Factorización: factor común y diferencia de cuadrados

¿Para qué sirve esto?

En la lección anterior multiplicaste binomios y obtuviste polinomios. Ahora harás el camino de vuelta: partir de un polinomio y descubrir de qué multiplicación salió. A eso se le llama factorizar.

Factorizar es como desarmar una construcción para ver sus piezas. Una expresión escrita como producto es mucho más fácil de manejar: permite simplificar fracciones algebraicas, resolver ecuaciones (si un producto da cero, alguno de sus factores es cero) y hacer cuentas mentales rápidas.

Antes de empezar necesitas recordar cómo se calcula el máximo común divisor de dos números, la propiedad distributiva y el producto de la suma por la diferencia.

Factorizar: el camino de vuelta

Con los números ya factorizas: escribir $12 = 2^2\cdot 3$ es expresar el 12 como un producto. Con los polinomios la idea es la misma. Desarrollar es pasar de un producto a una suma; factorizar es pasar de una suma a un producto:

$$\underbrace{3x(x + 2)}_{\text{producto}} \quad \longleftrightarrow \quad \underbrace{3x^2 + 6x}_{\text{suma}}$$

Toda factorización se puede comprobar: multiplicas los factores y tienes que volver a la expresión original. Acostúmbrate a hacerlo siempre.

Factor común monomio

Cuando todos los términos comparten un factor, ese factor se puede sacar. Es la propiedad distributiva leída al revés: $ab + ac = a(b + c)$.

Para encontrar el mayor factor común de un polinomio:

1. Halla el máximo común divisor de los coeficientes.
2. Toma cada letra que aparece en todos los términos, con el menor exponente con que aparece.
3. Divide cada término entre ese factor común; los cocientes van dentro del paréntesis.

Por ejemplo, en $8x^3 + 12x^2$ el máximo común divisor de 8 y 12 es 4, y la letra $x$ aparece en los dos términos con exponente menor 2. El factor común es $4x^2$, y queda $8x^3 + 12x^2 = 4x^2(2x + 3)$.

Un detalle que causa errores: si un término es exactamente igual al factor común, dentro del paréntesis queda un 1, no un cero. Así, $5x^2 + 5x = 5x(x + 1)$.

Factor común polinomio

El factor común no tiene que ser un monomio: puede ser un binomio entero. En $a(x + 4) + b(x + 4)$ los dos términos comparten el paréntesis $(x + 4)$, y se saca igual que si fuera una letra:

$$a(x + 4) + b(x + 4) = (x + 4)(a + b)$$

Factor común por agrupación

Hay polinomios de cuatro términos que no tienen un factor común a todos, pero sí por parejas. En ese caso se agrupan los términos de dos en dos, se saca el factor común de cada grupo y, si aparece el mismo paréntesis en los dos grupos, se saca como factor común polinomio:

$$ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)$$

Si después de agrupar los paréntesis no coinciden, prueba otra forma de agrupar o revisa los signos: a veces hay que sacar un factor negativo para que el paréntesis quede igual.

Diferencia de cuadrados

En la lección de productos notables viste que $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. Leído al revés, eso dice cómo factorizar una resta de dos cuadrados:

$$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$

Para usarla, saca la raíz cuadrada de cada término: la suma de las raíces por su diferencia es la factorización. Por ejemplo, en $x^2 - 36$ las raíces son $x$ y $6$, así que $x^2 - 36 = (x + 6)(x - 6)$.

Para factorizar con coeficientes enteros hay dos condiciones: los dos términos tienen que ser cuadrados perfectos y tiene que haber una resta. Una suma de cuadrados, como $x^2 + 9$, no se puede factorizar con números reales. Cualquier producto de la forma $(x + c)(x - c)$ da una resta; y si fuera $x^2 + 9 = (x + p)(x + q)$, al reemplazar $x = -p$ daría 0, pero $x^2 + 9$ nunca vale 0.

Factorizar por completo

Una factorización está completa cuando ningún factor se puede factorizar más. La regla de oro es: primero busca factor común, y después mira si lo que queda dentro del paréntesis es una diferencia de cuadrados u otro caso conocido. Por ejemplo, $2x^2 - 50$ no parece una diferencia de cuadrados, pero al sacar el 2 queda $2(x^2 - 25)$, y eso sí se factoriza.

En resumen

• Factorizar es escribir una expresión como producto; se comprueba multiplicando los factores.

• El mayor factor común lleva el MCD de los coeficientes y cada letra común con su menor exponente.

• Un polinomio de cuatro términos a veces se factoriza agrupando por parejas y sacando el paréntesis que se repite.

• Una diferencia de cuadrados se factoriza como suma por diferencia: a² − b² = (a + b)(a − b). Una suma de cuadrados como x² + 9 no se factoriza en los reales (después de sacar el factor común, si lo hay).

• Para factorizar por completo, primero se saca el factor común y después se revisa lo que queda.

Vocabulario

Factorizar

Escribir una expresión como un producto de factores. Es el proceso inverso de desarrollar un producto.

Factor común

Factor que aparece en todos los términos de una expresión y que se puede sacar multiplicando a un paréntesis.

Diferencia de cuadrados

Resta de dos expresiones que son cuadrados, como 9x² − 25. Se factoriza como (3x + 5)(3x − 5).

Factorización completa

Factorización en la que ninguno de los factores se puede factorizar más (en este curso, con coeficientes enteros).