Los reales en la recta numérica
Lo que vas a aprender
- Ubicar en la recta numérica racionales e irracionales, entre dos enteros o dos decimales consecutivos.
- Construir √2 y √5 sobre la recta con regla y compás, usando el teorema de Pitágoras.
- Ordenar y comparar números reales escritos de formas distintas.
- Encontrar un número entre dos reales dados y explicar por qué siempre existe.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Con una regla puedes marcar sin problema $3$ cm o $2{,}5$ cm. Pero ¿cómo marcarías exactamente $\sqrt{2}$ cm, si sus cifras decimales nunca terminan? Ninguna regla tiene esa marca. Aun así, con una regla sin números y un compás se puede llevar $\sqrt{2}$ a la recta sin aproximar, gracias a un triángulo rectángulo.
Ubicar los números en la recta también sirve para compararlos de un vistazo. ¿Qué es mayor, $\sqrt{3}$ o $\tfrac{7}{4}$? ¿Hay algún número entre $1{,}41$ y $\sqrt{2}$? La recta responde esas preguntas, y en esta lección vas a aprender a usarla.
Antes de empezar recuerda cómo se ubica una fracción como $\tfrac{3}{4}$ en la recta y qué es un triángulo rectángulo.
Explicación
Cada número real es un punto
Para armar una recta numérica se elige un punto para el $0$ y un segmento como unidad. Los positivos van a la derecha del cero y los negativos a la izquierda. Cada número real corresponde a un único punto de la recta, y cada punto a un único real: no quedan huecos.
Los racionales se ubican dividiendo la unidad. Para $\tfrac{7}{4}$ se parte cada unidad en $4$ partes iguales y se cuentan $7$ desde el cero. Un decimal finito como $2{,}3$ es $\tfrac{23}{10}$, y se ubica igual.
Los irracionales no se pueden ubicar así, porque no son un cociente de enteros. Hay dos caminos:
- Aproximar. Se busca entre qué enteros está el número, luego entre qué décimas, luego entre qué centésimas, y así hasta la precisión que haga falta. Esto da una ubicación aproximada.
- Construir. Para muchas raíces cuadradas existe una construcción con regla y compás que da el punto exacto.
Construir √2 con regla y compás
Sobre el segmento que va de $0$ a $1$ se dibuja un cuadrado de lado $1$. Su diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos $1$ y $1$. El teorema de Pitágoras dice que, en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
$$h^2 = a^2 + b^2$$
Con catetos $1$ y $1$ queda $h^2 = 2$, es decir, la diagonal mide $\sqrt{2}$. Ahora se apoya el compás en el $0$, se abre hasta el otro extremo de la diagonal y se traza un arco hasta cortar la recta. Ese punto de corte está a una distancia $\sqrt{2}$ del cero: es $\sqrt{2}$, sin ninguna aproximación.
La diagonal del cuadrado de lado 1 mide √2. Al girarla con el compás desde el 0 hasta la recta, marca el punto √2.
Ejemplo resuelto
Ubicar √5 con un triángulo
Construye $\sqrt{5}$ en la recta numérica y di entre qué décimas queda.
Ver la solución paso a paso
Buscamos un triángulo rectángulo cuyos catetos al cuadrado sumen $5$. Como $5 = 4 + 1$, sirven los catetos $2$ y $1$: sobre la recta tomamos el segmento de $0$ a $2$, y en el $2$ levantamos un segmento perpendicular de longitud $1$. La hipotenusa mide:
$$\sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$$
Con el compás apoyado en el $0$ llevamos la hipotenusa a la recta. El punto queda entre $2$ y $3$, porque $2^2 = 4 < 5 < 9 = 3^2$:
$$2 < \sqrt{5}$$
Para afinar comparamos con las décimas. Como $2{,}2^2 = 4{,}84$ es menor que $5$:
$$2{,}2 < \sqrt{5}$$
y como $2{,}3^2 = 5{,}29$ es mayor que $5$:
$$\sqrt{5} < 2{,}3$$
Conclusión: la construcción da el punto exacto $\sqrt{5}$, que queda entre $2{,}2$ y $2{,}3$.
El triángulo de catetos 2 y 1 tiene hipotenusa √5; el compás la lleva a la recta entre 2 y 3.
La misma idea sirve para otras raíces: para $\sqrt{10}$ se usan los catetos $3$ y $1$, y para $\sqrt{13}$, los catetos $3$ y $2$. Basta escribir el número como una suma de dos cuadrados.
Ordenar y comparar números reales
En la recta, el número que está más a la derecha es el mayor. Para saber cuál está más a la derecha sin dibujar, hay varias estrategias:
- Mismo formato. Escribe todos los números como decimales, con suficientes cifras, o todas las fracciones con el mismo denominador.
