La función cuadrática y la parábola
Lo que vas a aprender
- Reconocer una función cuadrática y señalar sus coeficientes a, b y c.
- Construir la tabla de valores de una función cuadrática y trazar su gráfica.
- Decidir hacia dónde abre una parábola según el signo de a, y comparar su abertura según el tamaño de a.
- Describir con palabras la trayectoria de un balón a partir de su fórmula y de su gráfica.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Cuando pateas un balón hacia el arco, el balón sube, cada vez más despacio, deja de subir un instante en lo más alto y vuelve a bajar, mientras sigue avanzando hacia el arco. El chorro de agua de una manguera y un tiro a la canasta de baloncesto dibujan curvas parecidas. Esa curva se llama parábola, y es la gráfica de una clase de funciones que vas a estudiar en toda esta unidad: las funciones cuadráticas.
Con una función lineal la gráfica es una recta, que crece o decrece siempre al mismo ritmo. Con una cuadrática el ritmo cambia: en la del balón, primero sube rápido, luego más lento, y al final baja. Por eso sirve para describir movimientos como el del balón y para encontrar el punto más alto o más bajo de una situación.
Antes de empezar necesitas saber elevar al cuadrado números negativos, $(-3)^2 = 9$, y desarrollar productos como $(x + 1)(x - 3)$.
Explicación
¿Qué es una función cuadrática?
Una función cuadrática es una función que se puede escribir en la forma
$$f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \neq 0.$$
El número $a$ es el coeficiente cuadrático, $b$ el coeficiente lineal y $c$ el término independiente. La única exigencia es que $a$ no sea cero: si lo fuera, desaparecería el $x^2$ y la función sería lineal.
Para identificar los coeficientes conviene ordenar primero la expresión de mayor a menor grado, y fijarse en los signos:
- en $f(x) = 3x^2 - 5x + 7$, los coeficientes son $a = 3$, $b = -5$ y $c = 7$;
- en $g(x) = 4 - x^2$, se ordena como $-x^2 + 0x + 4$: $a = -1$, $b = 0$ y $c = 4$;
- en $h(x) = (x + 1)(x - 3)$ hay que desarrollar el producto antes de leer los coeficientes.
La tabla de valores y la gráfica
Para graficar una función cuadrática se elige un grupo de valores de $x$, se calcula $f(x)$ para cada uno y se ubican los puntos $(x;\ f(x))$ en el plano. Dos cuidados:
- Al reemplazar un número negativo, ponlo entre paréntesis. Con $x = -3$, el término $x^2$ vale $(-3)^2 = 9$, no $-9$.
- Los puntos no se unen con segmentos rectos ni con un pico en el vértice: se unen con una curva suave, redondeada donde da la vuelta.
Al hacer la tabla notarás dos cosas. La primera: los valores de $f(x)$ se repiten a los dos lados de un valor de $x$, como en un espejo. La recta vertical que pasa por ese valor es el eje de simetría de la parábola. La segunda: hay un punto donde la curva da la vuelta, el vértice. En la próxima lección aprenderás a calcularlo sin hacer la tabla.
Hacia dónde abre: el signo de $a$
El signo de $a$ decide la concavidad:
- si $a > 0$, la parábola abre hacia arriba, como una taza, y el vértice es su punto más bajo;
- si $a < 0$, la parábola abre hacia abajo, como un arco, y el vértice es su punto más alto.
La razón es que, cuando $x$ se aleja mucho del cero, el término $ax^2$ termina por ganarle a los demás. Si $a$ es positivo, ese término es enorme y positivo, y la curva sube por los dos lados; si es negativo, la curva baja por los dos lados.
El tamaño de $a$ (sin el signo) decide la abertura: cuanto más grande, más rápido crece $ax^2$ y más estrecha se ve la parábola; cuanto más cerca de cero, más ancha.
