Fracciones algebraicas
Lo que vas a aprender
- Determinar los valores que anulan el denominador de una fracción algebraica.
- Simplificar fracciones algebraicas factorizando el numerador y el denominador.
- Multiplicar y dividir fracciones algebraicas sencillas y simplificar el resultado.
- Sumar y restar fracciones algebraicas con denominadores iguales o distintos.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Si un grupo de amigos reparte por partes iguales el costo de una salida, a cada uno le toca el costo total dividido entre el número de personas. Si ese número todavía no se conoce, la cuenta queda como una fracción con una letra en el denominador. Fracciones así aparecen al calcular velocidades, rendimientos de un trabajo en equipo, promedios y escalas.
Las fracciones algebraicas se manejan con las mismas reglas que las fracciones de números: se simplifican, se multiplican, se dividen y se suman. La diferencia es que, para simplificarlas, primero hay que factorizar. Por eso esta lección cierra la unidad: aquí se usan todos los casos de factorización que ya aprendiste.
Antes de empezar necesitas recordar cómo se simplifican, multiplican y suman las fracciones numéricas, y los casos de factorización de las lecciones anteriores.
Explicación
Qué es una fracción algebraica
Una fracción algebraica es un cociente de dos polinomios, como
$$\frac{x + 5}{x - 2} \qquad \text{o} \qquad \frac{3}{x^2 - 9}.$$
Como no se puede dividir entre cero, una fracción algebraica no está definida para los valores de la letra que hacen cero el denominador. Esos son los valores excluidos. Para encontrarlos, iguala el denominador a cero y resuelve. En $\dfrac{x + 5}{x - 2}$ el único valor excluido es $x = 2$. En $\dfrac{3}{x^2 - 9}$, el denominador se factoriza como $(x + 3)(x - 3)$, y un producto vale cero cuando alguno de sus factores vale cero: se excluyen $x = 3$ y $x = -3$.
Los valores excluidos se buscan en la fracción original, antes de simplificar, porque al simplificar puede desaparecer un factor del denominador, pero la restricción sigue ahí.
Simplificar: cancelar factores, nunca términos
Con números, $\dfrac{12}{18}$ se simplifica dividiendo numerador y denominador entre su factor común 6, y queda $\dfrac{2}{3}$. Con fracciones algebraicas se hace lo mismo, pero para ver los factores comunes primero hay que factorizar el numerador y el denominador:
- Factoriza por completo el numerador y el denominador.
- Anota los valores excluidos.
- Cancela los factores que aparecen arriba y abajo.
La regla más importante de la lección es que solo se cancelan factores, es decir, expresiones que están multiplicando a todo el numerador y a todo el denominador. Un término que está sumando no se puede cancelar. En $\dfrac{x + 4}{x + 2}$ no hay ningún factor común: tachar las $x$ y escribir $\dfrac{4}{2} = 2$ es un error. Pruébalo con $x = 2$: la fracción vale $\dfrac{6}{4}$, que no es 2.
Multiplicar y dividir
Se multiplica como con los números: numerador por numerador y denominador por denominador.
$$\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D} = \frac{A\cdot C}{B\cdot D}$$
La recomendación práctica es factorizar antes de multiplicar: así los factores comunes se ven de inmediato y se cancelan sin tener que desarrollar productos grandes.
Para dividir, se multiplica por la fracción invertida (el recíproco del divisor):
$$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}$$
Al dividir aparece una restricción más: tampoco puede valer cero el numerador del divisor, porque pasa a ser denominador.
Sumar y restar
Si las fracciones tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se deja el denominador:
$$\frac{2x}{x - 3} + \frac{5}{x - 3} = \frac{2x + 5}{x - 3}$$
Si los denominadores son distintos, se busca un denominador común, igual que con $\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{6}$. Con polinomios, el denominador común más sencillo es el producto de los factores distintos de los denominadores, cada uno con el mayor exponente con que aparece: para $\tfrac{1}{x} + \tfrac{1}{x^2}$ es $x^2$, no $x$. Luego cada fracción se amplía multiplicando su numerador por lo que le falta a su denominador.
Al restar, ten mucho cuidado con el signo: el menos afecta a todo el numerador que se resta, así que conviene escribirlo entre paréntesis antes de distribuir. Al final, revisa si el resultado se puede simplificar.
Ejemplo resuelto
Valores excluidos y simplificación
Halla los valores excluidos de $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 3x}$ y simplifícala.
