Intervalos y desigualdades
Lo que vas a aprender
- Aplicar las propiedades de orden de los reales al sumar, restar, multiplicar o dividir los dos lados de una desigualdad.
- Representar un conjunto de números reales en notación de intervalo, como desigualdad y en la recta numérica, y pasar de una forma a otra.
- Hallar la unión y la intersección de dos intervalos sencillos.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Muchas reglas de la vida diaria no hablan de un número exacto, sino de todos los números de una franja. Una atracción de un parque pide una estatura de al menos cierto valor; una nevera debe mantenerse entre dos temperaturas; una tarifa de envío vale para paquetes que pesen menos de cierto límite. En todos esos casos la respuesta no es un número: es un conjunto infinito de números reales.
Para describir esos conjuntos con precisión, en matemáticas se usan las desigualdades y los intervalos. En esta lección vas a aprender a escribirlos de tres maneras, a operar con desigualdades sin cambiar su verdad, y a juntar o cruzar dos intervalos. Es la base para resolver inecuaciones en la próxima lección.
Antes de empezar necesitas saber ubicar números reales en la recta numérica y comparar dos números, incluidos los negativos: $-5 < -2$ porque $-5$ está más a la izquierda.
Explicación
El orden de los números reales
Dados dos reales distintos $a$ y $b$, siempre uno es menor que el otro: en la recta, el menor queda a la izquierda. Se escribe $a < b$ («$a$ es menor que $b$») o $b > a$. Los símbolos $\leq$ y $\geq$ significan «menor o igual» y «mayor o igual».
Una desigualdad verdadera sigue siendo verdadera si haces lo mismo a los dos lados, con una excepción importante:
- Sumar o restar el mismo número a los dos lados conserva el sentido: si $a < b$, entonces $a + c < b + c$.
- Multiplicar o dividir por un número positivo conserva el sentido: si $a < b$ y $c > 0$, entonces $a \cdot c < b \cdot c$.
- Multiplicar o dividir por un número negativo invierte el sentido: si $a < b$ y $c < 0$, entonces $a \cdot c > b \cdot c$.
La tercera propiedad se entiende en la recta: multiplicar por $-1$ refleja los puntos alrededor del 0, y lo que estaba a la izquierda pasa a la derecha. Por ejemplo, $2 < 7$, pero $-2 > -7$.
Los intervalos
Un intervalo es el conjunto de todos los reales entre dos extremos. Lo que decide su tipo es si los extremos entran o no entran:
- Cerrado $[a;\ b]$: incluye los dos extremos. Desigualdad: $a \leq x \leq b$.
- Abierto $(a;\ b)$: no incluye ninguno. Desigualdad: $a < x < b$.
- Semiabierto $[a;\ b)$ o $(a;\ b]$: incluye solo uno. Por ejemplo, $[a;\ b)$ es $a \leq x < b$.
- Infinito, cuando no hay tope por un lado: $[a;\ \infty)$ es $x \geq a$, y $(-\infty;\ b)$ es $x < b$.
El corchete significa «entra» y el paréntesis, «no entra». Al lado del infinito siempre va paréntesis, porque $\infty$ no es un número real: ningún número llega a ser «infinito», así que no puede pertenecer al intervalo.
En la recta numérica se marca un extremo que entra con un punto relleno (o un corchete) y uno que no entra con un punto vacío (o un paréntesis), y se sombrea el tramo entre ellos. Si el intervalo es infinito, el sombreado sigue con una flecha.
Fíjate en que un intervalo con extremos distintos tiene infinitos elementos. El intervalo $(1;\ 2)$ no contiene ningún entero, pero contiene a $1{,}5$, a $\sqrt{2}$, a $1{,}999$ y a infinitos números más.
Unión e intersección
Con dos intervalos se pueden formar conjuntos nuevos:
- La intersección $A \cap B$ reúne los números que están a la vez en $A$ y en $B$. En la recta, es el tramo donde los dos sombreados se superponen. Si no se superponen, la intersección es el conjunto vacío, $\varnothing$.
- La unión $A \cup B$ reúne los números que están en al menos uno de los dos. En la recta, es todo lo sombreado. Si los intervalos se superponen, o si uno empieza donde termina el otro y ese extremo está incluido en alguno de los dos, la unión es un solo intervalo. Si no, se deja escrita con el símbolo $\cup$: por ejemplo, $(0;\ 1) \cup (1;\ 2)$ no es un intervalo, porque le falta el $1$.
