Eventos compuestos y regla de la adición
Lo que vas a aprender
- Identificar los resultados favorables a eventos compuestos con «o» y con «y».
- Decidir si dos eventos son mutuamente excluyentes o no, buscando resultados comunes.
- Calcular la probabilidad de «A o B» con la regla de la adición, restando la de «A y B» cuando los eventos no son excluyentes.
- Usar probabilidades calculadas con datos de una tabla para hacer predicciones sobre un grupo más grande.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la tienda escolar de un colegio inventado hay una promoción: si al girar la ruleta sale un número par o un número mayor que 7, ganas una galleta. ¿Qué tan posible es ganar? La tentación es sumar las dos probabilidades... y eso cuenta dos veces los números que cumplen las dos condiciones. A veces, incluso, la suma da más de 1, que no puede ser.
Muchas preguntas de la vida diaria juntan dos condiciones: «llueve o hace frío», «el estudiante juega fútbol o toca un instrumento». Para calcular bien su probabilidad hay que fijarse en si las dos condiciones pueden ocurrir a la vez. En esta lección aprendes la regla de la adición y a usar las probabilidades para predecir qué pasará en un grupo grande.
Antes de empezar repasa cómo se cuenta el espacio muestral y cómo se suman y restan fracciones con el mismo denominador.
Explicación
Eventos compuestos
Con dos eventos $A$ y $B$ de un mismo experimento se pueden formar eventos nuevos:
- $A$ o $B$ ocurre si ocurre $A$, si ocurre $B$ o si ocurren los dos. En matemáticas la «o» incluye el caso en que pasan ambas cosas.
- $A$ y $B$ ocurre solo si ocurren los dos al mismo tiempo.
Al lanzar un dado, si $A$ es «sacar par» y $B$ es «sacar más de 3», los resultados favorables a $A$ son 2, 4 y 6, y los de $B$ son 4, 5 y 6. Entonces «$A$ y $B$» tiene como favorables los comunes, 4 y 6, y «$A$ o $B$» los que están en alguno de los dos: 2, 4, 5 y 6.
Mutuamente excluyentes o no
Dos eventos son mutuamente excluyentes si no tienen ningún resultado en común: cuando ocurre uno, el otro no puede ocurrir. Con un dado, «sacar 1» y «sacar más de 4» son excluyentes. «Sacar par» y «sacar más de 3» no lo son, porque el 4 y el 6 están en los dos.
Para decidirlo, escribe los favorables de cada evento y busca si se repite alguno. Si no se repite ninguno, son excluyentes.
La regla de la adición
Si $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes, los favorables de «$A$ o $B$» son los de $A$ más los de $B$, sin repetir ninguno. Por eso
$$P(A \text{ o } B) = P(A) + P(B).$$
Si no son excluyentes, al sumar los favorables de $A$ y los de $B$ los comunes quedan contados dos veces. Hay que quitarlos una vez:
$$P(A \text{ o } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ y } B).$$
Esta segunda fórmula sirve siempre: cuando los eventos son excluyentes, «$A$ y $B$» es imposible, su probabilidad es 0 y se vuelve la primera.
Una alarma útil: si al sumar $P(A) + P(B)$ te da más de 1, los eventos no pueden ser excluyentes, porque ninguna probabilidad pasa de 1. Seguro tienen resultados en común que se contaron dos veces.
Un caso especial muy útil es el complemento. «$A$» y «no $A$» son excluyentes, y entre los dos cubren todo el espacio muestral, así que $P(A) + P(\text{no } A) = 1$. Por eso $P(\text{no } A) = 1 - P(A)$.
Probabilidades a partir de una tabla
Cuando los datos vienen de una encuesta, una tabla de doble entrada muestra cuántas personas cumplen cada combinación de dos condiciones. Si escoges una persona al azar, cada una tiene la misma posibilidad, y la probabilidad es el número de personas favorables entre el total. Antes de usar la tabla conviene comprobar sus totales: cada fila y cada columna tienen que sumar lo que dice su total.
