La función lineal y la función afín

¿Para qué sirve esto?

Piensa en un tanque que ya tiene algo de agua y al que una manguera le echa siempre la misma cantidad por minuto. O en una vela que se consume al mismo ritmo, hora tras hora. O en una ciclista que pedalea por una ciclovía recta sin acelerar ni frenar. Las tres situaciones tienen algo en común: una cantidad cambia a ritmo constante.

Cuando el cambio es constante, basta con saber dos cosas para predecir todo lo que va a pasar: dónde empieza la cantidad y cuánto cambia en cada unidad de tiempo. Con esos dos números escribes una fórmula, haces una tabla y dibujas una recta. Y con la recta puedes tomar decisiones: cuándo se llena el tanque, a qué hora se apaga la vela, dónde estará la ciclista dentro de un rato.

Antes de empezar necesitas ubicar puntos en el plano cartesiano y resolver ecuaciones sencillas como $3x + 5 = 20$.

Qué es una función

Una función es una regla que a cada valor de una variable, $x$, le asigna un único valor de otra, $y$. Se escribe $y = f(x)$ y se lee «$y$ es igual a $f$ de $x$». Las letras representan cantidades: $x$ puede ser el tiempo en minutos y $f(x)$ los litros que hay en el tanque en ese momento. Calcular $f(4)$ quiere decir reemplazar $x$ por $4$ en la fórmula.

La función lineal: $y = mx$

Si compras arroz a un precio fijo por kilo, el costo es ese precio multiplicado por los kilos. Si no compras nada, no pagas nada. Esa es una función lineal:

$$y = mx$$

Cuando $x = 0$, $y = 0$: su gráfica es una recta que pasa por el origen. Es la proporcionalidad directa que ya conoces: si $x$ se duplica, $y$ también se duplica.

La función afín: $y = mx + b$

Muchas situaciones no arrancan en cero. El tanque ya tenía agua antes de abrir la manguera; un parqueadero cobra una tarifa fija aunque te quedes un minuto. Entonces a la parte que cambia se le suma un valor inicial $b$:

$$y = mx + b$$

Esa es una función afín. Sus dos números tienen nombre propio:

• $b$ es el intercepto: el valor de $y$ cuando $x = 0$. En la gráfica, la recta corta al eje $y$ en el punto $(0;\ b)$.
• $m$ es la pendiente: cuánto cambia $y$ cada vez que $x$ aumenta en $1$.

La función lineal es el caso particular en que $b = 0$.

La pendiente es una razón de cambio

La pendiente responde a la pregunta «¿cuánto cambia $y$ por cada unidad de $x$?». Si $x$ avanza varias unidades, se divide:

$$m = \frac{\text{cambio en } y}{\text{cambio en } x}$$

Si en una tabla $x$ avanza de uno en uno y $y$ sube siempre lo mismo, ese aumento fijo es la pendiente. Si los aumentos de $y$ no son iguales, la relación no es afín y su gráfica no es una recta.

El signo de $m$ dice cómo es la función:

• $m > 0$: la función es creciente; la recta sube de izquierda a derecha.
• $m < 0$: la función es decreciente; la recta baja.
• $m = 0$: la función es constante; la recta es horizontal.

Cuanto mayor es el valor absoluto de $m$, más inclinada es la recta. Las rectas con la misma pendiente y distinto intercepto son paralelas: tienen la misma inclinación, pero arrancan en sitios distintos.

Tabla, gráfica y fórmula

Una misma función afín se puede mostrar de tres maneras, y conviene saber pasar de una a otra:

• De la fórmula a la tabla: das valores a $x$ y calculas $y$.
• De la tabla a la fórmula: el valor de $y$ cuando $x = 0$ es $b$; el cambio de $y$ por cada unidad de $x$ es $m$.
• De la fórmula a la gráfica: marcas el punto $(0;\ b)$; desde ahí avanzas $1$ a la derecha y subes $m$ (o bajas, si $m$ es negativa) para obtener otro punto. Por dos puntos pasa una sola recta.

Un punto importante de la gráfica es el corte con el eje $x$: allí $y = 0$. Para hallarlo se resuelve la ecuación $mx + b = 0$. En una situación real suele ser el momento en que algo se acaba: un tanque que se vacía queda sin agua, la vela se apaga.

El movimiento uniforme

Un objeto que se mueve en línea recta con velocidad constante recorre la misma distancia en cada segundo. Si llamamos $t$ al tiempo y $d$ a la posición (la distancia a un punto de referencia, como la línea de salida), la posición es una función afín del tiempo:

$$d = v\,t + d_0$$

• $d_0$ es la posición inicial: dónde estaba el objeto cuando empezamos a medir el tiempo.
• $v$ es la velocidad: cuántos metros cambia la posición en cada segundo.

La gráfica posición–tiempo es una recta, y su pendiente es la velocidad. Al leerla puedes describir el movimiento con palabras:

• Si la recta sube, el objeto se aleja del punto de referencia; cuanto más inclinada, más rápido va.
• Si la recta baja, la velocidad es negativa: el objeto se acerca al punto de referencia.
• Si la recta es horizontal, la posición no cambia: el objeto está quieto.

Un error muy común es calcular la velocidad dividiendo la posición entre el tiempo. Eso solo sirve si el objeto partió de la posición $0$. En general, la velocidad es el cambio de posición dividido entre el cambio de tiempo, igual que cualquier pendiente.

En resumen

• Una función lineal tiene la forma y = mx y su gráfica es una recta que pasa por el origen.

• Una función afín tiene la forma y = mx + b; b es el intercepto, el valor de y cuando x = 0.

• La pendiente m es la razón de cambio, cambio en y dividido entre cambio en x; si es positiva la función crece, si es negativa decrece.

• El corte con el eje x se halla resolviendo mx + b = 0.

• En el movimiento uniforme la posición es d = vt + d₀; la pendiente de la gráfica posición–tiempo es la velocidad.

Vocabulario

Función

Relación que a cada valor de x le asigna un único valor de y.

Función lineal

Función de la forma y = mx. Su gráfica es una recta que pasa por el origen.

Función afín

Función de la forma y = mx + b. Su gráfica es una recta que corta al eje y en el punto (0; b).

Pendiente

El número m: cuánto cambia y por cada unidad que aumenta x. Es la razón de cambio de la función.

Intercepto

El número b: el valor de y cuando x = 0. Es el punto donde la recta corta al eje y.

Movimiento uniforme

Movimiento en línea recta con velocidad constante: la posición cambia lo mismo en cada segundo.