Aproximación y error
Lo que vas a aprender
- Redondear y truncar un número real a una cifra decimal dada.
- Calcular el error absoluto y el error relativo de una aproximación.
- Explicar cómo crece el error relativo cuando una aproximación se eleva al cubo.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la lección anterior viste que $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$ y $\pi$ tienen infinitas cifras decimales que no se repiten. Pero para cortar una tabla, comprar tela o llenar un tanque nadie trabaja con infinitas cifras: se usa un número cercano que sí se puede escribir, como $1{,}41$ o $3{,}14$. Ese número es una aproximación, y usarlo siempre tiene un costo: un pequeño error.
En esta lección vas a aprender a medir ese error y a decidir si es aceptable. También vas a ver algo que sorprende: cuando una aproximación entra en otra cuenta, sobre todo en una potencia, el error puede crecer mucho más de lo que esperas.
Antes de empezar recuerda que el valor absoluto $|a|$ es la distancia de $a$ al cero, y que siempre es positivo o cero.
Explicación
Exacto o aproximado
Un número está escrito de forma exacta cuando la escritura representa justo ese número y ningún otro: $\sqrt{5}$, $\tfrac{2}{3}$, $\pi$ o $3\sqrt{2}$ son escrituras exactas. Una escritura decimal cortada, como $2{,}236$ para $\sqrt{5}$, es una aproximación: está cerca, pero no es el mismo número. Para indicarlo se usa el símbolo $\approx$, que se lee «es aproximadamente igual a»:
$$\sqrt{5} \approx 2{,}236$$
Escribir $\sqrt{5} = 2{,}236$ es un error de escritura, porque $2{,}236$ es racional y $\sqrt{5}$ no lo es.
Truncar y redondear
Hay dos maneras de quedarse con unas pocas cifras decimales.
- Truncar es cortar después de la cifra pedida y tirar el resto, sin mirarlo. Truncado a las centésimas, $2{,}2360\ldots$ queda $2{,}23$.
- Redondear es elegir el número más cercano con esa cantidad de cifras. Se mira la primera cifra que se va a descartar: si es $5$ o mayor, la última cifra que se conserva sube una unidad; si es menor que $5$, se deja igual. Redondeado a las centésimas, $2{,}2360\ldots$ queda $2{,}24$, porque la cifra que se descarta es un $6$.
Al truncar, la aproximación siempre queda por debajo del número (si es positivo). Al redondear, puede quedar por debajo o por encima, pero siempre queda más cerca: el error de redondear nunca pasa de media unidad de la última cifra que conservas.
Vista de cerca, la recta muestra que √2 queda entre 1,41 y 1,42, más cerca de 1,41: truncado y redondeado a las centésimas dan lo mismo.
Ejemplo resuelto
Truncar y redondear √5
Aproxima $\sqrt{5}$ a las centésimas, primero truncando y después redondeando.
Ver la solución paso a paso
La calculadora muestra $\sqrt{5} = 2{,}2360679\ldots$, así que $\sqrt{5}$ queda entre dos centésimas seguidas. Por un lado:
$$2{,}23 < \sqrt{5}$$
Y por el otro:
$$\sqrt{5} < 2{,}24$$
Truncar es quedarse con la centésima de abajo, sin mirar lo que sigue: $\sqrt{5} \approx 2{,}23$.
Redondear es quedarse con la centésima más cercana. La cifra que se descarta es $6$, que es $5$ o más, y en efecto $2{,}24$ está más cerca de $\sqrt{5}$ que $2{,}23$:
$$2{,}24 - \sqrt{5} < \sqrt{5} - 2{,}23$$
Conclusión: truncado, $\sqrt{5} \approx 2{,}23$; redondeado, $\sqrt{5} \approx 2{,}24$. Ninguno de los dos es igual a $\sqrt{5}$.
Error absoluto y error relativo
Para medir qué tan buena es una aproximación $a$ de un número exacto $x$ se usan dos medidas.
El error absoluto es la distancia entre los dos números:
$$E_a = |x - a|$$
El error relativo compara ese error con el tamaño del número exacto:
$$E_r = \frac{|x - a|}{|x|}$$
Si lo multiplicas por $100$, lo lees como porcentaje.