- Elevar al cuadrado. Si dos números son positivos, el que tiene el cuadrado mayor es el mayor. Así se compara $\sqrt{3}$ con $1{,}7$ sin calculadora: $1{,}7^2 = 2{,}89$, que es menor que $3$, así que $1{,}7 < \sqrt{3}$.
- Cuidado con los negativos. Entre dos negativos, el que está más lejos del cero es el menor: $-\sqrt{3} > -\tfrac{7}{4}$ porque $\sqrt{3} < \tfrac{7}{4}$.
Ejemplo resuelto
Ordenar cuatro números
Ordena de menor a mayor: $\sqrt{3}$, $1{,}7$, $\tfrac{7}{4}$ y $\tfrac{\pi}{2}$.
Ver la solución paso a paso
Como $\pi \approx 3{,}14$, la mitad de $\pi$ es cerca de $1{,}57$, que es menor que $1{,}7$:
$$\frac{\pi}{2} < 1{,}7$$
Para comparar $1{,}7$ con $\sqrt{3}$ elevamos al cuadrado: $1{,}7^2$ es menor que $3$,
$$\left(1{,}7\right)^{2} < 3$$
así que $1{,}7$ está a la izquierda de $\sqrt{3}$:
$$1{,}7 < \sqrt{3}$$
Ahora $\tfrac{7}{4}$: su cuadrado es $\tfrac{49}{16} = 3{,}0625$, mayor que $3$,
$$\left(\frac{7}{4}\right)^{2} > 3$$
así que $\sqrt{3}$ está a la izquierda de $\tfrac{7}{4}$:
$$\sqrt{3} < \frac{7}{4}$$
Conclusión: $\tfrac{\pi}{2} < 1{,}7 < \sqrt{3} < \tfrac{7}{4}$.
Los cuatro números del ejemplo en la recta: π/2, 1,7, √3 y 7/4, de izquierda a derecha.
Lanza el dardo donde está 1,7 y después donde está 7/4, y toca «Comprobar». Entre los dos puntos cabe √3, y entre cualquier par de reales cabe otro.
Entre dos reales siempre hay otro
Con los enteros, después del $3$ viene el $4$ y no hay nada en medio. Con los reales no pasa eso: entre dos números reales distintos siempre hay otro. Por ejemplo, su promedio (sumarlos y dividir entre $2$) queda justo en la mitad. Y entre el primero y ese promedio hay otro, y así sin fin. Por eso entre dos reales cualesquiera hay infinitos reales, y ningún real tiene un «siguiente». Esta propiedad se llama densidad.
Lo mismo pasa con los racionales y con los irracionales por separado: entre dos números cualesquiera, por cerca que estén, hay infinitos racionales e infinitos irracionales.
Ejemplo resuelto
Un número en medio
Encuentra un racional entre $\tfrac{2}{5}$ y $\tfrac{1}{2}$, y otro entre $\sqrt{2}$ y $1{,}42$.
Ver la solución paso a paso
Para el primero sacamos el promedio de los dos números:
$$\frac{\frac{2}{5} + \frac{1}{2}}{2}$$
Con denominador $10$: $\tfrac{4}{10} + \tfrac{5}{10} = \tfrac{9}{10}$, y la mitad es:
$$\frac{9}{20}$$
Comprobamos que queda en medio: $\tfrac{2}{5} = \tfrac{8}{20}$ y $\tfrac{1}{2} = \tfrac{10}{20}$.
$$\frac{2}{5} < \frac{9}{20}$$
y
$$\frac{9}{20} < \frac{1}{2}$$
Para el segundo usamos decimales: $\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots$, así que $1{,}415$ ya está por encima de $\sqrt{2}$
$$\sqrt{2} < 1{,}415$$
y por debajo de $1{,}42$:
$$1{,}415 < 1{,}42$$
Conclusión: $\tfrac{9}{20}$ está entre $\tfrac{2}{5}$ y $\tfrac{1}{2}$; $1{,}415$ está entre $\sqrt{2}$ y $1{,}42$. Repitiendo el proceso se encuentran tantos como se quiera.
Práctica
¿Entre qué par de enteros consecutivos está √40 en la recta numérica?
6² = 36 y 7² = 49. Como 36 < 40 < 49, √40 está entre 6 y 7. La raíz no es la mitad: 20 sería un error.
¿Cuál de estos números queda más a la derecha en la recta numérica?
En decimales: √10 ≈ 3,162; 10/3 = 3,333…; 3,1; π ≈ 3,142. El mayor es 10/3, y es el que queda más a la derecha.
¿Cuál de estos números queda más a la izquierda en la recta numérica?
Entre negativos, el más lejano del cero es el menor. Los valores absolutos son √3 ≈ 1,732; 7/4 = 1,75; 1,7 y 1,5. El más lejano es −7/4.