En cada extremo de la respuesta hay que preguntarse: ¿este número está en los dos intervalos (para la intersección) o en alguno (para la unión)? De esa pregunta sale si va corchete o paréntesis.
El intervalo [−2; 3): el −2 entra (corchete) y el 3 no entra (paréntesis). Todos los reales entre ellos pertenecen al intervalo. Como desigualdad: −2 ≤ x < 3.
Ejemplo resuelto
Las propiedades de orden con números
Parte de la desigualdad verdadera $4 < 9$ y observa qué pasa con cada operación.
Ver la solución paso a paso
La desigualdad de partida:
$$4 < 9$$
Sumamos 3 a los dos lados: el sentido se conserva.
$$4 + 3 < 9 + 3$$
Restamos 10 a los dos lados: también se conserva, aunque ahora los dos lados sean negativos.
$$4 - 10 < 9 - 10$$
Multiplicamos por 2, que es positivo: se conserva.
$$2 \cdot 4 < 2 \cdot 9$$
Multiplicamos por $-2$, que es negativo: el sentido se invierte, porque $-8$ está a la derecha de $-18$.
$$-2 \cdot 4 > -2 \cdot 9$$
Respuesta: Sumar, restar o multiplicar por un positivo conserva el sentido; al multiplicar por $-2$ queda $-8 > -18$: el sentido se invierte.
Ejemplo resuelto
Intersección de dos intervalos
Halla $[-2;\ 5] \cap (1;\ 8)$.
Ver la solución paso a paso
Ubicamos los dos intervalos en la recta. El primero va de $-2$ a $5$, con los dos extremos incluidos; el segundo va de $1$ a $8$, sin sus extremos.
Se superponen entre $1$ y $5$. El $1$ no entra, porque no está en $(1;\ 8)$; el $5$ sí entra, porque está en los dos. La intersección es: $\left(1;\ 5\right]$
Respuesta: $\left(1;\ 5\right]$
Arrastra los extremos y tócalos para llenarlos o dejarlos vacíos. Arma primero los reales mayores que −1 y menores o iguales que 4; después, la intersección [−2; 5] ∩ (1; 8). Toca «Comprobar» en cada uno.
Ejemplo resuelto
Unión de dos intervalos
Halla $[-3;\ 1] \cup (0;\ 4)$.
Ver la solución paso a paso
Los dos intervalos se superponen entre $0$ y $1$, así que juntos forman un solo tramo, desde $-3$ hasta $4$.
El $-3$ entra, porque está en el primero. El $4$ no entra, porque no está en ninguno de los dos. La unión es: $\left[-3;\ 4\right)$
Como desigualdad: $-3 \leq x < 4$.
Respuesta: $\left[-3;\ 4\right)$
Práctica
¿Qué intervalo representa la desigualdad $x \ge -2$?
«Mayor o igual que −2» incluye el −2, así que va corchete; hacia la derecha no hay tope, así que el otro extremo es ∞, con paréntesis.
¿Qué intervalo representa la desigualdad $x < 5$?
Los números menores que 5 van desde −∞ hasta 5, sin incluir el 5: (−∞; 5).
¿Qué intervalo forman los números reales mayores que −1 y menores o iguales que 4?
«Mayor que −1» deja fuera al −1 (paréntesis) y «menor o igual que 4» incluye al 4 (corchete): (−1; 4].
Marca todos los números que pertenecen al intervalo [−2; 3).
Marca todas las que apliquen.
El −2 entra por el corchete; el 3 no, por el paréntesis. El 0, √8 ≈ 2,83 y 2,9 están entre los dos extremos. El −3 queda a la izquierda del −2.
¿Cuál es la intersección de los intervalos [−2; 5] y (1; 8)?
Se superponen entre 1 y 5. El 1 no está en (1; 8), así que no entra; el 5 está en los dos, así que entra. [−2; 8) sería la unión, no la intersección.
¿Cuál es la unión de los intervalos [−3; 1] y (0; 4)?
Juntos cubren desde −3 (incluido, por el primero) hasta 4 (excluido, porque no está en ninguno). (0; 1] es lo que tienen en común: la intersección.
¿Cuál es la intersección de los intervalos [−4; −1) y [2; 6]?
