Potencias de exponente entero y racional
Lo que vas a aprender
- Aplicar las propiedades del producto, el cociente y la potencia de una potencia para simplificar expresiones numéricas y con letras.
- Calcular potencias de exponente cero y de exponente entero negativo.
- Escribir una potencia de exponente racional como raíz y calcular su valor cuando es exacto.
- Interpretar con potencias cómo cambian áreas y volúmenes cuando una medida se multiplica.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Si duplicas el lado de un cuadrado, ¿su área se duplica? Si duplicas la arista de una caja cúbica, ¿cuántas veces más le cabe? Las respuestas no son «el doble», y las potencias explican por qué: el área depende del cuadrado de la medida y el volumen de su cubo.
Las potencias también sirven para escribir en poco espacio cantidades muy grandes o muy pequeñas, y para manejar fórmulas con letras sin tener que reemplazar números a cada paso. En esta lección vas a ampliar lo que ya sabes de las potencias: vas a usar exponentes cero, negativos y fraccionarios, y vas a ver que todos siguen las mismas reglas.
Antes de empezar recuerda que $a^n$ quiere decir multiplicar $a$ por sí mismo $n$ veces: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
Explicación
Las propiedades de la potenciación
Todas las reglas salen de contar factores. Aquí $a$ y $b$ son números reales (o letras que representan números) y $m$, $n$ son enteros positivos.
Producto de potencias de igual base. $a^3 \cdot a^2 = (a\,a\,a)(a\,a)$, que son cinco factores $a$. En general se suman los exponentes:
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
Cociente de potencias de igual base. En $\dfrac{a^5}{a^2}$ se cancelan dos factores arriba con dos abajo y quedan tres. Se restan los exponentes ($a \neq 0$):
$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$
Potencia de una potencia. $(a^2)^3 = a^2 \cdot a^2 \cdot a^2$, que son seis factores. Se multiplican los exponentes:
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$
Potencia de un producto y de un cociente. El exponente se reparte entre los factores:
$$(a\,b)^n = a^n\,b^n \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$
Cuidado: el exponente no se reparte en una suma. $(a + b)^2$ no es $a^2 + b^2$; eso lo estudiarás con los productos notables.
Exponente cero y exponente negativo
¿Qué debería valer $a^0$? Si la regla del cociente sigue valiendo, $\dfrac{a^3}{a^3} = a^{3-3} = a^0$. Pero un número dividido entre sí mismo da $1$. Por eso se define, para $a \neq 0$:
$$a^0 = 1$$
Con la misma regla, $\dfrac{a^2}{a^5} = a^{2-5} = a^{-3}$, y al cancelar quedan tres factores $a$ en el denominador: $\dfrac{1}{a^3}$. Así se define el exponente negativo:
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$$
Un exponente negativo no vuelve negativo el número: $2^{-3} = \tfrac{1}{8}$ es positivo. Lo que hace es invertir la base.
Hay otra forma de verlo. En la lista $2^3 = 8$, $2^2 = 4$, $2^1 = 2$, cada vez que el exponente baja uno, el valor se divide entre $2$. Si se sigue el patrón, $2^0 = 1$, $2^{-1} = \tfrac{1}{2}$, $2^{-2} = \tfrac{1}{4}$ y $2^{-3} = \tfrac{1}{8}$: las definiciones no son un capricho, son lo que hace falta para que el patrón no se rompa.
Los signos
Con base negativa importa el paréntesis. $(-2)^4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16$, porque un número par de factores negativos da positivo. En cambio $-2^4 = -(2^4) = -16$: el exponente solo afecta al $2$. Con exponente impar, $(-2)^3 = -8$ sí es negativo.
Las potencias de 2 con exponentes de −2 a 3. Cada vez que el exponente baja uno, el valor se divide entre 2: 2⁰ = 1, 2⁻¹ = 1/2 y 2⁻² = 1/4 siguen el mismo patrón.
Ejemplo resuelto
Simplificar con las propiedades
Simplifica $\dfrac{x^3 \cdot x^5}{x^2}$, con $x \neq 0$.
Ver la solución paso a paso
Partimos de la expresión:
$$\frac{x^{3}x^{5}}{x^{2}}$$
En el numerador, producto de igual base: se suman los exponentes, $3 + 5 = 8$.
$$\frac{x^{8}}{x^{2}}$$
Cociente de igual base: se restan los exponentes, $8 - 2 = 6$.
$$x^{6}$$
Respuesta: $x^{6}$
Ejemplo resuelto
Un exponente negativo
Calcula $\left(\tfrac{2}{3}\right)^{-2}$.
