Inecuaciones lineales
Lo que vas a aprender
- Resolver inecuaciones lineales con una incógnita aplicando las propiedades de orden, incluido el cambio de sentido al multiplicar o dividir por un negativo.
- Expresar el conjunto solución como intervalo y representarlo en la recta numérica.
- Plantear y resolver inecuaciones a partir de problemas de presupuesto y de mínimos, e interpretar la solución en el contexto.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Supón que vas a cine con un dinero fijo, y además de la boleta quieres comprar algunos paquetes de crispetas. La pregunta no es «¿cuántos paquetes cuestan exactamente lo que tengo?», sino «¿hasta cuántos paquetes puedo comprar sin pasarme?». O al revés: necesitas reunir dinero trabajando por horas y quieres saber cuántas horas como mínimo debes trabajar.
Esas preguntas no se responden con una ecuación, sino con una inecuación: una desigualdad con una incógnita. Su respuesta casi nunca es un solo número, sino un intervalo de valores posibles, y de ahí sale la decisión: el máximo que te alcanza o el mínimo que necesitas.
Antes de empezar necesitas recordar cómo se resuelve una ecuación lineal, cómo se escribe un intervalo y qué propiedades de orden conservan o invierten el sentido de una desigualdad.
Explicación
Resolver es despejar, con una regla extra
Una inecuación lineal se resuelve casi igual que una ecuación lineal: se busca dejar la incógnita sola en un lado, haciendo la misma operación a los dos lados. Cada paso produce una inecuación equivalente, es decir, con el mismo conjunto solución. Lo que permite hacerlo son las propiedades de orden:
- Puedes sumar o restar cualquier número (o expresión) a los dos lados: el sentido se conserva.
- Puedes multiplicar o dividir por un positivo: el sentido se conserva.
- Si multiplicas o divides por un negativo, el sentido se invierte: $<$ pasa a ser $>$, y $\leq$ pasa a ser $\geq$.
La tercera regla es la única diferencia con las ecuaciones, y es la que más se olvida. Un truco para evitarla es pasar el término con $x$ al lado donde su coeficiente quede positivo. Por ejemplo, en vez de dividir $-2x > 6$ entre $-2$, puedes sumar $2x$ y restar $6$ a los dos lados para obtener $-6 > 2x$, y dividir entre $2$, que es positivo: $-3 > x$. Es lo mismo que $x < -3$.
La solución es un conjunto
Cuando terminas, normalmente obtienes algo como $x < 4$ o $x \geq -3$. Eso no es un número: son todos los reales que cumplen la condición. Por eso la respuesta se escribe como intervalo, $(-\infty;\ 4)$ o $[-3;\ \infty)$, y se dibuja en la recta. Fíjate en que el signo dice si el extremo entra: con $<$ o $>$ va paréntesis, y con $\leq$ o $\geq$, corchete.
Para comprobar una solución no basta con un número. Conviene probar un valor de dentro del intervalo, que debe cumplir la inecuación original, y uno de fuera, que no la debe cumplir. Si pruebas también el extremo, sabrás si ahí va corchete o paréntesis.
A veces, al despejar, la $x$ desaparece. Si queda una desigualdad verdadera, como $1 < 5$, cualquier real es solución y el conjunto solución es $\mathbb{R}$; si queda una falsa, como $5 < 1$, ningún real la cumple y el conjunto solución es vacío, $\varnothing$. Por ejemplo, $2x + 1 < 2x + 5$ se cumple para todo $x$.
Leerla en una gráfica
Una inecuación como $3x - 6 > 0$ también tiene una lectura gráfica: pregunta para qué valores de $x$ la recta $y = 3x - 6$ está por encima del eje $x$. La recta corta el eje en $x = 2$, y a la derecha de ese punto queda por encima. Así se ve, sin hacer cuentas, que la solución es $(2;\ \infty)$.
Problemas: el contexto decide
En un problema hay que traducir las frases a símbolos. «No más de», «a lo sumo» y «como máximo» se escriben con $\leq$; «al menos», «como mínimo» y «no menos de», con $\geq$.
Al final, el contexto puede recortar el intervalo. Si $x$ cuenta paquetes, personas u horas completas, solo sirven los enteros no negativos del intervalo. Por eso, si la inecuación da $x \leq 9{,}3$, la respuesta del problema es «como máximo 9»; y si da $x \geq 9{,}25$ horas completas, la respuesta es «como mínimo 10».
La recta y = 3x − 6 corta el eje x en (2; 0). A la derecha de ese punto queda por encima del eje: por eso 3x − 6 > 0 tiene como solución (2; ∞).
Ejemplo resuelto
Una inecuación de dos pasos
Resuelve $3x - 5 < 7$ y escribe la solución como intervalo.
