Radicales y sus propiedades

¿Para qué sirve esto?

Cuando calculas la diagonal de un rectángulo o el lado de un cuadrado a partir de su área, el resultado suele ser una raíz que no es exacta, como $\sqrt{72}$. Esa escritura es exacta, pero es difícil saber de un vistazo cuánto vale o compararla con otra. Si la escribes como $6\sqrt{2}$, ves enseguida que es seis veces la diagonal de un cuadrado de lado $1$, un poco más de $8$.

Simplificar radicales es como simplificar fracciones: el número no cambia, pero queda escrito de la manera más clara. Además, es el paso previo para sumar y restar raíces, que harás en la próxima lección.

Antes de empezar repasa los cuadrados perfectos ($4, 9, 16, 25, 36, 49, \ldots$), los cubos perfectos ($8, 27, 64, 125$) y cómo se descompone un número en factores primos.

La raíz n-ésima

La raíz n-ésima de un número $a$ es el número $b$ que, elevado a la $n$, da $a$; si el índice es par, se toma el $b$ no negativo:

$$\sqrt[n]{a} = b \quad \text{quiere decir que} \quad b^n = a \quad (\text{y } b \ge 0 \text{ si } n \text{ es par})$$

En $\sqrt[n]{a}$, el número $n$ es el índice y $a$ es el radicando. Cuando el índice es $2$ (raíz cuadrada) no se escribe. Así, $\sqrt[3]{125} = 5$ porque $5^3 = 125$, y $\sqrt[4]{81} = 3$ porque $3^4 = 81$.

El índice decide qué radicandos se pueden usar:

• Con índice impar, el radicando puede ser cualquier real: $\sqrt[3]{-8} = -2$, porque $(-2)^3 = -8$.
• Con índice par, el radicando no puede ser negativo, porque ninguna potencia par de un real es negativa. $\sqrt{-16}$ no es un número real. Además, por acuerdo, la raíz de índice par es la no negativa: $\sqrt{9} = 3$, no $-3$, aunque $(-3)^2 = 9$; y $\sqrt{0} = 0$.

En la lección anterior viste que $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$. Esa conexión explica de dónde salen las propiedades de esta lección.

Raíz de un producto y de un cociente

Como $(a\,b)^{1/n} = a^{1/n}\,b^{1/n}$, la raíz de un producto es el producto de las raíces. Lo mismo pasa con el cociente. Para radicandos positivos:

$$\sqrt[n]{a\,b} = \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b} \qquad \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$

Las propiedades sirven en los dos sentidos. Hacia la derecha separan una raíz difícil en dos más fáciles; hacia la izquierda juntan dos raíces en una: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$.

Cuidado: no hay una propiedad así para la suma. $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, pero $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.

Simplificar un radical

Para simplificar $\sqrt{12}$ se busca, dentro del radicando, un factor que sea un cuadrado perfecto: $12 = 4 \cdot 3$. Entonces

$$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$

Se dice que el $2$ salió del radical. El radical queda simplificado cuando el radicando ya no tiene ningún factor que sea potencia perfecta del índice. Para una raíz cúbica se buscan cubos perfectos; para una raíz cuarta, potencias cuartas.

Si el factor no se ve a simple vista, ayuda descomponer en primos y formar grupos de tantos factores iguales como diga el índice. Cada grupo sale como un solo factor; lo que no completa grupo se queda adentro. Con $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ y raíz cuadrada, salen un $2$ y un $3$, y queda un $2$ adentro: $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.

El camino también se recorre al revés: introducir un factor en el radical. Como $3 = \sqrt{9}$, se tiene $3\sqrt{2} = \sqrt{9}\cdot\sqrt{2} = \sqrt{18}$. Esto sirve para comparar: $3\sqrt{2} < 2\sqrt{5}$ porque $\sqrt{18} < \sqrt{20}$.

Radicales semejantes

Dos radicales son semejantes cuando, ya simplificados, tienen el mismo índice y el mismo radicando; solo cambia el número que los multiplica. Así, $2\sqrt{3}$, $-5\sqrt{3}$ y $\tfrac{1}{2}\sqrt{3}$ son semejantes. En cambio, $\sqrt{3}$ y $\sqrt{5}$ no lo son (distinto radicando), ni $\sqrt{2}$ y $\sqrt[3]{2}$ (distinto índice).

Muchas veces no se nota hasta simplificar: $\sqrt{12}$ y $\sqrt{27}$ parecen distintos, pero son $2\sqrt{3}$ y $3\sqrt{3}$. Un truco para las raíces cuadradas: dos radicales son semejantes exactamente cuando su cociente es un número racional. Por ejemplo, $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{12}} = \sqrt{\tfrac{27}{12}} = \sqrt{\tfrac{9}{4}} = \tfrac{3}{2}$.

Los radicales semejantes se comportan como términos semejantes en álgebra: igual que $2x + 3x = 5x$, se pueden reunir en uno solo. Eso lo harás en la próxima lección.

En resumen

• La raíz n-ésima de a es el número b con bⁿ = a (con índice par, el b no negativo); n es el índice y a el radicando.

• Con índice par el radicando no puede ser negativo; con índice impar, sí.

• La raíz de un producto es el producto de las raíces, y la de un cociente, el cociente; para la suma no hay propiedad así.

• Para simplificar se sacan del radical los factores que son potencias perfectas del índice, como √12 = 2√3.

• Los radicales semejantes tienen, ya simplificados, el mismo índice y el mismo radicando.

Vocabulario

Raíz n-ésima

La raíz n-ésima de a es el número b tal que bⁿ = a; si el índice es par, a no puede ser negativo y se toma el b no negativo (√9 = 3, no −3). Se escribe con el símbolo radical y el índice n.

Índice

El número pequeño del radical que dice qué raíz se saca; en la raíz cuadrada es 2 y no se escribe.

Radicando

El número o la expresión que va dentro del símbolo radical.

Radical simplificado

Radical cuyo radicando no tiene ningún factor que sea una potencia perfecta del índice.

Radicales semejantes

Radicales que, ya simplificados, tienen el mismo índice y el mismo radicando, como 2√3 y 5√3.