Operaciones con radicales

¿Para qué sirve esto?

Imagina que vas a poner cinta sobre las diagonales de dos cuadrados pegados que forman un tablero, y que esas diagonales miden $\sqrt{8}$ y $\sqrt{18}$ centímetros. Con la calculadora obtienes $2{,}83 + 4{,}24$, pero esos son valores aproximados y el error ya empezó a acumularse. Si en cambio sabes operar con los radicales, descubres que $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$: un resultado exacto, que solo redondeas al final, cuando vas a cortar la cinta.

En esta lección aprendes a sumar, restar, multiplicar y dividir radicales, y a racionalizar, es decir, a quitar las raíces del denominador de una fracción.

Antes de empezar necesitas saber simplificar un radical extrayendo factores ($\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$) y reconocer cuándo dos radicales son semejantes.

Sumar y restar: solo radicales semejantes

Sumar radicales se parece mucho a sumar términos semejantes en álgebra. Así como $3a + 5a = 8a$, también $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$: se suman los coeficientes y el radical se queda igual. El radical funciona como la «unidad» que se está contando: tres de ellos más cinco de ellos son ocho de ellos.

En cambio, $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ no se puede escribir como un solo radical, igual que $a + b$ no se puede juntar. Y, sobre todo, no es $\sqrt{5}$: la raíz de una suma no es la suma de las raíces. Puedes comprobarlo con $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$, mientras que $\sqrt{25} = 5$.

Muchas veces los radicales no parecen semejantes hasta que los simplificas. Por eso el procedimiento tiene dos pasos:

1. Simplifica cada radical extrayendo los factores que sean cuadrados perfectos.
2. Agrupa los que quedaron semejantes y suma o resta sus coeficientes.

Multiplicar y dividir

Para multiplicar y dividir no hace falta que sean semejantes: basta con que tengan el mismo índice. Se usan las mismas propiedades de la lección anterior, leídas al revés:

$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}, \qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \qquad (a \geq 0,\ b > 0)$$

Cuando hay coeficientes, se multiplican coeficientes con coeficientes y radicandos con radicandos, y al final se simplifica. Si uno de los factores es una suma, se aplica la propiedad distributiva, como con cualquier binomio.

Un producto merece atención especial. Si multiplicas una suma por la diferencia de los mismos términos, los términos del medio se cancelan:

$$\left(a + \sqrt{b}\right)\left(a - \sqrt{b}\right) = a^2 - \left(\sqrt{b}\right)^2 = a^2 - b$$

¡El resultado ya no tiene raíces! Esta idea es la llave de la racionalización.

Racionalizar el denominador

Una fracción como $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ es un número perfectamente válido, pero tiene un inconveniente: para aproximarla habría que dividir entre $1{,}41421\ldots$, un decimal que nunca termina. Por convención, los resultados se entregan sin radicales en el denominador. Racionalizar es encontrar una fracción equivalente que cumpla eso.

La herramienta es siempre la misma: multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número, lo que equivale a multiplicar por 1 y no cambia el valor.

• Denominador monomio, como $\sqrt{a}$: se multiplica arriba y abajo por $\sqrt{a}$, porque $\sqrt{a}\cdot\sqrt{a} = a$. Así, $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
• Denominador binomio, como $a + \sqrt{b}$: se multiplica arriba y abajo por su conjugado, $a - \sqrt{b}$, porque el producto de los dos es $a^2 - b$. Por ejemplo, para $\dfrac{1}{1 + \sqrt{2}}$ se multiplica por $1 - \sqrt{2}$, y el denominador queda $1 - 2 = -1$.

Fíjate en que racionalizar no cambia el número: $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ y $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ son el mismo punto de la recta. Solo cambia la forma de escribirlo, y la nueva forma es más fácil de comparar, de sumar y de aproximar.

Exacto hasta el final

Todo lo anterior tiene un mismo propósito: trabajar con valores exactos el mayor tiempo posible. Si aproximas cada radical a dos decimales antes de operar, cada aproximación trae un pequeño error, y al multiplicar o sumar varios de ellos los errores se juntan. En cambio, si operas con los radicales, simplificas y racionalizas, llegas a una expresión exacta y corta, como $5\sqrt{2}$ o $3 - \sqrt{5}$. Solo entonces, si el problema pide una medida, usas la calculadora una única vez.

En resumen

• Solo los radicales semejantes se suman o se restan en un término; se operan los coeficientes y el radical se conserva.

• Antes de sumar conviene simplificar cada radical, porque así aparecen los semejantes.

• Para multiplicar o dividir radicales del mismo índice se multiplican o dividen los radicandos, y luego se simplifica.

• Racionalizar es escribir una fracción equivalente sin radicales en el denominador; no cambia el número.

• Con un denominador √a se multiplica por √a; con a + √b se multiplica por el conjugado a − √b.

Vocabulario

Radicales semejantes

Radicales con el mismo índice y el mismo radicando, como 3√2 y −5√2. Solo esos se pueden sumar o restar en un solo término.

Racionalizar

Transformar una fracción en otra equivalente cuyo denominador no tenga radicales.

Conjugado

El conjugado de a + √b es a − √b, y al revés. Su producto, a² − b, no tiene radicales.

Coeficiente

El número que multiplica a un radical: en 4√3, el coeficiente es 4.