Ver la solución paso a paso
Partimos de la inecuación.
$$3x - 5 < 7$$
Sumamos 5 a los dos lados; el sentido se conserva.
$$3x < 12$$
Dividimos entre 3, que es positivo; el sentido se conserva.
$$x < 4$$
La solución son todos los reales menores que 4: $(-\infty;\ 4)$. Comprobación: con $x = 0$, de dentro, queda $-5 < 7$, que es verdadero:
$$3 \cdot 0 - 5 < 7$$
con $x = 5$, de fuera, queda $10$, que no es menor que $7$:
$$3 \cdot 5 - 5 \ge 7$$
Respuesta: $x < 4$
Ejemplo resuelto
Cuando hay que dividir entre un negativo
Resuelve $4 - 2x \ge 10$.
Ver la solución paso a paso
Partimos de la inecuación.
$$4 - 2x \ge 10$$
Restamos 4 a los dos lados.
$$-2x \ge 6$$
Dividimos entre $-2$. Como es negativo, el $\geq$ se convierte en $\leq$:
$$x \le -3$$
La solución es $(-\infty;\ -3]$, con corchete porque el $-3$ cumple la igualdad:
$$4 - 2 \cdot \left(-3\right) = 10$$
Si no hubiéramos invertido el sentido, habríamos escrito $x \geq -3$, y el $0$ sería «solución»: pero con $x = 0$ queda $4$, que no llega a $10$:
$$4 - 2 \cdot 0 < 10$$
Respuesta: $x \le -3$
Ejemplo resuelto
Con la incógnita a los dos lados
Resuelve $2 \cdot \left(x + 3\right) \le 5x - 9$.
Ver la solución paso a paso
Partimos de la inecuación.
$$2 \cdot \left(x + 3\right) \le 5x - 9$$
Aplicamos la propiedad distributiva.
$$2x + 6 \le 5x - 9$$
Restamos $5x$ y $6$ a los dos lados para juntar los términos semejantes:
$$2x - 5x \le -9 - 6$$
Reducimos.
$$-3x \le -15$$
Dividimos entre $-3$ e invertimos el sentido:
$$x \ge 5$$
La solución es $[5;\ \infty)$.
Respuesta: $x \ge 5$
Pinta en la recta la solución de 4 − 2x ≥ 10 y después la de 2(x + 3) ≤ 5x − 9: arrastra los extremos, decide si cada uno va lleno o vacío y toca «Comprobar».
Ejemplo resuelto
Un problema de presupuesto
Tienes 40 mil pesos para ir a cine. La boleta cuesta 12 mil y cada paquete de crispetas, 7 mil. ¿Cuántos paquetes puedes comprar como máximo?
Ver la solución paso a paso
Llamamos $x$ al número de paquetes. El gasto, en miles de pesos, es $12 + 7x$, y no puede pasar de 40:
$$12 + 7x \le 40$$
Restamos 12 a los dos lados.
$$7x \le 28$$
Dividimos entre 7.
$$x \le 4$$
Como $x$ cuenta paquetes, solo sirven los enteros de $0$ a $4$. Puedes comprar como máximo 4 paquetes: con 4 gastas exactamente 40 mil.
$$12 + 7 \cdot 4 = 40$$
Respuesta: Como máximo 4 paquetes de crispetas.
Práctica
¿Cuál es el conjunto solución de $2x - 3 > 5$?
Sumamos 3: 2x > 8, y dividimos entre 2: x > 4. El 4 no entra porque la desigualdad es estricta. Si restas 3 en lugar de sumarlo, llegas a x > 1.
¿Cuál es el conjunto solución de $5 - 3x > 11$?
Restamos 5: −3x > 6. Al dividir entre −3 el sentido se invierte: x < −2. Si no inviertes el sentido, llegas a (−2; ∞), que es justo lo contrario.
¿Cuál es el conjunto solución de $4x + 1 \le 2x + 9$?
Restamos 2x y 1 a los dos lados: 2x ≤ 8, así que x ≤ 4. El 4 entra porque la desigualdad es «menor o igual». Si pasas el 2x sumando en lugar de restarlo, llegas a 6x ≤ 8 y a x ≤ 4/3.
¿Cuál es el conjunto solución de $\frac{x + 2}{3} < 4$?
Multiplicamos por 3, que es positivo: x + 2 < 12, y restamos 2: x < 10. Si sumas el 2 en vez de restarlo, llegas a x < 14.
¿Para qué valores de x la recta y = 3x − 6 de la figura está por encima del eje x? Es decir, ¿cuál es la solución de $3x - 6 > 0$?
3x − 6 > 0 equivale a 3x > 6, es decir, x > 2. En la gráfica, la recta corta el eje en x = 2 y queda por encima a la derecha. El −6 es el corte con el eje y, no con el eje x.
Marca todos los valores de x que cumplen la inecuación 3x − 7 ≥ 2.
Marca todas las que apliquen.
La solución es x ≥ 3, es decir, [3; ∞). El 3 entra porque la desigualdad incluye la igualdad; 4,5 y √10 ≈ 3,16 también son mayores que 3. El 0 y el −3 no la cumplen.
¿Verdadero o falso? El número −1 es solución de la inecuación −2x + 3 > 4.