Hacer predicciones
Si un grupo pequeño se parece a uno grande, la probabilidad calculada en el pequeño sirve para estimar cuántos cumplirán la condición en el grande: se multiplica la probabilidad por el tamaño del grupo grande. Es una predicción, no una certeza: el número real puede salir un poco por encima o por debajo.
Ejemplo resuelto
Eventos excluyentes
Lanzas un dado de 6 caras. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 1 o sacar un número mayor que 4?
Ver la solución paso a paso
Los favorables a «sacar 1» son solo el 1; los de «mayor que 4» son el 5 y el 6. No hay ningún resultado común, así que los eventos son mutuamente excluyentes. Una sola de las seis caras es 1, y dos son mayores que 4:
$$6 - 4 = 2$$
Sumamos las probabilidades: $\frac{1}{6} + \frac{2}{6}$
$\frac{3}{6}$
$\frac{1}{2}$
Lo comprobamos contando: los favorables a «1 o mayor que 4» son el 1, el 5 y el 6, tres de seis resultados.
Respuesta: $\frac{1}{2}$
Ejemplo resuelto
Eventos no excluyentes
Lanzas un dado de 6 caras. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número par o un número mayor que 3?
Ver la solución paso a paso
Los pares son 2, 4 y 6, y los mayores que 3 son 4, 5 y 6. Cada evento tiene tres favorables:
$$6 - 3 = 3$$
El 4 y el 6 están en los dos: los eventos no son excluyentes, y P(par y mayor que 3) es 2/6. Si sumáramos sin más, daría $\frac{3}{6} + \frac{3}{6}$
$1$, como si el evento fuera seguro. Y no lo es: con el 1 o con el 3 no se gana. El error es que el 4 y el 6 se contaron dos veces.
Con la regla de la adición restamos una vez los comunes: $\frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6}$
$\frac{4}{6}$
$\frac{2}{3}$
Lo comprobamos contando: los favorables a «par o mayor que 3» son 2, 4, 5 y 6, cuatro de seis.
Respuesta: $\frac{2}{3}$
En un curso de 8.º de un colegio inventado se preguntó a cada estudiante si juega fútbol y si toca algún instrumento musical (datos inventados):
| Toca instrumento | No toca instrumento | Total | |
|---|---|---|---|
| Juega fútbol | 6 | 16 | 22 |
| No juega fútbol | 9 | 9 | 18 |
| Total | 15 | 25 | 40 |
Ejemplo resuelto
La regla de la adición con una tabla
Con la tabla de los 40 estudiantes, comprueba los totales y halla la probabilidad de que un estudiante escogido al azar juegue fútbol o toque un instrumento.
Ver la solución paso a paso
Revisamos los totales de las filas y de las columnas:
$$6 + 16 = 22$$
$$9 + 9 = 18$$
$$6 + 9 = 15$$
$$16 + 9 = 25$$
Y el gran total, por filas y por columnas:
$$22 + 18 = 40$$
$$15 + 25 = 40$$
Juegan fútbol 22 de 40 y tocan un instrumento 15 de 40. Los 6 de la primera casilla hacen las dos cosas, así que los eventos no son excluyentes. Con la regla de la adición: $\frac{22}{40} + \frac{15}{40} - \frac{6}{40}$
$\frac{31}{40}$
Lo comprobamos contando en la tabla, sin repetir a nadie: los que hacen las dos cosas, los que solo juegan fútbol y los que solo tocan son $6 + 16 + 9$
$31$ de 40. Da lo mismo.
Respuesta: Los totales de la tabla son correctos, y la probabilidad de que juegue fútbol o toque un instrumento es 31/40.
Ejemplo resuelto
Una predicción con la tabla
El colegio tiene 600 estudiantes, y se cree que se parecen a los 40 del curso. ¿Cuántos esperarías que jueguen fútbol o toquen un instrumento? ¿Y cuántos que no hagan ninguna de las dos cosas?