¿Verdadero o falso? $\sqrt{5} < \frac{9}{4}$
Los dos son positivos, así que se comparan sus cuadrados: (9/4)² = 81/16 = 5,0625, que es mayor que 5. Por eso √5 < 9/4, aunque por muy poco.
¿Verdadero o falso? $\sqrt{3} < 1{,}7$
1,7² = 2,89, que es menor que 3. Entonces 1,7 < √3: la desigualdad está al revés.
Marca todos los números que quedan entre 1 y 2 en la recta numérica.
Marca todas las que apliquen.
√2 ≈ 1,41, √3 ≈ 1,73, 5/3 ≈ 1,67 y π/2 ≈ 1,57 están entre 1 y 2. En cambio √5 ≈ 2,24 y 7/3 ≈ 2,33 pasan del 2.
Un triángulo rectángulo tiene catetos 1 y 3. Si llevas su hipotenusa a la recta con el compás desde el 0, ¿qué número marcas?
Por Pitágoras, h² = 1² + 3² = 10, así que h = √10. Sumar los catetos (4) o restar los cuadrados (√8) son errores comunes, y 10 es h², no h.
Para construir √13 se dibuja un triángulo rectángulo con un cateto de 2 sobre la recta. ¿Cuánto tiene que medir el otro cateto?
Hace falta que 2² + c² = 13, es decir, c² = 9, y c = 3.
Escribe el racional que está justo en la mitad entre 3/4 y 5/6. Puedes escribirlo como fracción.
Con denominador 12: 3/4 = 9/12 y 5/6 = 10/12. La suma es 19/12 y la mitad es 19/24.
¿Cuántos números reales hay entre 1,4 y 1,5?
Por la densidad de los reales, entre dos números distintos siempre hay otro. Además de 1,41 o 1,45 están 1,401, 1,4001, √2 y muchísimos más: infinitos.
Reto
Une cada hipotenusa con la raíz que construye.
Cada ficha de la izquierda es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, calculada con Pitágoras. Únela con el número que marca en la recta.
Reto
Abre el candado de la recta numérica.
Cada pista da una cifra de la clave.
Cierre
En resumen
Cada número real es un único punto de la recta, y cada punto es un único número real.
Los racionales se ubican dividiendo la unidad; los irracionales, aproximando por décimas y centésimas o con una construcción exacta.
Con el teorema de Pitágoras y el compás se construyen exactamente √2 (catetos 1 y 1) y √5 (catetos 2 y 1).
Para comparar positivos se pueden comparar sus cuadrados; entre negativos, el más lejano del cero es el menor.
Entre dos reales distintos siempre hay otro (por ejemplo, su promedio), y por lo tanto infinitos.
Vocabulario
- Recta numérica
Recta en la que se fija un punto para el 0 y un segmento como unidad; a cada número real le corresponde un único punto y a cada punto un único real.
- Hipotenusa
El lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo; es el lado más largo.
- Cateto
Cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo.
- Densidad
Propiedad de los números reales (y de los racionales): entre dos números distintos siempre hay otro, y por lo tanto infinitos.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte cómo marcarían √2 cm con una regla. Deje que noten que ninguna marca de la regla es exacta.
- Explicación · 20 min — Construcción de √2 y √5 con regla y compás en el tablero (o con cuadrícula en el cuaderno); comparación por cuadrados; densidad con promedios.
- Práctica · 15 min — Preguntas individuales; el dominó y el candado en parejas.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante construya √10 en su cuaderno con los catetos 3 y 1 y lo compare con la aproximación de la calculadora.
Preguntas para el salón
- ¿Cuál es el número real que sigue a 1? ¿Existe?
- Si el compás se abre un poco mal, ¿el punto que marcan sigue siendo √2?
- ¿Por qué no sirve elevar al cuadrado para comparar −2 y 1?
Errores típicos
- Creer que √40 es 20 o que √n queda cerca de n/2. Pida elevar al cuadrado el candidato: 20² = 400, muy lejos de 40.
- Sumar los catetos para hallar la hipotenusa. Mida en el cuaderno un triángulo de catetos 3 y 4: la hipotenusa mide 5, no 7.
- Ordenar negativos como si fueran positivos (−7/4 > −√3). Ubíquelos en la recta: el más a la izquierda es el menor.
- Pensar que entre 1,4 y 1,5 solo están las centésimas 1,41 a 1,49. Pregunte qué hay entre 1,41 y 1,42, y luego entre 1,411 y 1,412.
Tarea sugerida
Construir en una hoja cuadriculada √2, √5 y √10 con regla y compás, medirlos con una regla y comparar cada medida con la aproximación de la calculadora.