Ver la solución paso a paso
Por la definición de exponente negativo, $\left(\tfrac{2}{3}\right)^{-2}$ es el inverso de $\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}$:
$$\frac{1}{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}}$$
Invertir $\tfrac{2}{3}$ es lo mismo que usar $\tfrac{3}{2}$ con exponente positivo:
$$\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$
Elevamos numerador y denominador al cuadrado:
$$\frac{9}{4}$$
Conclusión: $\left(\tfrac{2}{3}\right)^{-2} = \tfrac{9}{4}$. El resultado es positivo: el signo menos del exponente invirtió la fracción, no le cambió el signo.
Respuesta: $\frac{9}{4}$
Exponente racional: una raíz escrita como potencia
¿Qué número es $9^{1/2}$? Si la regla de la potencia de una potencia sigue valiendo, $\left(9^{1/2}\right)^2 = 9^{1} = 9$. Entonces $9^{1/2}$ es un número positivo que al cuadrado da $9$: es $\sqrt{9} = 3$. En general, para $a > 0$:
$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a} \qquad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$
El denominador del exponente es el índice de la raíz y el numerador es la potencia. Para calcular a mano conviene sacar primero la raíz, porque los números quedan más pequeños. Así, una raíz y una potencia son dos escrituras del mismo número, y se puede pasar de una a otra según lo que sea más cómodo.
El exponente fraccionario también puede ser negativo, y entonces se combinan las dos ideas: primero se invierte y después se saca la raíz. Por ejemplo, $4^{-1/2} = \dfrac{1}{4^{1/2}} = \dfrac{1}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{2}$.
En este curso el exponente fraccionario se usa solo con bases positivas. Con bases negativas aparecen problemas: $(-4)^{1/2}$ sería $\sqrt{-4}$, y ningún número real multiplicado por sí mismo da un negativo.
Ejemplo resuelto
Una potencia de exponente fraccionario
Calcula $8^{2/3}$ por dos caminos.
Ver la solución paso a paso
El exponente $\tfrac{2}{3}$ dice: raíz cúbica (el $3$) y cuadrado (el $2$).
$$8^{\frac{2}{3}}$$
Primer camino: primero la raíz. Como $2^3 = 8$, $\sqrt[3]{8} = 2$, y queda $2$ al cuadrado:
$$2^{2}$$
que es:
$$4$$
Segundo camino: primero el cuadrado, $8^2 = 64$, y después la raíz cúbica:
$$\sqrt[3]{64}$$
Como $4^3 = 64$:
$$4$$
Conclusión: $8^{2/3} = 4$ por los dos caminos; el primero tiene cuentas más pequeñas.
Respuesta: $4$
Letras que representan cantidades
Las propiedades valen igual cuando la base es una letra, porque la letra representa un número. Eso permite razonar sobre medidas sin conocerlas. Si un cuadrado tiene lado $\ell$, su área es $\ell^2$; si el lado se triplica, el área nueva es $(3\ell)^2 = 9\ell^2$, es decir, nueve veces la anterior, no tres. Con volúmenes el efecto es todavía mayor, porque el exponente es $3$.
Ejemplo resuelto
Duplicar la arista de un cubo
Una caja cúbica tiene arista $a$. Si se fabrica otra con arista $2a$, ¿cuántas veces cabe el volumen de la primera en el de la segunda?
Ver la solución paso a paso
El volumen de un cubo es la arista al cubo. Para la caja nueva:
$$\left(2a\right)^{3}$$
La potencia de un producto reparte el exponente entre los factores:
$$2^{3}a^{3}$$
Y $2^3 = 8$:
$$8a^{3}$$
Ahora dividimos entre el volumen de la primera caja, $a^3$:
$$\frac{8a^{3}}{a^{3}}$$
Se cancela $a^3$:
$$8$$
Conclusión: la caja nueva tiene ocho veces el volumen de la primera, aunque su arista solo es el doble.
Respuesta: $8$
Práctica
Simplifica $x^{4}x^{3}$.
Con igual base se suman los exponentes: 4 + 3 = 7. Multiplicarlos (x¹²) es la regla de la potencia de una potencia, y las bases no se suman.
Simplifica $\left(x^{3}\right)^{4}$.
En la potencia de una potencia se multiplican los exponentes: 3 · 4 = 12. Sumarlos (x⁷) es la regla del producto.
Simplifica $\frac{x^{4}y^{2}}{x y^{5}}$, con x y y distintos de cero.
Para x: 4 − 1 = 3, y queda arriba. Para y: hay 2 arriba y 5 abajo, así que sobran 3 abajo. Resultado: x³/y³. Recuerda que x es x¹.
¿Cuánto vale 5⁻²?
5⁻² = 1/5² = 1/25. El exponente negativo invierte la base; no cambia el signo ni multiplica 5 por −2.
Calcula $16^{\frac{3}{4}}$.
Primero la raíz cuarta: 2⁴ = 16, así que la raíz cuarta de 16 es 2. Luego el cubo: 2³ = 8. Multiplicar 16 por 3/4 da 12, que es otra operación.
