Problemas con sistemas de ecuaciones

¿Para qué sirve esto?

El comité de grado vendió boletas para la rifa a dos precios distintos y al final solo sabe cuántas boletas salieron y cuánto dinero entró. La tienda escolar quiere mezclar dos clases de café para venderlo a un precio intermedio. Tu primo dice que su mamá le triplica la edad, pero que dentro de unos años solo se la doblará. En los tres casos hay dos cantidades desconocidas y dos datos que las amarran.

En la lección anterior aprendiste a resolver un sistema de dos ecuaciones por sustitución, igualación y reducción. Ahora viene la parte que más se usa fuera del cuaderno: pasar del enunciado al sistema y, al final, leer la solución para decidir algo.

Antes de empezar repasa uno de los tres métodos; cualquiera sirve, y en esta lección vas a usar los tres.

Cuatro pasos para resolver un problema con un sistema

1. Nombrar las incógnitas. Escribe con palabras qué representa cada letra, y en qué unidad: «$x$ = número de boletas de adulto», «$y$ = precio de un lapicero, en miles de pesos». Una letra sin significado es la fuente de la mitad de los errores: al final no sabrás qué número responde la pregunta.

2. Traducir cada condición en una ecuación. Busca en el enunciado dos datos que relacionen las dos incógnitas. Casi siempre uno habla de cuántos y otro de cuánto:

• cuántas cosas hay en total ($x + y = \text{total}$);
• cuánto valen, pesan o rinden en total ($\text{precio}_1 \cdot x + \text{precio}_2 \cdot y = \text{dinero total}$).

Revisa que los dos lados de cada ecuación midan lo mismo: no se suman boletas con pesos ni litros con porcentajes.

3. Resolver el sistema. Con el método que te parezca más cómodo. La sustitución conviene cuando una letra ya está despejada ($y = 3x$); la reducción, cuando los coeficientes se igualan con una sola multiplicación.

4. Interpretar y comprobar. Vuelve al enunciado, no a tus ecuaciones, y revisa que la respuesta cumple todo lo que dice. Si planteaste mal, la solución cumplirá tus ecuaciones pero no el problema. Pregúntate además si tiene sentido: no se venden $12{,}5$ boletas ni una persona tiene $-3$ años. Una respuesta así avisa que hay un error en el planteamiento o en las cuentas.

Un consejo con el dinero

Cuando los precios son de miles de pesos, conviene trabajar en miles: en lugar de escribir $8000x$, escribe $8x$ y recuerda que el resultado del dinero queda en miles. Las ecuaciones son las mismas divididas entre mil, y las cuentas son mucho más cortas.

Los problemas más frecuentes

Precios y entradas. Dos tipos de boleta, de producto o de plan. Una ecuación cuenta unidades y otra cuenta dinero.

Mezclas. Dos ingredientes con distinto precio o distinta concentración. Una ecuación cuenta la cantidad total de mezcla; la otra, el valor total o la cantidad del componente que importa (el jugo puro, el azúcar, el dinero). El porcentaje de la mezcla multiplicado por la cantidad total tiene que dar lo mismo que la suma de lo que aporta cada parte.

Edades. El truco está en el tiempo: si pasan $n$ años, las dos personas cumplen $n$ años más. Si $x$ es la edad de hoy, dentro de $n$ años será $x + n$, y hace $n$ años era $x - n$.

Números. «Dos números suman tanto y se diferencian en tanto» da directamente $x + y = s$ y $x - y = d$.

Cuando la respuesta no tiene sentido

Si al resolver te sale un número de personas con decimales, una edad negativa o más boletas de las que se vendieron, no redondees: vuelve al paso 2. Lo más común es haber sumado cantidades de distinta clase (boletas con pesos), haber olvidado que en un problema de edades el tiempo pasa para las dos personas, o haber puesto el porcentaje de la mezcla en el lado equivocado. Una solución que no tiene sentido en el contexto es una pista, no un resultado.

Y cuando la pregunta es una decisión («¿qué plan conviene?»), la solución del sistema es el punto de equilibrio: antes de él gana una opción y después gana la otra. Para decidir, evalúa las dos expresiones en el caso concreto que te interesa.

En resumen

• Para resolver un problema con un sistema, primero se dice qué representa cada letra y en qué unidad.

• Cada condición del enunciado da una ecuación; casi siempre una cuenta cantidades y la otra cuenta dinero, peso o valor.

• En los problemas de edades, el tiempo pasa igual para todas las personas.

• La solución se comprueba en el enunciado y tiene que tener sentido en el contexto; si no lo tiene, hay un error.

• En una decisión entre dos opciones, la solución del sistema es el punto de equilibrio entre ellas.

Vocabulario

Incógnita

Cantidad desconocida del problema que se representa con una letra. Siempre se dice qué cuenta y en qué unidad.

Condición

Cada dato del enunciado que relaciona las incógnitas. Cada condición independiente da una ecuación.

Plantear

Escribir con ecuaciones lo que el enunciado dice con palabras.

Comprobar

Revisar que la solución cumple todas las condiciones del enunciado original.