Notación científica
Lo que vas a aprender
- Escribir en notación científica números muy grandes y muy pequeños, y pasarlos de nuevo a la escritura decimal.
- Multiplicar y dividir números escritos en notación científica, ajustando el resultado para que el coeficiente quede entre 1 y 10.
- Comparar cantidades escritas en notación científica fijándose primero en el exponente.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Hay cantidades tan grandes o tan pequeñas que, escritas con todas sus cifras, se vuelven ilegibles. Piensa en el número de granos de arena de una playa entera, o en el grosor de una película de jabón: el primero tendría una fila larguísima de ceros al final, y el segundo, una fila de ceros justo después de la coma. Contar esos ceros es lento y es muy fácil equivocarse en uno, que es como equivocarse en un factor de 10.
La notación científica resuelve el problema: escribe cualquier número como un coeficiente sencillo multiplicado por una potencia de 10. Así se leen, se comparan y se operan esas cantidades en un renglón. Es la forma en que trabajan las ciencias, y es la que usa tu calculadora cuando el número no le cabe en la pantalla.
Antes de empezar necesitas recordar las propiedades de las potencias: que $10^m \cdot 10^n = 10^{m+n}$, que $\dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}$ y que $10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}$.
Explicación
La forma $a \times 10^n$
Un número está en notación científica cuando se escribe como
$$a \times 10^{n}, \qquad \text{con } 1 \leq a < 10 \text{ y } n \text{ entero.}$$
El coeficiente $a$ tiene exactamente una cifra distinta de cero antes de la coma. Por eso $4{,}5 \times 10^{6}$ está en notación científica, pero $45 \times 10^{5}$ y $0{,}45 \times 10^{7}$ no lo están, aunque los tres representen el mismo número.
El exponente $n$ dice cuántas veces se multiplica (o se divide) por 10:
- si $n$ es positivo, el número es grande, mayor o igual que 10;
- si $n$ es cero, el número está entre 1 y 10, porque $10^0 = 1$;
- si $n$ es negativo, el número es pequeño, entre 0 y 1.
Del número a la notación científica
La idea es mover la coma hasta que quede una sola cifra distinta de cero a su izquierda, y contar cuántos lugares la moviste.
- Si el número es grande, la coma se mueve hacia la izquierda, y el exponente es positivo: $52\,000 = 5{,}2 \times 10^{4}$, porque la coma pasó 4 lugares.
- Si el número es pequeño, la coma se mueve hacia la derecha, y el exponente es negativo: $0{,}0031 = 3{,}1 \times 10^{-3}$, porque la coma pasó 3 lugares.
Un truco para no perderse: mover la coma cambia el número, así que la potencia de 10 tiene que deshacer ese cambio. Si al mover la coma el número se hizo más pequeño, la potencia lo vuelve a agrandar, y al revés.
Para volver a la escritura decimal se hace el camino contrario: con $10^{n}$ se corre la coma $n$ lugares a la derecha; con $10^{-n}$, $n$ lugares a la izquierda, completando con ceros cuando haga falta.
Multiplicar y dividir
La notación científica brilla al operar, porque se trabaja por separado con los coeficientes y con las potencias de 10:
- Producto: se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.
- Cociente: se dividen los coeficientes y se restan los exponentes.
Al final hay que revisar el coeficiente. Si quedó fuera del rango de 1 a 10, se ajusta moviendo la coma y compensando en el exponente. Por ejemplo, si un producto da $15 \times 10^{5}$, como $15 = 1{,}5 \times 10$, el resultado es $1{,}5 \times 10^{6}$. Si un cociente da $0{,}5 \times 10^{-2}$, como $0{,}5 = 5 \times 10^{-1}$, el resultado es $5 \times 10^{-3}$.
Los exponentes negativos se operan igual, con las reglas de los signos: $(2 \times 10^{-3}) \cdot (4 \times 10^{5}) = 8 \times 10^{2}$, porque $-3 + 5 = 2$.
Comparar
Para comparar dos números positivos en notación científica, mira primero el exponente: el que tenga el exponente mayor es el mayor, sin importar el coeficiente. Así, $1{,}1 \times 10^{6}$ es mayor que $9{,}9 \times 10^{5}$. Solo si los exponentes son iguales se comparan los coeficientes. Esto funciona precisamente porque el coeficiente siempre está entre 1 y 10.
En la calculadora
Muchas calculadoras muestran $4{,}5 \times 10^{6}$ como 4.5E6 o 4.5 06. La «E» no es
una variable: significa «por diez a la». Lee siempre el exponente con su signo, porque
4.5E-6 es un número pequeñísimo.
Ejemplo resuelto
Un número grande
Escribe $45\,000\,000$ en notación científica.