¿Por qué hacen falta las dos? Equivocarse en un centímetro al medir un muro de varios metros no tiene importancia; equivocarse en un centímetro al medir un tornillo de tres centímetros lo arruina todo. El error absoluto es el mismo, pero el relativo es muy distinto. El error relativo dice qué fracción del número te estás equivocando.
Cuando el número exacto es irracional no puedes restar «de verdad», porque no tienes todas sus cifras. En la práctica se compara con una aproximación mucho mejor (la de la calculadora, con ocho o diez cifras) o se dice entre qué valores queda el error, como en los ejemplos.
Ejemplo resuelto
¿Qué aproxima mejor a π, 3,14 o 22/7?
Compara el error absoluto de $3{,}14$ y el de $\tfrac{22}{7}$ como aproximaciones de $\pi$, y calcula el error relativo de $3{,}14$.
Ver la solución paso a paso
Como $\pi = 3{,}14159\ldots$ es mayor que $3{,}14$, el error absoluto es $\pi - 3{,}14$. Ese error es menor que $0{,}0016$:
$$\pi - 3{,}14 < 0{,}0016$$
y mayor que $0{,}0015$:
$$\pi - 3{,}14 > 0{,}0015$$
El error relativo divide ese error entre $\pi$. Es menor que $0{,}0006$
$$\frac{\pi - 3{,}14}{\pi} < 0{,}0006$$
y mayor que $0{,}0005$, es decir, alrededor del $0{,}05\,\%$:
$$\frac{\pi - 3{,}14}{\pi} > 0{,}0005$$
La fracción $\tfrac{22}{7} = 3{,}142857\ldots$ se pasa por encima de $\pi$, así que su error es $\tfrac{22}{7} - \pi$, y es menor que el de $3{,}14$:
$$\frac{22}{7} - \pi < \pi - 3{,}14$$
Conclusión: las dos aproximaciones son buenas, pero $\tfrac{22}{7}$ queda un poco más cerca de $\pi$ que $3{,}14$, aunque parezca la más «redonda» de las dos.
Ejemplo resuelto
El error de truncar y el de redondear
Calcula el error absoluto exacto al aproximar $\tfrac{2}{3}$ a las centésimas truncando y redondeando.
Ver la solución paso a paso
Como $\tfrac{2}{3} = 0{,}6666\ldots$, truncado a las centésimas queda $0{,}66 = \tfrac{66}{100}$, que está por debajo. El error absoluto es la resta:
$$\frac{2}{3} - \frac{33}{50}$$
Con denominador común $300$ queda $\tfrac{200}{300} - \tfrac{198}{300} = \tfrac{2}{300}$, que se simplifica:
$$\frac{1}{150}$$
Redondeado, la cifra que se descarta es $6$, así que queda $0{,}67 = \tfrac{67}{100}$, que está por encima. Ahora el error es:
$$\frac{67}{100} - \frac{2}{3}$$
Con el mismo denominador: $\tfrac{201}{300} - \tfrac{200}{300}$.
$$\frac{1}{300}$$
El error de redondear es la mitad del de truncar:
$$2 \cdot \frac{1}{300} = \frac{1}{150}$$
y, como se esperaba, no llega a media centésima:
$$\frac{1}{300} < 0{,}005$$
Cómo se propaga el error
Una aproximación casi nunca se queda quieta: entra en otras cuentas, y su error viaja con ella. Al sumar dos aproximaciones, los errores absolutos se pueden sumar. Al multiplicar o al elevar a una potencia, lo que crece es el error relativo: elevar al cubo un número que tiene un error relativo pequeño da un resultado con un error relativo de casi el triple.
Esto importa, por ejemplo, con los volúmenes. El volumen de una esfera de diámetro $d$ es $V = \tfrac{\pi}{6}d^3$, así que si el diámetro de una esfera es $k$ veces el de otra, su volumen es $k^3$ veces el de la otra. Un error pequeño en $k$ se vuelve un error bastante mayor en $k^3$. La regla práctica: aproxima lo más tarde posible. Trabaja con $\sqrt{3}$ o con $\pi$ hasta el final y redondea solo el resultado.
