Productos notables

¿Para qué sirve esto?

Imagina que tienes un jardín cuadrado y decides agrandarlo la misma cantidad por cada lado. ¿Cuánta área nueva ganas? Si respondes «lo que agrandé, al cuadrado», te quedas muy corto: falta una parte grande del terreno. Los productos notables te dicen exactamente cuánto crece el área, y lo hacen con una fórmula que se escribe en una línea.

Además, son atajos: multiplicaciones que aparecen tanto en álgebra que vale la pena reconocerlas a primera vista, como reconoces las tablas de multiplicar. Con ellos podrás hacer cuentas mentales que parecen trucos de magia, y más adelante serán la base para factorizar y para resolver ecuaciones cuadráticas.

Antes de empezar necesitas recordar la propiedad distributiva (multiplicar cada término de un paréntesis por cada término del otro) y las leyes de los signos.

Multiplicar dos binomios

Para multiplicar dos binomios se usa la propiedad distributiva: cada término del primero multiplica a cada término del segundo, y al final se reducen los términos semejantes.

$$(x + 4)(x + 2) = x\cdot x + x\cdot 2 + 4\cdot x + 4\cdot 2 = x^2 + 6x + 8$$

Ese procedimiento siempre funciona. Pero hay productos que tienen una forma fija, y para ellos el resultado sigue un patrón que se puede escribir de una vez. A esos productos se les llama productos notables.

El cuadrado de un binomio

Elevar al cuadrado es multiplicar por sí mismo: $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$. Si distribuyes, aparecen $a^2$, dos veces $ab$ y $b^2$:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Se lee así: el cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Cuando el binomio es una resta, solo cambia el signo del término del medio:

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

El último término siempre es positivo, porque $(-b)^2 = b^2$.

El error más frecuente en todo el álgebra escolar es escribir $(a + b)^2 = a^2 + b^2$. Es falso. Pruébalo con números: $(3 + 2)^2 = 25$, pero $3^2 + 2^2 = 13$. La diferencia es justamente el doble producto, $2\cdot 3\cdot 2 = 12$.

Una mirada con áreas

La figura de abajo explica de dónde sale ese doble producto. Un cuadrado de lado $a + b$ tiene área $(a + b)^2$. Si trazas dos líneas, una vertical y otra horizontal, el cuadrado queda partido en cuatro piezas: un cuadrado de lado $a$ (área $a^2$), un cuadrado de lado $b$ (área $b^2$) y dos rectángulos de lados $a$ y $b$ (área $ab$ cada uno). Al sumar las piezas obtienes $a^2 + 2ab + b^2$. Quien escribe $a^2 + b^2$ se olvidó de los dos rectángulos.

El producto de la suma por la diferencia

Cuando multiplicas la suma de dos términos por su diferencia, los términos del medio se cancelan: uno sale con $+ab$ y el otro con $-ab$.

$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

Es decir: el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. Al resultado se le llama diferencia de cuadrados. Este producto permite hacer cuentas mentales: $21\cdot 19$ es $(20 + 1)(20 - 1) = 400 - 1 = 399$.

Binomios con un término común

Cuando los dos binomios comparten el primer término, como en $(x + m)(x + n)$, el resultado es

$$(x + m)(x + n) = x^2 + (m + n)x + mn$$

El coeficiente de $x$ es la suma de los términos no comunes, y el término independiente es su producto. Cuidado con los signos: en $(x + 5)(x - 2)$, los términos no comunes son $5$ y $-2$, que suman $3$ y multiplicados dan $-10$.

El cubo de un binomio

Si multiplicas $(a + b)^2$ otra vez por $(a + b)$, obtienes el cubo:

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ $$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

Los coeficientes son $1,\ 3,\ 3,\ 1$. En el cubo de una resta los signos se alternan: los términos con una potencia impar de $b$ llevan signo menos. La imagen geométrica también existe: un cubo de arista $a + b$ se puede partir en un cubo $a^3$, un cubo $b^3$, tres prismas $a^2b$ y tres prismas $ab^2$.

Cómo reconocer cada caso

Antes de multiplicar, mira la forma del producto: si es un binomio al cuadrado, si son dos binomios iguales salvo un signo, si comparten un término o si es un binomio al cubo. Cada forma tiene su fórmula, y conviene comprobar el resultado dando un valor sencillo a la letra, como $x = 1$.

En resumen

• El cuadrado de un binomio tiene tres términos: (a ± b)² = a² ± 2ab + b².

• La suma por la diferencia da una diferencia de cuadrados: (a + b)(a − b) = a² − b².

• Con un término común, (x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + mn.

• El cubo de un binomio lleva los coeficientes 1, 3, 3, 1: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

• (a + b)² no es a² + b²: faltan los dos rectángulos de área ab.

Vocabulario

Binomio

Polinomio de dos términos, como x + 5 o 3a − 2.

Producto notable

Multiplicación de polinomios que aparece tan a menudo que conviene saber su resultado de memoria, por ejemplo (a + b)² = a² + 2ab + b².

Doble producto

En el cuadrado de un binomio, el término 2ab: dos veces el producto de los dos términos del binomio.

Trinomio cuadrado perfecto

Trinomio que resulta de elevar un binomio al cuadrado, como x² + 6x + 9 = (x + 3)².