Ejemplo resuelto
Leer los coeficientes de un producto
Escribe $h(x) = (x + 1)(x - 3)$ en la forma $ax^2 + bx + c$ y di cuánto valen $a$, $b$ y $c$.
Ver la solución paso a paso
Partimos del producto.
$$\left(x + 1\right)\left(x - 3\right)$$
Multiplicamos cada término del primer factor por cada término del segundo.
$$x^{2} - 3x + x - 3$$
Reducimos los términos semejantes.
$$x^{2} - 2x - 3$$
Conclusión: es una función cuadrática con $a = 1$, $b = -2$ y $c = -3$. Como $a$ es positivo, su parábola abre hacia arriba.
Respuesta: $x^{2} - 2x - 3$
Ejemplo resuelto
La tabla de valores de una parábola
Haz la tabla de $f(x) = x^2 - 2x - 3$ para los valores enteros de $x$ entre $-2$ y $4$.
Ver la solución paso a paso
Con $x = -2$, el negativo va entre paréntesis:
$$\left(-2\right)^{2} - 2 \cdot \left(-2\right) - 3 = 5$$
Con $x = -1$:
$$\left(-1\right)^{2} - 2 \cdot \left(-1\right) - 3 = 0$$
Con $x = 0$:
$$0^{2} - 2 \cdot 0 - 3 = -3$$
Con $x = 1$:
$$1^{2} - 2 \cdot 1 - 3 = -4$$
Con $x = 2$:
$$2^{2} - 2 \cdot 2 - 3 = -3$$
Con $x = 3$:
$$3^{2} - 2 \cdot 3 - 3 = 0$$
Con $x = 4$:
$$4^{2} - 2 \cdot 4 - 3 = 5$$
Lectura de la tabla. Los valores bajan de 5 a −4 y vuelven a subir a 5. Se repiten a los dos lados de $x = 1$: $f(0) = f(2)$, $f(-1) = f(3)$ y $f(-2) = f(4)$. El eje de simetría es la recta $x = 1$ y el vértice es el punto $(1;\ -4)$, el más bajo de la curva.
La parábola de f(x) = x² − 2x − 3 abre hacia arriba (a = 1 > 0). Su vértice (1; −4) es el punto más bajo, y corta al eje x en −1 y en 3.
Con a positivo la parábola abre hacia arriba; con a negativo, hacia abajo. Cuanto más grande es a sin su signo, más estrecha es: y = 3x² es más estrecha que y = x², y y = −0,5x² es más ancha que y = −x².
Empieza en f(x) = x² − 2x − 3, que es (x − 1)² − 4. Mueve a: si es positivo la parábola abre hacia arriba y si es negativo, hacia abajo; cuanto más grande sin su signo, más cerrada. Mueve h y k y mira cómo viaja el vértice.
La trayectoria de un balón
Un jugador patea un balón desde el piso. Suponemos que, si $x$ es la distancia horizontal recorrida y $y$ la altura del balón, las dos en metros, la trayectoria sigue la fórmula (inventada para este ejemplo)
$$y = -0{,}05x^2 + x.$$
Como $a = -0{,}05$ es negativo, la parábola abre hacia abajo: el balón tiene un punto más alto. La fórmula solo describe el vuelo, desde que sale del pie hasta que vuelve a tocar el piso; antes y después de ese tramo no tiene sentido.
Ejemplo resuelto
Describir el vuelo del balón
Con $y = -0{,}05x^2 + x$, calcula la altura del balón cada 4 metros de recorrido y describe cómo cambia.