Ejemplo resuelto
Dos globos con diámetros en razón √3
Un grupo quiere inflar dos globos esféricos cuyos diámetros estén en la razón $\tfrac{D}{d} = \sqrt{3}$. ¿Cuántas veces debe caber el volumen del pequeño en el del grande? ¿Qué pasa si usan $1{,}7$ en lugar de $\sqrt{3}$?
Ver la solución paso a paso
Como el volumen es proporcional al cubo del diámetro, la razón de volúmenes es el cubo de la razón de diámetros:
$$\left(\sqrt{3}\right)^{3}$$
Como $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 3$, el cubo es $3$ por otra $\sqrt{3}$. Esta es la razón exacta:
$$3\sqrt{3}$$
Su valor es $5{,}196\ldots$: es mayor que $5{,}196$
$$5{,}196 < 3\sqrt{3}$$
y menor que $5{,}197$:
$$3\sqrt{3} < 5{,}197$$
Si en cambio usan la aproximación $1{,}7$, la cuenta es:
$$\left(1{,}7\right)^{3}$$
que da:
$$4{,}913$$
La aproximación $1{,}7$ tenía un error relativo menor que el $2\,\%$:
$$\frac{\sqrt{3} - 1{,}7}{\sqrt{3}} < 0{,}02$$
pero el error relativo de la razón de volúmenes pasa del $5\,\%$:
$$\frac{3\sqrt{3} - 4{,}913}{3\sqrt{3}} > 0{,}05$$
Comparados, el error relativo del volumen es casi el triple del de $1{,}7$ (más de $2{,}9$ veces):
$$\frac{3\sqrt{3} - 4{,}913}{3\sqrt{3}} > \frac{2{,}9 \cdot \left(\sqrt{3} - 1{,}7\right)}{\sqrt{3}}$$
Conclusión: al elevar al cubo, el error relativo se multiplicó casi por tres. Si el globo grande tiene que quedar bien, hay que partir de una aproximación mejor de $\sqrt{3}$, como $1{,}732$, o trabajar con $3\sqrt{3}$ hasta el final.
Práctica
Redondea √11 a las milésimas (tres cifras decimales).
√11 = 3,31662…; la cifra que se descarta es 6, que es 5 o más, así que la tercera cifra decimal sube: 3,317.
Ahora trunca √11 a las milésimas. ¿Qué número obtienes?
Truncar es cortar sin mirar lo que sigue: de 3,31662… quedan las tres primeras cifras decimales, 3,316. El 3,317 es el redondeo.
Se usa 0,6 en lugar de 5/8. El error absoluto es $\frac{5}{8} - 0{,}6$. Escríbelo como número decimal.
5/8 = 0,625, y 0,625 − 0,6 = 0,025.
¿Cuál es el error relativo, en porcentaje, de usar 1,73 en lugar de √3? Redondea a las centésimas.
El error absoluto es √3 − 1,73 ≈ 0,00205. Dividido entre √3 ≈ 1,732 da ≈ 0,00118, que es el 0,12 %.
¿Verdadero o falso? Al usar 22/7 en lugar de π se comete un error menor que una milésima: $\left|\pi - \frac{22}{7}\right| < 0{,}001$
22/7 = 3,142857… y π = 3,141592…; la diferencia es 0,00126…, que es un poco mayor que 0,001.
¿Verdadero o falso? Al redondear √2 a 1,41, el error no llega a media centésima: $\left|\sqrt{2} - 1{,}41\right| < 0{,}005$
√2 = 1,41421…, así que el error es 0,00421…, menor que 0,005. Así pasa siempre al redondear: el error no supera media unidad de la última cifra.
Los diámetros de dos globos esféricos están en la razón √2. ¿En qué razón están sus volúmenes?
La razón de volúmenes es el cubo de la razón de diámetros: (√2)³ = √2·√2·√2 = 2√2. Elevar al cuadrado (2) daría la razón de las superficies, no la de los volúmenes.
Si en la pregunta anterior usas 1,4 en lugar de √2, ¿qué razón de volúmenes obtienes? Escríbela como decimal.
