evento seguro
Un evento al que le son favorables todos los resultados. Su probabilidad es 1.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte si es más fácil que dos dados sumen 7 o que sumen 12, y anote las apuestas del grupo sin corregirlas.
- Explicación · 15 min — Construya con el grupo la tabla de las sumas en el tablero y el árbol de las tres monedas. Use dos dados de colores distintos para mostrar que 2 y 5 no es lo mismo que 5 y 2.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Si hay tiempo, que cada pareja lance dos dados 30 veces y anote las sumas; el curso junta los datos y los compara con la tabla.
- Cierre · 5 min — Vuelva a la apuesta del inicio y resuélvanla con la tabla: 6 de 36 frente a 1 de 36.
Preguntas para el salón
- Si una cuenta de probabilidad les da 5/4, ¿qué pudo salir mal?
- Un compañero dice que al lanzar dos monedas hay tres resultados (dos caras, dos sellos, una de cada) y que cada uno tiene probabilidad 1/3. ¿Tiene razón?
- ¿Cuándo conviene una tabla de doble entrada y cuándo un árbol?
- Inventen un evento imposible y uno seguro para el experimento de girar la ruleta del 1 al 10.
Errores típicos
- Contar como un solo resultado «2 y 5» y «5 y 2» al lanzar dos dados. Use dados de dos colores y pida que nombren primero el dado rojo y después el azul.
- Suponer que todos los resultados descritos son igual de posibles, como «gana o pierde» con probabilidad 1/2 cada uno. Muestre la bolsa con 3 rojas, 5 azules y 2 verdes: hay tres colores, pero la probabilidad de azul no es 1/3.
- Dividir los favorables entre los no favorables. Pida que escriban siempre primero el total de resultados posibles, que va en el denominador.
- Aceptar una probabilidad mayor que 1 o negativa. Pida que revisen cada resultado contra la regla «entre 0 y 1» antes de entregarlo.
Tarea sugerida
Diseñar una ruleta de 8 sectores iguales pintados de tres colores de modo que la probabilidad de un color sea 1/2, la de otro 3/8 y la del tercero 1/8; dibujarla y explicar con el espacio muestral por qué cumple.