Ver la solución paso a paso
Primero los valores excluidos: el denominador no puede ser cero.
$$x^{2} + 3x = 0$$
Factorizamos. Un producto es cero si alguno de sus factores lo es, así que se excluyen $x = 0$ y $x = -3$.
$$x\left(x + 3\right) = 0$$
Ahora simplificamos la fracción:
$$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 3x}$$
Factorizamos el numerador (diferencia de cuadrados) y el denominador (factor común):
$$\frac{\left(x + 3\right)\left(x - 3\right)}{x\left(x + 3\right)}$$
Cancelamos el factor $(x + 3)$, que está multiplicando arriba y abajo. La $x$ sola no se cancela con la del numerador, porque allí es un término de $x - 3$.
$$\frac{x - 3}{x}$$
Respuesta: $\frac{x - 3}{x}$
Ejemplo resuelto
Multiplicar fracciones algebraicas
Multiplica y simplifica $\dfrac{x^2 - 1}{2x}\cdot\dfrac{4x^2}{x + 1}$.
Ver la solución paso a paso
Multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador:
$$\frac{4x^{2} \cdot \left(x^{2} - 1\right)}{2x\left(x + 1\right)}$$
Factorizamos la diferencia de cuadrados $x^2 - 1$:
$$\frac{4x^{2} \cdot \left(x + 1\right)\left(x - 1\right)}{2x\left(x + 1\right)}$$
Cancelamos el factor $(x + 1)$ y simplificamos $\dfrac{4x^2}{2x} = 2x$. El resultado vale para $x \neq 0$ y $x \neq -1$.
$$2x\left(x - 1\right)$$
Respuesta: $2x\left(x - 1\right)$
Ejemplo resuelto
Dividir fracciones algebraicas
Divide $\dfrac{x + 3}{x - 1} \div \dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 1}$.
Ver la solución paso a paso
Dividir es multiplicar por la fracción invertida. Con los productos ya indicados queda:
$$\frac{\left(x + 3\right)\left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right)\left(x^{2} - 9\right)}$$
Factorizamos las dos diferencias de cuadrados:
$$\frac{\left(x + 3\right)\left(x + 1\right)\left(x - 1\right)}{\left(x - 1\right)\left(x + 3\right)\left(x - 3\right)}$$
Cancelamos los factores $(x + 3)$ y $(x - 1)$. El resultado vale para $x \neq 1$, $x \neq -1$, $x \neq 3$ y $x \neq -3$; el $-3$ queda excluido porque anula el numerador de la fracción por la que se divide.
$$\frac{x + 1}{x - 3}$$
Respuesta: $\frac{x + 1}{x - 3}$
Ejemplo resuelto
Sumar con denominadores distintos
Suma $\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1}$.
Ver la solución paso a paso
Los denominadores son $x$ y $x + 1$, sin factores comunes. El denominador común es su producto, $x(x + 1)$.
$$\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1}$$
Ampliamos cada fracción: la primera se multiplica arriba y abajo por $(x + 1)$, y la segunda por $x$.
$$\frac{2 \cdot \left(x + 1\right)}{x\left(x + 1\right)} + \frac{3x}{x\left(x + 1\right)}$$
Con el mismo denominador, sumamos los numeradores:
$$\frac{2 \cdot \left(x + 1\right) + 3x}{x\left(x + 1\right)}$$
Reducimos el numerador: $2x + 2 + 3x = 5x + 2$. No tiene factores comunes con el denominador, así que la fracción ya es irreducible.
$$\frac{5x + 2}{x\left(x + 1\right)}$$
Respuesta: $\frac{5x + 2}{x\left(x + 1\right)}$
Práctica
Los valores excluidos de una fracción son las soluciones de «denominador igual a cero». Si esa ecuación es $x^{2} - 9 = 0$, ¿cuáles son los valores excluidos?
x² − 9 = (x + 3)(x − 3) vale cero cuando x = 3 o x = −3. Es fácil olvidar el valor negativo.
¿Cuál es la forma simplificada de $\frac{x^{2} - 25}{x + 5}$?
x² − 25 = (x + 5)(x − 5). Al cancelar el factor (x + 5) queda x − 5, para x ≠ −5.
¿Cuál es la forma simplificada de $\frac{3x - 6}{x^{2} - 4}$?
Numerador: 3(x − 2). Denominador: (x + 2)(x − 2). Se cancela (x − 2) y queda 3/(x + 2).
¿Cuál es la forma simplificada de $\frac{x^{2} + 5x + 6}{x^{2} - 4}$?
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) y x² − 4 = (x + 2)(x − 2). Se cancela (x + 2). Tachar los x² y dejar −(5x + 6)/4 es cancelar términos, y eso no se vale.
Al multiplicar dos fracciones y dejar indicados los productos se obtuvo $\frac{\left(x + 3\right)\left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right)\left(x^{2} - 9\right)}$. ¿A qué es igual, ya simplificada?
Factorizando: (x + 3)(x + 1)(x − 1) arriba y (x − 1)(x + 3)(x − 3) abajo. Se cancelan (x + 3) y (x − 1), y queda (x + 1)/(x − 3).