1,4³ = 1,4 · 1,4 · 1,4 = 2,744. La razón exacta es 2√2 ≈ 2,828, así que esta aproximación se queda corta en casi una décima.
Al medir un diámetro se toma 1,01·d en lugar de d (un 1 % de más). ¿Por qué número queda multiplicado el volumen calculado? Redondea a las centésimas.
El volumen depende del cubo del diámetro: 1,01³ = 1,030301 ≈ 1,03. Un 1 % de error en el diámetro se vuelve casi un 3 % en el volumen.
Un cuadrado tiene lado 1. ¿Cuál de estas escrituras da la longitud de su diagonal de forma exacta?
La diagonal mide √2. Los otros tres son aproximaciones racionales de √2: cada una está más cerca que la anterior, pero ninguna es exacta.
Truncar y redondear un número positivo a las centésimas a veces da lo mismo y a veces no. ¿Cuándo dan resultados distintos?
Si la primera cifra que se descarta es 5 o más, el redondeo sube la última cifra y el truncamiento no. Si es menor que 5, los dos dejan la misma cifra.
Reto
Completa las aproximaciones de √5.
Elige en cada espacio la aproximación correcta. Recuerda: truncar es cortar; redondear es buscar la más cercana.
Reto
Abre el candado de las aproximaciones.
Cada pista da una cifra de la clave. Resuélvelas en orden.
Cierre
En resumen
Una escritura como √5, 2/3 o π es exacta; un decimal cortado es una aproximación y se escribe con ≈.
Truncar es cortar las cifras sobrantes; redondear es elegir el valor más cercano, mirando la primera cifra que se descarta.
El error absoluto es |x − a|; el error relativo es ese error dividido entre |x|, y se puede leer como porcentaje.
El error de redondear nunca pasa de media unidad de la última cifra conservada.
Al elevar al cubo, el error relativo se multiplica casi por tres; por eso conviene aproximar solo al final.
Vocabulario
- Aproximación
Número cercano a otro que se usa en su lugar, porque el valor exacto no se puede escribir con decimales finitos o porque no hace falta tanta precisión.
- Truncar
Cortar un número después de cierta cifra decimal y descartar todas las que siguen, sin mirarlas.
- Redondear
Reemplazar un número por el más cercano que tiene la cantidad de cifras decimales pedida.
- Error absoluto
La distancia entre el valor exacto y su aproximación: el valor absoluto de su diferencia.
- Error relativo
El error absoluto dividido entre el valor exacto. Multiplicado por 100 se lee como porcentaje.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida a tres estudiantes que escriban √2 en el tablero con su calculadora y pregunte si los tres escribieron el mismo número y cuál es el «verdadero».
- Explicación · 20 min — Truncar y redondear con √5; error absoluto y relativo con π; el ejemplo de los globos al final, con la calculadora en la mano.
- Práctica · 15 min — Preguntas individuales; los huecos y el candado en parejas.
- Cierre · 5 min — Que cada pareja explique con sus palabras por qué conviene aproximar al final y no al principio.
Preguntas para el salón
- Si la calculadora muestra diez cifras de √2, ¿eso ya es √2? ¿Cuántas cifras harían falta?
- ¿Cuándo es más grave un error de 1 cm: al medir una cancha o al medir un anillo?
- Si el diámetro de un globo se duplica, ¿cuántas veces más aire necesita?
Errores típicos
- Escribir √5 = 2,24 con signo igual. Pida elevar 2,24 al cuadrado: da 5,0176, no 5. Por eso se escribe ≈.
- Confundir truncar con redondear. Ponga los dos resultados en la recta numérica y pregunte cuál está más cerca del número original.
- Creer que el error relativo de un cubo es el mismo del dato. Que calculen 1,01³ y 1,02³ y comparen el exceso con el 1 % y el 2 % del dato.
- Dividir el error absoluto entre la aproximación y no entre el valor exacto. Recalque la fórmula y muestre que, con aproximaciones buenas, la diferencia es pequeña pero la definición es otra.
Tarea sugerida
Calcular el error absoluto y el relativo de 1,4, 1,41 y 1,414 como aproximaciones de √2 (con la calculadora como valor de referencia) y escribir qué pasa con el error cada vez que se agrega una cifra.