La ecuación de la recta

¿Para qué sirve esto?

En la lección anterior la fórmula de una función afín venía dada, o se leía en una tabla que empezaba en $x = 0$. Pero muchas veces lo que tienes son dos datos sueltos: a las 2 de la tarde el tanque tenía tanto, a las 5 tenía tanto; en el kilómetro 3 de una vía la altura era una, en el kilómetro 8 era otra. Con dos puntos basta para trazar una recta, y también basta para escribir su ecuación.

En esta lección aprendes a construir la ecuación de una recta con la información que tengas a mano, a pasarla de una forma a otra y a reconocer, solo con mirar las ecuaciones, si dos rectas son paralelas o se cortan en ángulo recto. Eso es lo que usan, por ejemplo, quienes trazan calles en un plano o quienes revisan que una rampa tenga la inclinación permitida.

Antes de empezar necesitas saber qué son la pendiente y el intercepto de $y = mx + b$, y operar con fracciones y números negativos.

La pendiente a partir de dos puntos

Si una recta pasa por los puntos $(x_1;\ y_1)$ y $(x_2;\ y_2)$, al ir del primero al segundo $x$ cambia $x_2 - x_1$ y $y$ cambia $y_2 - y_1$. La pendiente es la razón entre los dos cambios:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Tres cuidados:

• El orden no importa, pero tiene que ser el mismo arriba y abajo. Si empiezas el numerador con $y_2$, el denominador empieza con $x_2$. Mezclar el orden cambia el signo.
• Arriba van las $y$. Poner las $x$ arriba da el inverso de la pendiente, un error muy frecuente.
• Restar un negativo es sumar. Si $x_1 = -2$, entonces $x_2 - x_1 = x_2 + 2$.

Si los dos puntos tienen la misma $y$, la pendiente es $0$ y la recta es horizontal: su ecuación es $y = k$. Si tienen la misma $x$, el denominador es $0$ y la pendiente no está definida: la recta es vertical y su ecuación es $x = k$. Una recta vertical no es la gráfica de una función, porque a un mismo $x$ le corresponden infinitos valores de $y$.

La forma punto–pendiente

Supón que conoces la pendiente $m$ y un punto $(x_1;\ y_1)$ de la recta. Si $(x;\ y)$ es cualquier otro punto de la recta, la pendiente entre los dos tiene que ser $m$:

$$\frac{y - y_1}{x - x_1} = m \quad\Longrightarrow\quad y - y_1 = m\,(x - x_1)$$

Esa es la ecuación punto–pendiente. Es la más cómoda para construir una recta: pones los datos y listo. Si conoces dos puntos, primero calculas $m$ con la fórmula de arriba y luego usas cualquiera de los dos puntos.

Tres maneras de escribir la misma recta

Una recta no vertical se puede escribir de varias formas equivalentes:

• Punto–pendiente: $y - y_1 = m(x - x_1)$. Muestra un punto y la inclinación.
• Pendiente–intercepto: $y = mx + b$. Se obtiene despejando $y$; muestra la pendiente y el corte con el eje $y$.
• General: $Ax + By + C = 0$. Se obtiene pasando todo a un lado, y suele escribirse sin fracciones y con $A$ positivo.

Para leer la pendiente de una ecuación en forma general, despeja $y$. Si $B \neq 0$:

$$By = -Ax - C \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{A}{B}\,x - \frac{C}{B}$$

Así que la pendiente es $-\dfrac{A}{B}$ y el intercepto es $-\dfrac{C}{B}$. Más que aprender la fórmula, conviene despejar cada vez: es un buen ejercicio con la igualdad y evita errores de signo.

Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas paralelas tienen la misma inclinación y nunca se cortan. Si no son verticales, eso quiere decir que tienen la misma pendiente y distinto intercepto:

$$m_1 = m_2$$

Dos rectas perpendiculares se cortan formando cuatro ángulos rectos. Si ninguna es vertical, sus pendientes cumplen:

$$m_1 \cdot m_2 = -1, \qquad \text{es decir,} \qquad m_2 = -\frac{1}{m_1}$$

Para obtener la pendiente de una perpendicular se hacen dos cosas: se invierte la fracción y se cambia el signo. Si una recta tiene pendiente $\tfrac{2}{3}$, su perpendicular tiene pendiente $-\tfrac{3}{2}$. Un error común es hacer solo una de las dos: con $-\tfrac{2}{3}$ (solo cambiar el signo) o con $\tfrac{3}{2}$ (solo invertir) las rectas se cortan, pero no en ángulo recto.

Hay un caso especial: una recta horizontal ($m = 0$) es perpendicular a una vertical, que no tiene pendiente. Por eso la regla del producto solo se aplica cuando las dos pendientes existen.

Para decidir si dos rectas dadas en forma general son paralelas o perpendiculares, primero se despeja $y$ en cada una, se leen las pendientes y luego se comparan.

En resumen

• La pendiente de la recta que pasa por (x₁; y₁) y (x₂; y₂) es m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), con el mismo orden arriba y abajo.

• La recta de pendiente m que pasa por (x₁; y₁) tiene ecuación y − y₁ = m(x − x₁).

• Una misma recta se escribe en forma punto–pendiente, pendiente–intercepto (y = mx + b) o general (Ax + By + C = 0); para leer la pendiente se despeja y.

• Las rectas horizontales tienen pendiente 0; las verticales no tienen pendiente definida.

• Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente, y perpendiculares si el producto de sus pendientes es −1.

Vocabulario

Pendiente entre dos puntos

El cociente (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁): cuánto sube o baja la recta por cada unidad que se avanza en x.

Forma punto–pendiente

La ecuación y − y₁ = m(x − x₁) de la recta que tiene pendiente m y pasa por (x₁; y₁).

Forma general

La ecuación Ax + By + C = 0, con A, B y C números reales y A y B no ambos cero.

Rectas paralelas

Rectas que no se cortan. Si no son verticales, tienen la misma pendiente.

Rectas perpendiculares

Rectas que se cortan formando ángulos rectos. Si ninguna es vertical, el producto de sus pendientes es −1.