Sistemas 2×2: sustitución, igualación y reducción

¿Para qué sirve esto?

En la lección anterior resolviste sistemas dibujando dos rectas y buscando dónde se cruzan. Es una manera muy clara de ver la solución, pero tiene dos problemas: dibujar con cuidado toma tiempo, y si el punto de corte cae entre dos rayas de la cuadrícula solo puedes adivinar su valor.

Los métodos algebraicos resuelven las dos cosas: llegan al resultado exacto, sea entero o fraccionario, con unos pocos pasos en el cuaderno. Los tres que vas a aprender se basan en la misma idea: convertir el sistema de dos incógnitas en una sola ecuación de una incógnita, que ya sabes resolver.

Antes de empezar necesitas resolver ecuaciones lineales como $7x - 21 = -7$, aplicar la propiedad distributiva y despejar una letra en una ecuación como $2x + y = 7$.

La idea: eliminar una incógnita

Una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones; dos ecuaciones juntas, en general, solo una. Para encontrarla hay que combinar las dos ecuaciones de modo que una de las letras desaparezca. Cuando queda una ecuación con una sola incógnita, se resuelve; con ese valor se vuelve a cualquiera de las ecuaciones originales y se halla la otra incógnita.

Hay tres maneras de hacer desaparecer una letra, y las tres llevan al mismo resultado.

Método de sustitución

1. Despeja una incógnita en una de las ecuaciones. Conviene elegir la que tenga coeficiente $1$ o $-1$, para no trabajar con fracciones.
2. Sustituye esa expresión en la otra ecuación, entre paréntesis.
3. Resuelve la ecuación de una incógnita que resulta.
4. Reemplaza el valor hallado en la expresión despejada para obtener la otra incógnita.

El error más frecuente está en el paso 2: olvidar el paréntesis y no multiplicar todos los términos. Si la otra ecuación tiene $-3y$ y $y = 7 - 2x$, hay que escribir $-3(7 - 2x)$, que es $-21 + 6x$.

Método de igualación

1. Despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones.
2. Iguala las dos expresiones: si las dos son iguales a $x$, son iguales entre sí.
3. Resuelve la ecuación de una incógnita.
4. Reemplaza para hallar la otra.

La igualación es la más natural cuando las dos ecuaciones ya vienen despejadas, como $y = 3x - 5$ y $y = -x + 7$: es exactamente preguntar en qué valor de $x$ las dos funciones dan el mismo resultado, que es lo que hacías al buscar el punto de corte en la gráfica.

Método de reducción

Se basa en una propiedad de la igualdad: si $A = B$ y $C = D$, entonces $A + C = B + D$. Sumar (o restar) dos ecuaciones da otra ecuación verdadera.

1. Prepara las ecuaciones: multiplica una o las dos por números convenientes para que una incógnita quede con coeficientes opuestos, como $4y$ y $-4y$.
2. Suma las ecuaciones miembro a miembro: esa incógnita se cancela.
3. Resuelve la ecuación que queda.
4. Reemplaza para hallar la otra incógnita.

Si los coeficientes son iguales en vez de opuestos, como $2x$ y $2x$, se restan las ecuaciones. Y al multiplicar una ecuación hay que multiplicar todos sus términos, también el del lado derecho.

¿Cuál método conviene?

Los tres métodos dan siempre la misma solución, así que puedes usar el que prefieras. Pero según la forma del sistema, uno ahorra trabajo:

• Sustitución, cuando una incógnita tiene coeficiente $1$ o $-1$ y se despeja sin fracciones.
• Igualación, cuando las dos ecuaciones ya vienen despejadas para la misma letra.
• Reducción, cuando una incógnita ya tiene coeficientes iguales u opuestos, o cuando ninguna se despeja fácilmente.

Cuando todo se cancela

A veces, al eliminar una incógnita, se cancelan las dos. Entonces quedan dos casos, los mismos que viste en la gráfica:

• Si queda una igualdad falsa, como $0 = 5$, ninguna pareja puede cumplirla: el sistema no tiene solución (rectas paralelas).
• Si queda una igualdad siempre verdadera, como $0 = 0$, las dos ecuaciones son la misma recta: el sistema tiene infinitas soluciones.

Comprobar siempre

Una solución se comprueba reemplazándola en las dos ecuaciones originales, no en las que fuiste obteniendo por el camino: si te equivocaste al despejar, la ecuación transformada también estaría mal y la comprobación no lo detectaría.

En resumen

• Los tres métodos convierten el sistema en una ecuación de una incógnita, la resuelven y luego hallan la otra incógnita.

• Sustitución despeja una incógnita y la reemplaza en la otra ecuación; igualación despeja la misma incógnita en las dos e iguala.

• Reducción multiplica las ecuaciones para que una incógnita tenga coeficientes opuestos, y luego las suma.

• Si al eliminar queda una igualdad falsa, el sistema no tiene solución; si queda 0 = 0, tiene infinitas.

• La solución se comprueba siempre en las dos ecuaciones originales.

Vocabulario

Despejar

Dejar sola una incógnita a un lado de la igualdad usando las propiedades de la igualdad.

Sustitución

Método que despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra.

Igualación

Método que despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones e iguala las dos expresiones.

Reducción

Método que suma o resta las ecuaciones, multiplicadas si hace falta, para que una incógnita se cancele. También se llama eliminación.