¿Cuál es el resultado de $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2}$?
Con denominador común x(x + 2): (x + 2)/(x(x + 2)) + x/(x(x + 2)) = (2x + 2)/(x(x + 2)). Sumar numeradores con numeradores y denominadores con denominadores, como en 2/(2x + 2), es un error.
¿Cuál es el resultado de $\frac{3}{x - 1} - \frac{2}{x + 1}$?
Con denominador común (x − 1)(x + 1) = x² − 1, el numerador es 3(x + 1) − 2(x − 1) = 3x + 3 − 2x + 2 = x + 5. Si el menos no se distribuye a todo el paréntesis, sale x + 1.
¿Verdadero o falso? Para todo valor permitido de x, $\frac{x + 4}{x + 2} = 2$
x no es un factor del numerador ni del denominador: es un término. Con x = 2, la fracción vale 6/4 = 1,5 y no 2. La igualdad solo se cumple en x = 0, no para todo x.
¿Verdadero o falso? Para todo valor permitido de x, $\frac{x^{2} - 2x}{x - 2} = x$
x² − 2x = x(x − 2), y al cancelar el factor (x − 2) queda x. La igualdad vale para todo x ≠ 2, que es el valor excluido.
Factoriza el numerador y simplifica para calcular $\frac{98^{2} - 4}{98 - 2}$ sin calculadora.
98² − 4 = 98² − 2² = (98 + 2)(98 − 2). Al cancelar (98 − 2) queda 98 + 2 = 100. Es la misma simplificación que (x² − 4)/(x − 2) = x + 2, con x = 98.
¿Por qué en $\dfrac{x + 4}{x + 2}$ no se pueden tachar las $x$?
Solo se cancelan factores. En (x + 4)/(x + 2) no hay ningún factor común, así que la fracción ya es irreducible.
Reto
Une cada fracción con su forma simplificada.
Factoriza mentalmente el numerador y el denominador antes de elegir.
Reto
Completa las frases sobre fracciones algebraicas.
Elige el valor que completa cada hueco.
Cierre
En resumen
Una fracción algebraica es un cociente de polinomios; no está definida donde su denominador vale cero.
Los valores excluidos se buscan en la fracción original, antes de simplificar.
Para simplificar se factoriza el numerador y el denominador y se cancelan factores comunes, nunca términos.
Para multiplicar se multiplican numeradores y denominadores; para dividir se multiplica por la fracción invertida.
Para sumar o restar con denominadores distintos se busca un denominador común; al restar, el signo afecta a todo el numerador.
Vocabulario
- Fracción algebraica
Cociente de dos polinomios, P/Q, en el que el denominador Q no es el polinomio cero.
- Valor excluido
Valor de la variable que hace cero el denominador; para él la fracción no está definida.
- Fracción irreducible
Fracción cuyo numerador y denominador no tienen factores comunes.
- Denominador común
Expresión que es múltiplo de todos los denominadores; permite sumar y restar fracciones.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee el reparto de un gasto entre un número desconocido de personas y escriba la fracción que resulta. Pregunte qué pasa si el número de personas fuera cero.
- Explicación · 20 min — Valores excluidos y simplificación con el primer ejemplo; luego producto, cociente y suma. Dedique tiempo al error de cancelar términos.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el dominó y los huecos en parejas.
- Cierre · 5 min — Pida a cada estudiante que escriba una fracción que se pueda simplificar y otra que no, y que explique la diferencia.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué los valores excluidos se buscan antes de simplificar y no después?
- ¿En qué se parece sumar 1/4 + 1/6 a sumar 1/x + 1/(x + 2)?
- ¿Cómo pueden comprobar con un número que una simplificación está bien hecha?
Errores típicos
- Cancelar términos en lugar de factores, como en (x + 4)/(x + 2) = 4/2. Pida que reemplacen un valor, por ejemplo x = 2, en la fracción original y en el resultado, y que comparen.
- Sumar numeradores entre sí y denominadores entre sí. Recuerde que 1/2 + 1/2 no es 2/4; con fracciones algebraicas pasa lo mismo.
- No distribuir el signo menos en una resta de fracciones. Exija escribir el numerador que se resta entre paréntesis antes de operar.
- Buscar los valores excluidos en la fracción ya simplificada y perder alguno. Use el primer ejemplo: en (x − 3)/x ya no se ve que x = −3 estaba excluido.
Tarea sugerida
Hallar los valores excluidos y simplificar (x² − 49)/(x² − 7x) y (x² + x − 6)/(x² − 4); calcular (x² − 4)/(3x)·(6x)/(x + 2), 5/(x + 1) − 2/x y 2/(x − 3) + 1/(x + 3), simplificando cada resultado.