Ver la solución paso a paso
Multiplicamos la probabilidad de la tabla por el total de estudiantes del colegio: $600 \cdot \frac{31}{40}$
$465$
No hacer ninguna de las dos cosas es el complemento de «fútbol o instrumento». Su probabilidad es $1 - \frac{31}{40}$
$\frac{9}{40}$, que son los 9 de la casilla «no juega y no toca».
En el colegio serían $600 \cdot \frac{9}{40}$
$135$. Entre los dos grupos suman los 600:
$$465 + 135 = 600$$
Son predicciones: si de verdad se preguntara a los 600, los números reales podrían salir unos cuantos por encima o por debajo.
Respuesta: Se esperan unos 465 estudiantes que juegan fútbol o tocan un instrumento, y unos 135 que no hacen ninguna de las dos cosas.
Práctica
Lanzas un dado de 6 caras. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 2 o un 3?
Sacar 2 y sacar 3 son excluyentes: no pueden salir a la vez en un solo lanzamiento. 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
Pon cada cara del dado en su lugar del diagrama: los pares, los primos, los dos o ninguno. Si un número queda en la parte común, los eventos no son excluyentes.
¿Verdadero o falso? Al lanzar un dado, «sacar un número par» y «sacar un número primo» son mutuamente excluyentes.
Los pares son 2, 4 y 6, y los primos son 2, 3 y 5. El 2 está en los dos: si sale 2, ocurren ambos eventos. Por eso no son excluyentes.
Una ruleta tiene 10 sectores iguales numerados del 1 al 10. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par o un múltiplo de 5? Escríbela como fracción simplificada.
Pares: 2, 4, 6, 8 y 10. Múltiplos de 5: 5 y 10. El 10 está en los dos. 5/10 + 2/10 − 1/10 = 6/10 = 3/5. Contando: 2, 4, 5, 6, 8 y 10 son seis de diez.
En una caja hay 12 tarjetas numeradas del 1 al 12. Sacas una sin mirar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de 3 o múltiplo de 4?
Múltiplos de 3: 3, 6, 9 y 12. Múltiplos de 4: 4, 8 y 12. El 12 está en los dos: 4/12 + 3/12 − 1/12 = 6/12 = 1/2. 7/12 olvida restar el 12, que se contó dos veces.
En un experimento, P(A) = 0,5, P(B) = 0,3 y P(A y B) = 0,1. ¿Cuál es P(A o B)? Escríbela como decimal.
Con la regla de la adición: 0,5 + 0,3 − 0,1 = 0,7. Como P(A y B) no es 0, los eventos no son excluyentes y hay que restar la parte común.
A y B son mutuamente excluyentes, P(A) = 0,25 y P(B) = 0,4. ¿Cuál es P(A o B)? Escríbela como decimal.
Como no tienen resultados en común, P(A y B) = 0 y basta sumar: 0,25 + 0,4 = 0,65.
¿Verdadero o falso? Si P(A) = 0,6 y P(B) = 0,7, los eventos A y B pueden ser mutuamente excluyentes.
Si fueran excluyentes, P(A o B) sería 0,6 + 0,7 = 1,3, que es mayor que 1, y ninguna probabilidad pasa de 1. Tienen que compartir resultados.
Con la tabla de los 40 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante escogido al azar toque un instrumento o no juegue fútbol?
Tocan instrumento 15, no juegan fútbol 18, y 9 cumplen las dos cosas: 15/40 + 18/40 − 9/40 = 24/40 = 3/5. 33/40 olvida restar a los 9 que se contaron dos veces.
Con la tabla de los 40 estudiantes, si el colegio tiene 600 estudiantes parecidos a los del curso, ¿cuántos esperarías que toquen un instrumento?
La probabilidad de tocar un instrumento es 15/40 = 3/8, y 600 · 3/8 = 225. Es una estimación: el número real puede variar un poco.
Según una encuesta en un curso, la probabilidad de que un estudiante llegue en bicicleta es 3/8. Un compañero dice: «Entonces, en un colegio de 800 estudiantes parecidos, exactamente 300 llegan en bicicleta». ¿Qué le responderías?