Los dos intervalos no se tocan: el primero termina antes del −1 y el segundo empieza en 2. No hay ningún número en los dos a la vez, así que la intersección es vacía.
¿Verdadero o falso? Como 2 < 5, al multiplicar los dos lados por −3 se obtiene $-3 \cdot 2 < -3 \cdot 5$.
Al multiplicar por un negativo el sentido se invierte: −6 > −15, porque −6 está a la derecha de −15.
¿Verdadero o falso? $\frac{3}{7} < 0{,}43$
3/7 = 0,428571…, que es menor que 0,43. Para comparar una fracción con un decimal conviene pasarlas a la misma escritura.
¿Cuántos números enteros hay en el intervalo (−3; 4]?
El −3 no entra y el 4 sí: los enteros son −2, −1, 0, 1, 2, 3 y 4. Son 7.
¿Por qué al lado del símbolo ∞ siempre se escribe paréntesis y nunca corchete?
∞ indica que el intervalo no tiene tope, no es un número que se pueda incluir. Un intervalo como [2; ∞) es cerrado en el 2, así que no es abierto en los dos extremos.
Reto
Escribe cada desigualdad como intervalo.
Elige en cada hueco el intervalo correcto. Fíjate en si el extremo entra o no.
Reto
Cuenta los enteros de cada intervalo.
Cada pista da un dígito. Revisa bien si los extremos entran.
Reto
El crucigrama de los intervalos.
Lee cada pista y escribe la palabra, sin tildes.
Cierre
En resumen
Sumar o restar el mismo número a los dos lados de una desigualdad conserva su sentido, y también multiplicar o dividir por un positivo.
Multiplicar o dividir los dos lados por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad.
Un intervalo se escribe con corchete en el extremo que entra y con paréntesis en el que no entra; junto a ∞ siempre va paréntesis.
Un mismo conjunto se puede escribir como intervalo, como desigualdad o dibujado en la recta.
La intersección son los números comunes a dos intervalos; la unión, los que están en alguno de los dos.
Vocabulario
- Desigualdad
Relación entre dos expresiones que usa <, >, ≤ o ≥ en lugar del signo =.
- Intervalo
Conjunto de todos los números reales comprendidos entre dos extremos, que pueden estar incluidos o no.
- Intervalo abierto
Intervalo que no incluye sus extremos; se escribe con paréntesis, como (a; b).
- Intervalo cerrado
Intervalo que incluye sus dos extremos; se escribe con corchetes, como [a; b].
- Intersección
Los números que están a la vez en dos conjuntos. Se escribe con el símbolo ∩.
- Unión
Los números que están en al menos uno de dos conjuntos. Se escribe con el símbolo ∪.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte qué estaturas cumplen la regla «al menos 1,20 m» de una atracción y pida varias respuestas; concluya que son infinitas.
- Explicación · 15 min — Propiedades de orden con el primer ejemplo en el tablero; los tipos de intervalo en las tres notaciones; unión e intersección con los ejemplos 2 y 3 dibujados en la recta.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el candado y los huecos en parejas. Pida que dibujen en la recta cada intervalo antes de responder.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe un intervalo semiabierto en las tres notaciones.
Preguntas para el salón
- ¿Cuántos números hay en el intervalo (1; 2)? ¿Y cuántos enteros?
- Si a < b, ¿qué pasa con −a y −b? Den un ejemplo con números.
- ¿Puede la unión de dos intervalos no ser un intervalo? ¿Y la intersección?
Errores típicos
- Usar corchete junto a ∞. Pregunte cuál es el último número del intervalo [2; ∞); al no existir, no hay nada que incluir.
- Conservar el sentido al multiplicar por un negativo. Pida comprobar con números concretos, como 2 < 7 multiplicado por −1, y ubicar los resultados en la recta.
- Confundir unión con intersección. Use dos colores en la recta: la intersección es donde se cruzan los colores; la unión, todo lo pintado.
- Creer que un intervalo solo contiene enteros. Pida ubicar 1,5 y √2 dentro de (1; 2).
Tarea sugerida
Escribir en las tres notaciones los intervalos −1 < x ≤ 6, x ≥ 2,5 y (−∞; 0); hallar [0; 6] ∩ (3; 9) y [0; 6] ∪ (3; 9), y explicar por escrito qué pasa con −4 < 10 al multiplicar por −0,5.