Ver la solución paso a paso
Buscamos el coeficiente: corremos la coma hasta dejar una sola cifra antes de ella, $4{,}5$. Para eso la coma pasa 7 lugares hacia la izquierda.
Correr la coma 7 lugares a la izquierda divide el número entre $10^7$; para no cambiarlo, lo multiplicamos por $10^7$:
$$45\,000\,000 = 4{,}5 \times 10^{7}$$
Comprobamos que el coeficiente cumple $1 \leq 4{,}5 < 10$. Resultado: $45\,000\,000 = 4{,}5 \times 10^{7}$.
Ejemplo resuelto
Un número pequeño
Escribe $0{,}00062$ en notación científica.
Ver la solución paso a paso
Corremos la coma hacia la derecha hasta dejar una cifra distinta de cero antes de ella: $6{,}2$. La coma pasa 4 lugares.
Correr la coma 4 lugares a la derecha multiplica por $10^4$; para compensar, dividimos entre $10^4$:
$$0{,}00062 = \frac{6{,}2}{10^{4}}$$
Y dividir entre $10^4$ es lo mismo que multiplicar por $10^{-4}$. Resultado: $0{,}00062 = 6{,}2 \times 10^{-4}$. El exponente es negativo porque el número está entre 0 y 1.
Ejemplo resuelto
Un producto que hay que ajustar
Calcula $\left(3{,}2 \times 10^{5}\right)\left(4 \times 10^{3}\right)$ y deja el resultado en notación científica.
Ver la solución paso a paso
Partimos del producto.
$$\left(3{,}2 \times 10^{5}\right)\left(4 \times 10^{3}\right)$$
Agrupamos los coeficientes por un lado y las potencias de 10 por otro; los exponentes se suman.
$$\left(3{,}2 \cdot 4\right) \cdot 10^{5 + 3}$$
Operamos: $3{,}2 \cdot 4 = 12{,}8$ y $5 + 3 = 8$.
$$12{,}8 \times 10^{8}$$
El coeficiente $12{,}8$ es mayor que 10. Como $12{,}8 = 1{,}28 \times 10$, sumamos 1 al exponente:
$$1{,}28 \times 10^{9}$$
Respuesta: $1{,}28 \times 10^{9}$
Ejemplo resuelto
Un reparto con cociente
Un juego en línea inventado reparte $8{,}4 \times 10^{9}$ monedas virtuales, en partes iguales, entre $2{,}1 \times 10^{3}$ jugadores. ¿Cuántas monedas recibe cada jugador?
Ver la solución paso a paso
Planteamos el cociente.
$$\frac{8{,}4 \times 10^{9}}{2{,}1 \times 10^{3}}$$
Dividimos los coeficientes y restamos los exponentes.
$$\frac{8{,}4 \times 10^{9 - 3}}{2{,}1}$$
Como $8{,}4 \div 2{,}1 = 4$ y $9 - 3 = 6$, el coeficiente ya está entre 1 y 10:
$$4 \times 10^{6}$$
Cada jugador recibe $4 \times 10^{6}$ monedas, es decir, cuatro millones.
Respuesta: $4 \times 10^{6}$
Práctica
¿Cómo se escribe $3\,700\,000$ en notación científica?
La coma pasa 6 lugares a la izquierda para quedar en 3,7. Contar solo los ceros (5) o todas las cifras (7) da un exponente equivocado.
¿Qué valor de n hace verdadera la igualdad $4{,}8 \times 10^{n} = 0{,}00048$?
Para pasar de 0,00048 a 4,8 la coma se corre 4 lugares a la derecha, así que n = −4. Contar solo los ceros después de la coma da −3, y el signo es negativo porque el número es menor que 1.
Escribe $2{,}05 \times 10^{4}$ como número decimal, sin potencias.
Con 10⁴ la coma se corre 4 lugares a la derecha: 2,05 → 20 500. Hay que completar con ceros.
¿Verdadero o falso? $45 \times 10^{5} = 4{,}5 \times 10^{6}$
Los dos lados valen 4 500 000. Pero solo el lado derecho está en notación científica, porque 45 no está entre 1 y 10.
¿Cuánto es $\left(2{,}5 \times 10^{6}\right)\left(4 \times 10^{3}\right)$, en notación científica?
2,5 · 4 = 10 y 6 + 3 = 9, así que da 10 × 10⁹. Como 10 = 1 × 10¹, el resultado es 1 × 10¹⁰. Si no ajustas el exponente te queda 1 × 10⁹, que es diez veces menor.
¿Cuánto es $\frac{9{,}6 \times 10^{8}}{3{,}2 \times 10^{2}}$?
9,6 ÷ 3,2 = 3 y 8 − 2 = 6: el resultado es 3 × 10⁶. Los exponentes se restan; no se dividen (10⁴) ni se suman (10¹⁰).
