Factorización de trinomios

¿Para qué sirve esto?

Los trinomios de grado dos aparecen por todas partes: en el área de un terreno cuyos lados dependen de una medida desconocida, en la altura de un balón que se lanza al aire, en la ganancia de un negocio que depende del precio. Cuando logras escribir un trinomio como el producto de dos binomios, puedes leer en cada factor información que antes estaba escondida, por ejemplo las medidas de los lados de un rectángulo a partir de su área.

Esta lección completa la caja de herramientas de la factorización. Al final sabrás decidir, frente a cualquier expresión de la unidad, qué caso usar y en qué orden.

Antes de empezar necesitas tener frescos los productos notables, el factor común, la agrupación de términos y las leyes de los signos para la multiplicación.

El trinomio cuadrado perfecto

En la lección de productos notables viste que $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Un trinomio que tiene esa forma se llama trinomio cuadrado perfecto, y se factoriza leyendo la fórmula al revés.

Para reconocerlo, revisa tres cosas:

1. El primer y el último término son cuadrados perfectos y positivos.
2. Sacas sus raíces cuadradas; llámalas $a$ y $b$.
3. El término del medio es exactamente $2ab$ (o $-2ab$).

Si se cumplen las tres, el trinomio es $(a + b)^2$ o $(a - b)^2$, según el signo del término del medio. Por ejemplo, en $x^2 + 10x + 25$ las raíces de los extremos son $x$ y $5$, y $2\cdot x\cdot 5 = 10x$ coincide con el término del medio: el trinomio es $(x + 5)^2$. En cambio, $x^2 + 4x + 16$ no es cuadrado perfecto: las raíces son $x$ y $4$, y el doble producto sería $8x$, no $4x$.

El trinomio $x^2 + bx + c$

Cuando el coeficiente de $x^2$ es 1, recuerda el producto de binomios con término común: $(x + m)(x + n) = x^2 + (m + n)x + mn$. Para factorizar, hay que hacer el camino de vuelta:

Busca dos números cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$.

Si esos números son $m$ y $n$, el trinomio es $(x + m)(x + n)$. Conviene empezar por el producto, porque hay pocas parejas de enteros que multiplicadas den $c$; después se mira cuál de esas parejas tiene la suma correcta.

Los signos ayudan a buscar más rápido:

• Si $c$ es positivo, los dos números tienen el mismo signo, y es el signo de $b$. En $x^2 - 9x + 20$ se buscan dos negativos: $-4$ y $-5$.
• Si $c$ es negativo, los dos números tienen signos distintos, y el de mayor valor absoluto lleva el signo de $b$. En $x^2 + 2x - 8$ se buscan $4$ y $-2$.

Si ninguna pareja de enteros funciona, el trinomio no se puede factorizar con números enteros. Le pasa, por ejemplo, a $x^2 + x + 1$.

El trinomio $ax^2 + bx + c$

Cuando el coeficiente principal $a$ no es 1, el método de buscar dos números se adapta así:

1. Multiplica $a\cdot c$.
2. Busca dos números cuyo producto sea $a\cdot c$ y cuya suma sea $b$.
3. Usa esos dos números para partir el término del medio en dos términos.
4. Ahora tienes cuatro términos: factoriza por agrupación.

Este procedimiento funciona porque partir el término del medio no cambia el polinomio (solo escribe $bx$ como una suma) y la agrupación es la que ya conoces. Antes de empezar, revisa si los tres términos tienen un factor común: si lo tienen, sácalo primero y el trinomio que queda será más fácil.

Elegir el caso

Con todos los casos de la unidad, la estrategia para factorizar cualquier expresión es:

1. Factor común. Siempre se revisa primero.
2. Cuenta los términos de lo que queda. - Dos términos: ¿es una diferencia de cuadrados? - Tres términos: ¿es un trinomio cuadrado perfecto? Si no, ¿es $x^2 + bx + c$ o $ax^2 + bx + c$? - Cuatro términos: prueba la agrupación.
3. Revisa cada factor por si se puede factorizar otra vez.
4. Comprueba multiplicando, o dando un valor a la letra en los dos lados (distinto de 0, que solo comprueba el término independiente).

En resumen

• Un trinomio cuadrado perfecto tiene extremos que son cuadrados y término del medio igual al doble producto de sus raíces: a² ± 2ab + b² = (a ± b)².

• Para factorizar x² + bx + c se buscan dos números con producto c y suma b.

• Para factorizar ax² + bx + c se buscan dos números con producto a·c y suma b, se parte el término del medio y se agrupa.

• El orden para elegir el caso es: factor común, contar términos, revisar cada factor y comprobar.

• Si ninguna pareja de enteros cumple el producto y la suma, el trinomio no se factoriza con enteros.

Vocabulario

Trinomio

Polinomio de tres términos, como x² − 2x − 15.

Trinomio cuadrado perfecto

Trinomio que es el cuadrado de un binomio: sus extremos son cuadrados perfectos y el término del medio es el doble producto de sus raíces.

Término independiente

Término de un polinomio que no lleva la variable; en x² − 2x − 15 es −15.

Coeficiente principal

Coeficiente del término de mayor grado; en 6x² + x − 2 es 6.