Sistemas 2×2: el método gráfico

¿Para qué sirve esto?

Imagina dos tanques: uno se vacía poco a poco y el otro se va llenando. Cada uno, por separado, se describe con una función afín, y su gráfica es una recta. Pero la pregunta interesante los mezcla a los dos: ¿en qué momento tienen la misma cantidad de agua?

Para responderla hay que encontrar un valor de $x$ (el tiempo) y un valor de $y$ (los litros) que sirvan para las dos fórmulas a la vez. Eso es resolver un sistema de ecuaciones. En la gráfica la respuesta salta a la vista: es el punto donde las dos rectas se cruzan.

Los sistemas aparecen cada vez que hay que comparar dos opciones: dos planes, dos rutas, dos precios. En esta lección los resuelves dibujando; en la siguiente aprenderás métodos algebraicos que dan el resultado exacto.

Antes de empezar necesitas graficar una recta a partir de su ecuación y despejar $y$ en una ecuación como $2x + y = 7$.

Una ecuación con dos incógnitas

Una ecuación como $x + y = 5$ no tiene una sola solución: la cumplen muchas parejas, como $(0;\ 5)$, $(1;\ 4)$, $(2;\ 3)$ o $(6;\ -1)$. De hecho tiene infinitas soluciones, y si las dibujas todas en el plano forman una recta: la recta $y = -x + 5$. Toda ecuación de la forma $ax + by = c$, con $a$ y $b$ no ambos cero, se representa con una recta.

Qué es un sistema 2×2

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos ecuaciones de ese tipo que se tienen que cumplir al mismo tiempo. Se escriben juntas, con una llave:

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$$

Una solución del sistema es una pareja $(x;\ y)$ que cumple las dos ecuaciones. No basta con que cumpla una. Para comprobar si una pareja es solución, se reemplazan $x$ y $y$ en cada ecuación y se mira si las dos igualdades son ciertas.

Cuidado con el orden: en la pareja $(x;\ y)$ el primer número es siempre el valor de $x$. $(2;\ 3)$ y $(3;\ 2)$ son puntos distintos.

La solución es el punto de corte

Cada ecuación del sistema es una recta. Los puntos de la primera recta cumplen la primera ecuación; los de la segunda, la segunda. Un punto que cumpla las dos tiene que estar en las dos rectas: es el punto donde se cruzan. Esa es la idea del método gráfico:

1. Despeja $y$ en cada ecuación, para tenerlas en la forma $y = mx + b$.
2. Grafica las dos rectas en el mismo plano, con cuidado y en papel cuadriculado: con el intercepto y la pendiente, o con una tabla de dos o tres valores.
3. Lee las coordenadas del punto de corte.
4. Comprueba la pareja en las dos ecuaciones originales.

El paso 4 no es opcional. Una gráfica hecha a mano tiene imprecisiones, y la comprobación es la que confirma que leíste bien.

Los tres casos posibles

Dos rectas en el plano solo pueden estar en una de tres situaciones, y cada una corresponde a un tipo de sistema. Para saber cuál es no hace falta graficar: basta con despejar $y$ y comparar las pendientes y los interceptos.

• Pendientes distintas: las rectas se cortan en un único punto. El sistema tiene una solución. Se llama compatible determinado.
• Misma pendiente y distinto intercepto: las rectas son paralelas y nunca se cortan. El sistema no tiene solución. Se llama incompatible.
• Misma pendiente y mismo intercepto: las dos ecuaciones son, en realidad, la misma recta escrita de dos maneras. Cada punto de la recta es solución: el sistema tiene infinitas soluciones. Se llama compatible indeterminado.

El tercer caso se reconoce porque una ecuación es la otra multiplicada por un número. Por ejemplo, $2x + 4y = 8$ es $x + 2y = 4$ multiplicada por 2: si despejas $y$ en las dos, llegas a la misma fórmula.

Exacto o aproximado

El método gráfico es muy útil para ver qué pasa, pero tiene un límite. Si el punto de corte tiene coordenadas que no son enteras, como $\left(\tfrac{5}{3};\ \tfrac{5}{3}\right)$, en la cuadrícula solo podrás decir que está «un poco antes de 2». La gráfica da una aproximación; la comprobación en las ecuaciones te dirá si tu lectura es exacta o no. Para obtener siempre el valor exacto están los métodos algebraicos de la próxima lección.

En resumen

• Un sistema 2×2 son dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que se cumplen a la vez; su solución es una pareja (x; y).

• Cada ecuación es una recta, y la solución del sistema es el punto donde se cortan.

• Si las pendientes son distintas hay una solución; si son iguales y los interceptos distintos, ninguna; si son iguales pendiente e intercepto, infinitas.

• La gráfica puede dar solo una aproximación; la solución siempre se comprueba en las dos ecuaciones.

Vocabulario

Sistema de ecuaciones lineales 2×2

Dos ecuaciones lineales con las mismas dos incógnitas, que se tienen que cumplir a la vez.

Solución de un sistema

Una pareja (x; y) que cumple las dos ecuaciones al mismo tiempo.

Punto de corte

El punto donde se cruzan dos rectas. Sus coordenadas son la solución del sistema.

Sistema incompatible

Sistema sin solución: sus rectas son paralelas y no se cortan.

Sistema compatible indeterminado

Sistema con infinitas soluciones: sus dos ecuaciones representan la misma recta.