Racionales e irracionales

¿Para qué sirve esto?

Cuando mides la diagonal de una baldosa cuadrada, cuando calculas cuánta cinta necesitas para rodear una mesa redonda o cuando divides una cuenta entre amigos, aparecen números de dos clases muy distintas. Algunos se pueden escribir exactamente como una fracción, por ejemplo $\tfrac{3}{4}$ de pizza. Otros, como la diagonal de la baldosa, nunca se pueden escribir exactamente con una fracción: solo podemos acercarnos a ellos.

Saber distinguir unos de otros te dice cuándo un resultado es exacto y cuándo es una aproximación. Esa diferencia importa en la calculadora, en la carpintería y en cualquier cálculo en que un pequeño error se va sumando.

Antes de empezar necesitas recordar cómo se pasa de fracción a decimal (dividiendo el numerador entre el denominador) y qué es una raíz cuadrada exacta, como $\sqrt{25}$.

Los números racionales

Un número es racional si se puede escribir como un cociente $\dfrac{a}{b}$ de dos números enteros, con $b \neq 0$. El nombre viene de razón, que en matemáticas quiere decir cociente. El conjunto de los racionales se escribe $\mathbb{Q}$.

Son racionales, por ejemplo:

• los enteros, porque cualquier entero se puede escribir con denominador 1: $-5 = \dfrac{-5}{1}$;
• las fracciones de siempre, como $\dfrac{2}{3}$ o $-\dfrac{7}{4}$;
• los decimales finitos, como $0{,}75$, que es $\dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}$;
• los decimales periódicos, como $0{,}333\ldots$, que es $\dfrac{1}{3}$.

Fíjate en lo que tienen en común los dos últimos casos. Cuando divides un entero entre otro, solo pueden pasar dos cosas: la división termina (decimal finito) o los residuos empiezan a repetirse y con ellos las cifras (decimal periódico). Por eso todo racional tiene una expresión decimal finita o periódica, y todo decimal finito o periódico es racional.

En un decimal periódico, el grupo de cifras que se repite se llama periodo y se marca con un arco o una barra encima: $0{,}\overline{27} = 0{,}272727\ldots$

Los números irracionales

Hay números cuya expresión decimal es infinita y no periódica: las cifras siguen sin terminar nunca y sin repetir un mismo grupo. Esos números no se pueden escribir como cociente de dos enteros, y por eso se llaman irracionales. Su conjunto se escribe $\mathbb{I}$.

Los irracionales más conocidos son:

• $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$, la diagonal de un cuadrado de lado 1;
• $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ y, en general, la raíz cuadrada de cualquier natural que no sea un cuadrado perfecto;
• $\pi = 3{,}14159265\ldots$, la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

Cuidado con una confusión muy común: que un número tenga raíz no lo hace irracional. $\sqrt{9} = 3$ y $\sqrt{\tfrac{4}{25}} = \tfrac{2}{5}$ son racionales, porque la raíz es exacta. Lo que hace irracional a $\sqrt{2}$ es que ningún racional multiplicado por sí mismo da exactamente 2.

Exacto o aproximado

Cuando la calculadora muestra $\sqrt{2} \approx 1{,}414213562$, eso no es $\sqrt{2}$: es una aproximación con nueve decimales. Por muchas cifras que escribas, siempre te quedarás corto. En cambio, $\tfrac{1}{3}$ escrito como fracción es exacto, aunque su decimal no termine.

Por eso, cuando un resultado es irracional, en matemáticas se deja indicado ($\sqrt{2}$, $\pi$, $2\sqrt{3}$) y solo se aproxima al final, cuando hace falta un número para medir o para comprar.

Los números reales

Si juntas todos los racionales y todos los irracionales obtienes los números reales, $\mathbb{R}$. Cada punto de la recta numérica corresponde a un único número real, y cada real a un único punto. Los conjuntos que ya conoces quedan unos dentro de otros:

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, \qquad \mathbb{I} \subset \mathbb{R}, \qquad \mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \varnothing$$

Es decir: todo natural es entero, todo entero es racional, todo racional es real, y ningún número es a la vez racional e irracional.

En resumen

• Un número es racional si se puede escribir como a/b con a y b enteros y b ≠ 0; su decimal es finito o periódico.

• Un número es irracional si su decimal es infinito y no periódico; √2, √3 y π son irracionales.

• La raíz de un cuadrado perfecto es exacta y racional; la de un natural que no es cuadrado perfecto es irracional.

• Racionales e irracionales forman los números reales, y cada real es un punto de la recta.

• Una fracción o un radical son exactos; su decimal en la calculadora es una aproximación.

Vocabulario

Número racional

Número que se puede escribir como cociente de dos enteros, a/b, con b distinto de cero.

Número irracional

Número real que no se puede escribir como cociente de dos enteros. Su expresión decimal es infinita y no periódica.

Decimal periódico

Decimal infinito en el que un grupo de cifras, el periodo, se repite sin fin.

Números reales

El conjunto formado por todos los racionales y todos los irracionales. Se escribe ℝ.