Calcula $27^{\frac{2}{3}}$.
La raíz cúbica de 27 es 3, porque 3³ = 27. Al cuadrado: 3² = 9.
¿Verdadero o falso? $\left(-3\right)^{2} = -3^{2}$
(−3)² = (−3)(−3) = 9, mientras que −3² = −(3²) = −9. El paréntesis decide si el signo entra en la potencia.
¿Verdadero o falso? $2^{3} + 2^{3} = 2^{4}$
2³ + 2³ = 8 + 8 = 16 = 2⁴. Es como 2 · 2³ = 2⁴. Ojo: con la suma no se suman los exponentes (2³ + 2³ no es 2⁶).
Marca todas las potencias cuyo valor es un número entero.
Marca todas las que apliquen.
∛8 = 2; 9^(3/2) = 3³ = 27; 10⁰ = 1; 32^(2/5) = 2² = 4. En cambio ∛4 y √2 no son exactas: 4 no es un cubo perfecto y 2 no es un cuadrado perfecto.
La arista de una caja cúbica mide a. Si se fabrica otra caja con el doble de arista, ¿cuántas veces más volumen tiene?
(2a)³ = 2³a³ = 8a³, que es 8 veces a³. El 4 sería la razón entre las áreas de las caras, y el 6 sale de multiplicar 2 por 3 en lugar de elevar.
¿Qué valor de n cumple $2^{n} = 4^{3} \cdot 8$?
Escribimos todo en base 2: 4³ = (2²)³ = 2⁶ y 8 = 2³. Entonces 4³ · 8 = 2⁶ · 2³ = 2⁹, y n = 9.
¿Por qué tiene sentido definir a⁰ = 1, con a distinto de cero?
La regla del cociente da a³ ÷ a³ = a³⁻³ = a⁰, y un número entre sí mismo da 1. Para que la regla siga valiendo, a⁰ tiene que ser 1.
Reto
Une cada potencia con su valor.
Arrastra cada ficha junto a la que vale lo mismo.
Reto
¿Cuál no es como los demás?
En cada ronda, toca la potencia que es de una clase distinta a las otras.
Cierre
En resumen
Con igual base, en el producto se suman los exponentes y en el cociente se restan; en la potencia de una potencia se multiplican.
El exponente se reparte en un producto o un cociente, pero no en una suma.
a⁰ = 1 y a⁻ⁿ = 1/aⁿ (con a ≠ 0); un exponente negativo invierte la base, no le cambia el signo.
a^(m/n) es la raíz n-ésima de aᵐ; conviene sacar primero la raíz.
Si una medida se multiplica por k, el área se multiplica por k² y el volumen por k³.
Vocabulario
- Potencia
Producto de un número por sí mismo varias veces. En aⁿ, a es la base y n el exponente.
- Base
El número que se multiplica por sí mismo en una potencia.
- Exponente
El número que indica cuántas veces se usa la base como factor; también puede ser cero, negativo o una fracción.
- Exponente negativo
a⁻ⁿ es el inverso de aⁿ: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, con a distinto de cero.
- Exponente racional
a^(m/n) es la raíz n-ésima de aᵐ, con a positivo.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre dos cubos armados con cubitos, uno de arista 1 y otro de arista 2, y pregunte cuántos cubitos tiene el grande antes de contarlos.
- Explicación · 25 min — Las propiedades contando factores en el tablero; exponente cero y negativo deducidos de la regla del cociente; exponente racional con 9^(1/2) y 8^(2/3).
- Práctica · 15 min — Preguntas individuales; el dominó y el intruso en parejas.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante escriba un error de signo o de exponente que haya cometido y la regla que lo corrige.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué 2⁻³ no es un número negativo?
- ¿Qué es mayor, (−2)⁴ o −2⁴? ¿Por qué?
- Si el lado de un cuadrado se multiplica por 10, ¿por cuánto se multiplica su área?
Errores típicos
- Multiplicar los exponentes en un producto de igual base (x⁴·x³ = x¹²). Escriba los factores uno por uno y cuéntelos.
- Creer que el exponente negativo da un número negativo (5⁻² = −25). Construya la tabla 5², 5¹, 5⁰, 5⁻¹, 5⁻² dividiendo entre 5 en cada paso.
- Multiplicar la base por el exponente fraccionario (16^(3/4) = 12). Pida comprobar elevando: si 16^(1/4) fuera 4, entonces 4⁴ debería dar 16, y da 256.
- Repartir el exponente en una suma: (a + b)² = a² + b². Pruebe con a = 1 y b = 2: (1 + 2)² = 9, pero 1² + 2² = 5.
Tarea sugerida
Simplificar cuatro expresiones con letras usando las propiedades, calcular 4^(3/2), 125^(2/3) y (3/4)⁻², y explicar por escrito cuántas veces aumenta el volumen de un cubo si su arista se triplica.