Al reemplazar x = −1 queda −2·(−1) + 3 = 2 + 3 = 5, y 5 > 4 es verdadero. De hecho, la solución es x < −1/2, y −1 está en ella.
En una materia inventada, para aprobar, el promedio de cuatro notas debe ser al menos 3,5. Ana lleva 3,2, 2,8 y 3,6. Si x es su cuarta nota, la condición es $\frac{3{,}2 + 2{,}8 + 3{,}6 + x}{4} \ge 3{,}5$. ¿Qué valores de x cumplen esa condición?
Multiplicamos por 4: 9,6 + x ≥ 14, así que x ≥ 4,4. «Al menos» incluye el 4,4, por eso va corchete. Si la nota máxima es 5, en la práctica Ana necesita una nota entre 4,4 y 5.
Tienes 40 mil pesos. Una entrada a la piscina cuesta 12 mil y cada refresco, 3 mil. ¿Cuántos refrescos puedes comprar como máximo, además de la entrada?
La inecuación es 12 + 3x ≤ 40, así que 3x ≤ 28 y x ≤ 9,33… Como los refrescos son enteros, el máximo es 9: con 10 gastarías 42 mil.
Un estudiante gana 8 mil pesos por cada hora que trabaja, pero cada día de trabajo gasta 4 mil en transporte. En un día, ¿cuántas horas completas debe trabajar como mínimo para que le queden al menos 70 mil?
La inecuación es 8x − 4 ≥ 70, así que 8x ≥ 74 y x ≥ 9,25. Con 9 horas le quedan 68 mil, que no alcanza; por eso el mínimo es 10 horas completas.
Al resolver −4x > 12, Sofía divide los dos lados entre −4 y escribe x > −3. ¿Qué error cometió?
Dividir entre −4 invierte el sentido, así que la respuesta es x < −3. Se comprueba con x = −4: −4·(−4) = 16 > 12 es verdadero, y −4 cumple x < −3, no x > −3.
Reto
Elige el conjunto solución de cada inecuación.
Resuelve cada inecuación en tu cuaderno y elige el intervalo.
Reto
Abre el candado con los extremos enteros.
Resuelve cada inecuación y busca el entero que pide la pista. Cada respuesta es un dígito.
Reto
Busca las palabras de las inecuaciones.
Las palabras pueden estar en horizontal o en vertical.
Cierre
En resumen
Una inecuación lineal se resuelve como una ecuación, haciendo la misma operación a los dos lados.
Al multiplicar o dividir los dos lados por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte.
El conjunto solución se escribe como intervalo; con < o > el extremo no entra, y con ≤ o ≥ sí entra.
Para comprobar, se prueba un valor de dentro y uno de fuera del intervalo en la inecuación original.
En los problemas, «como máximo» se escribe ≤ y «al menos» ≥; si la incógnita cuenta cosas enteras, la respuesta es un entero del intervalo.
Vocabulario
- Inecuación
Desigualdad que contiene una incógnita, como 3x − 5 < 7.
- Solución de una inecuación
Cada valor de la incógnita que hace verdadera la desigualdad.
- Conjunto solución
El conjunto de todas las soluciones; en una inecuación lineal suele ser un intervalo infinito.
- Inecuaciones equivalentes
Inecuaciones que tienen el mismo conjunto solución.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee el problema del cine con los datos del ejemplo 4 y deje que lo resuelvan probando valores antes de escribir la inecuación.
- Explicación · 20 min — Los ejemplos 1 a 3 en el tablero, deteniéndose en el cambio de sentido; la lectura gráfica con la figura; el ejemplo 4 para traducir un enunciado.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; los huecos y el candado en parejas. Exija comprobar cada solución con un valor de dentro y uno de fuera.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante redacta un problema de presupuesto propio y lo intercambia con un compañero para resolverlo.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué al dividir entre un negativo se invierte el sentido? Expliquen con un ejemplo numérico.
- Si la solución de un problema es x ≤ 9,3, ¿qué responden cuando x cuenta personas?
- ¿Se puede resolver −2x > 6 sin dividir nunca entre un negativo? ¿Cómo?
Errores típicos
- No invertir el sentido al multiplicar o dividir por un negativo. Pida comprobar siempre con un valor del intervalo obtenido; si no cumple la inecuación original, algo falló.
- Invertir el sentido al sumar o restar un negativo. Insista en que solo multiplicar o dividir por un negativo invierte; sumar −5 es lo mismo que restar 5 y no cambia nada.
- Confundir paréntesis y corchete al escribir el intervalo. Relacione < y > con paréntesis, y ≤ y ≥ con corchete, probando el extremo en la inecuación.
- Responder un problema con un decimal cuando la incógnita cuenta objetos. Pida releer la pregunta y decidir si se redondea hacia abajo (máximo) o hacia arriba (mínimo).
Tarea sugerida
Resolver 7 − 4x < 19, 3(x − 2) ≥ x + 4 y (2x − 1)/5 ≤ 3, escribir cada solución como intervalo y dibujarla en la recta; plantear y resolver un problema propio de presupuesto.