800 · 3/8 = 300 es lo que se espera si el colegio se parece al curso. Una probabilidad no garantiza un número exacto: es una predicción razonable, no una certeza.
Reto
Par o mayor que 4.
Lanzas un dado de 6 caras. A es «sacar par» y B es «sacar un número mayor que 4».
Reto
Abre el candado con la regla de la adición.
Cada pista da un dígito: el número de resultados favorables, sin contar ninguno dos veces.
Cierre
En resumen
«A o B» ocurre si ocurre A, B o los dos; «A y B» ocurre solo si ocurren los dos a la vez.
Dos eventos son mutuamente excluyentes si no tienen ningún resultado en común.
Regla de la adición: P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B); si los eventos son excluyentes, P(A y B) = 0 y basta sumar.
Si P(A) + P(B) da más de 1, los eventos no pueden ser excluyentes; y P(no A) = 1 − P(A).
Una probabilidad calculada en un grupo sirve para predecir, de forma aproximada, cuántos cumplirán la condición en un grupo parecido más grande.
Vocabulario
- Evento compuesto
Un evento que se forma juntando dos o más eventos con «o» o con «y».
- Evento «A o B»
Ocurre si ocurre A, si ocurre B o si ocurren los dos.
- Evento «A y B»
Ocurre solo si ocurren A y B al mismo tiempo.
- Eventos mutuamente excluyentes
Eventos que no pueden ocurrir a la vez porque no tienen ningún resultado en común.
- Regla de la adición
P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B). Si A y B son mutuamente excluyentes, P(A y B) = 0 y queda P(A o B) = P(A) + P(B).
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee la promoción de la ruleta de la tienda (par o mayor que 7) y deje que el grupo proponga probabilidades. Anote si alguien suma sin más.
- Explicación · 20 min — Trabaje los dos ejemplos del dado marcando en el tablero los favorables con dos colores; los que quedan con los dos colores son los que se cuentan dos veces. Después, la tabla de los 40 estudiantes y la predicción.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Si hay tiempo, que el curso llene su propia tabla de doble entrada con dos preguntas de sí o no y calcule una probabilidad con «o».
- Cierre · 5 min — Vuelva a la ruleta del inicio con 10 sectores: pares 5, mayores que 7 son 8, 9 y 10, comunes 8 y 10; la probabilidad es 5/10 + 3/10 − 2/10 = 6/10.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué al sumar P(A) + P(B) puede dar más de 1? ¿Qué nos dice eso de los eventos?
- Den un ejemplo de dos eventos excluyentes y dos que no lo sean al sacar una carta de un mazo.
- Si en un curso de 40 la probabilidad es 31/40, ¿esperan que en otro curso de 40 sean exactamente 31? ¿Por qué?
- ¿En qué se diferencia «juega fútbol y toca» de «juega fútbol o toca»? ¿Cuál tiene más estudiantes?
Errores típicos
- Sumar las probabilidades de eventos que no son excluyentes. Pida que listen los favorables de cada evento y encierren los repetidos antes de sumar.
- Entender la «o» como «solo uno de los dos», dejando por fuera a los que cumplen ambos. Con la tabla, pregunte si un estudiante que juega fútbol y toca cumple «juega fútbol o toca».
- Confundir «A y B» con «A o B» al leer la tabla. Pida que señalen con el dedo las casillas de cada evento: «y» es una sola casilla; «o» son varias.
- Tomar una predicción como un número exacto. Lance diez veces una moneda en dos grupos y compare: los dos esperan 5 caras, y muchas veces no les salen exactamente 5, ni el mismo número.
Tarea sugerida
Hacer una encuesta a 20 personas con dos preguntas de sí o no (por ejemplo, si desayunan antes de salir y si caminan al colegio o al trabajo), armar la tabla de doble entrada con sus totales y calcular la probabilidad de «A o B» de dos maneras: contando y con la regla de la adición.