Un municipio inventado tiene 2,4 × 10⁵ habitantes, y cada uno gasta en promedio 1,5 × 10² litros de agua al día. Si el gasto diario del municipio, en litros, se escribe 3,6 × 10ⁿ, ¿cuánto vale n?
2,4 · 1,5 = 3,6 y 5 + 2 = 7: el gasto es 3,6 × 10⁷ litros diarios. En un producto los exponentes se suman, no se multiplican (10) ni se restan (3).
¿Qué valor de n hace verdadera la igualdad $\frac{8 \times 10^{9}}{2 \times 10^{12}} = 4 \times 10^{n}$?
8 ÷ 2 = 4 y 9 − 12 = −3. El resultado, 4 × 10⁻³, es un número pequeño, porque el denominador es mucho más grande que el numerador.
Una hoja de un papel especial tiene un grosor de 8 × 10⁻⁵ metros. ¿Cuántos metros de alto mide una pila de 5 × 10³ de esas hojas? Escribe el resultado como número decimal.
8 · 5 = 40 y −5 + 3 = −2: la pila mide 40 × 10⁻² = 4 × 10⁻¹ = 0,4 m.
¿Verdadero o falso? $6{,}3 \times 10^{7} > 2{,}1 \times 10^{8}$
Manda el exponente: 10⁸ es mayor que 10⁷, así que 2,1 × 10⁸ es el mayor aunque su coeficiente sea menor. En decimal, 63 000 000 < 210 000 000.
Marca todas las expresiones que están escritas en notación científica.
Marca todas las que apliquen.
El coeficiente tiene que cumplir 1 ≤ a < 10. 45, 0,45 y 10 no lo cumplen; 4,5, 1 y 9,99 sí. El signo del exponente no importa.
Reto
Une cada número con su notación científica.
A la izquierda, la notación científica; a la derecha, el número con todas sus cifras.
Reto
Abre el candado con los coeficientes.
En cada pista, encuentra el coeficiente a que hace verdadera la igualdad. Cada uno es un dígito.
Reto
Busca las palabras de la notación científica.
Las palabras pueden estar en horizontal o en vertical.
Cierre
En resumen
Un número en notación científica se escribe a × 10ⁿ, con 1 ≤ a < 10 y n entero.
Los números grandes llevan exponente positivo; los que están entre 0 y 1, exponente negativo.
Para multiplicar se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes; para dividir se dividen los coeficientes y se restan los exponentes.
Si el coeficiente queda fuera del rango de 1 a 10, se ajusta corriendo la coma y compensando en el exponente.
Para comparar dos números positivos en notación científica se mira primero el exponente.
Vocabulario
- Notación científica
Forma de escribir un número como a × 10ⁿ, con 1 ≤ a < 10 y n entero.
- Coeficiente
En a × 10ⁿ, el número a. Tiene una sola cifra distinta de cero antes de la coma.
- Orden de magnitud
El exponente n de la potencia de 10: indica, a grandes rasgos, qué tan grande o qué tan pequeño es el número.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Escriba en el tablero 0,000000045 y 45 000 000 000 y pida a dos estudiantes que los lean en voz alta; discutan qué dificulta la lectura.
- Explicación · 15 min — La forma a × 10ⁿ, los dos primeros ejemplos (número grande y pequeño) y las reglas del producto y el cociente con los ejemplos 3 y 4.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el dominó y el candado en parejas. Si hay calculadoras, que comprueben cómo muestran un resultado muy grande.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante inventa una cantidad muy pequeña y otra muy grande, y las escribe en notación científica.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué 45 × 10⁵ no está en notación científica si vale lo mismo que 4,5 × 10⁶?
- ¿Qué número es mayor: 2 × 10⁻³ o 9 × 10⁻⁴? ¿Cómo lo deciden sin pasar a decimal?
- Cuando la calculadora muestra 3.2E-5, ¿el número es grande o pequeño?
Errores típicos
- Contar solo los ceros para hallar el exponente. Pida contar los lugares que se mueve la coma, marcándolos con pequeños saltos debajo del número.
- Poner exponente positivo a un número menor que 1. Pregunte si el número es mayor o menor que 1 antes de escribir el exponente; eso decide el signo.
- Multiplicar los exponentes en un producto. Escriba 10³ · 10² como (10·10·10)(10·10) y que cuenten los factores.
- Dejar el coeficiente fuera del rango, como 12,8 × 10⁸. Revise siempre el último paso: una sola cifra distinta de cero antes de la coma.
Tarea sugerida
Escribir en notación científica 72 000 000, 0,0000903 y 610; calcular (6 × 10⁴)(7 × 10⁻⁹) y (1,8 × 10⁵) ÷ (6 × 10⁻²), y explicar por escrito cómo se ajustó cada coeficiente.