Ver la solución paso a paso
Al salir del pie, con $x = 0$, el balón está en el piso:
$$-0{,}05 \cdot 0^{2} + 0$$
Resultado:
$$0$$
A los 4 metros:
$$-0{,}05 \cdot 4^{2} + 4$$
Resultado, en metros:
$$3{,}2$$
A los 8 metros:
$$-0{,}05 \cdot 8^{2} + 8$$
Resultado:
$$4{,}8$$
A los 10 metros, en la mitad del recorrido:
$$-0{,}05 \times 10^{2} + 10$$
Resultado: es la altura más alta de la tabla.
$$5$$
A los 12 metros:
$$-0{,}05 \cdot 12^{2} + 12$$
Resultado: la misma altura que a los 8 metros.
$$4{,}8$$
A los 20 metros:
$$-0{,}05 \cdot 20^{2} + 20$$
Resultado: el balón vuelve a tocar el piso.
$$0$$
De los 4 a los 8 metros el balón sube menos que en los primeros 4:
$$4{,}8 - 3{,}2 = 1{,}6$$
Y a los 16 metros, que están a la misma distancia del 10 que los 4 metros, vuelve a la misma altura:
$$-0{,}05 \cdot 16^{2} + 16 = 3{,}2$$
Descripción del movimiento. En los primeros 4 metros el balón sube $3{,}2$ m; en los 4 siguientes solo sube $1{,}6$ m: sigue subiendo, pero cada vez más despacio. A los 10 metros llega a su altura máxima, 5 m, y desde ahí baja repitiendo las mismas alturas en orden inverso (a los 16 m está otra vez a $3{,}2$ m). Cae al piso a los 20 metros.
La trayectoria del balón, y = −0,05x² + x: sale del piso, alcanza 5 m de altura a los 10 m y cae a los 20 m.
Este balón sale del piso a 14 m/s con un ángulo de 45°, y su vuelo es la parábola y = −0,05x² + x. Lánzalo: sube hasta 5 m y cae a los 20 m. Cambia el ángulo o la velocidad y lánzalo otra vez: la estela siempre dibuja una parábola.
Práctica
Si f(x) = x² − 3x + 2, ¿cuánto vale f(4)?
f(4) = 4² − 3 · 4 + 2 = 16 − 12 + 2 = 6.
En la tabla de y = 2x² − 1, ¿qué valor de y corresponde a x = −3?
Primero el cuadrado: (−3)² = 9. Luego 2 · 9 − 1 = 17. Si se escribe −3² = −9 sale −19; si se eleva 2 · (−3) al cuadrado sale 35; y si se olvida el cuadrado sale −7.
Para f(x) = x² − 2x − 3, la función del ejemplo, calcula f(−3).
(−3)² − 2 · (−3) − 3 = 9 + 6 − 3 = 12. Por la simetría, f(5) también vale 12: −3 y 5 están a la misma distancia del eje x = 1.
Al escribir $\left(x - 2\right)\left(x + 5\right)$ en la forma ax² + bx + c, ¿qué se obtiene?
(x − 2)(x + 5) = x² + 5x − 2x − 10 = x² + 3x − 10. El término lineal sale de sumar 5x y −2x; no desaparece.
¿Hacia dónde abre la parábola de y = −3x² + x + 5, y por qué?
La concavidad la decide solo el signo de a, el coeficiente de x². Aquí a = −3 < 0, así que la parábola abre hacia abajo y tiene un punto más alto.
Si en y = ax² el coeficiente a pasa de 1 a 3, ¿qué le pasa a la parábola?
Con a = 3, para cada x la altura es el triple que con a = 1, así que la curva sube más rápido y se ve más cerrada. El signo sigue siendo positivo: sigue abriendo hacia arriba.
La trayectoria del balón del ejemplo es y = −0,05x² + x, en metros. ¿A qué altura está el balón cuando ha avanzado 6 m? Escribe el número de metros.
−0,05 · 6² + 6 = −0,05 · 36 + 6 = −1,8 + 6 = 4,2 m.
En la tabla del ejemplo, el balón llega a lo más alto a los 10 m de recorrido. Con y = −0,05x² + x, ¿cuál es esa altura máxima, en metros?
−0,05 · 100 + 10 = −5 + 10 = 5 m.
El eje de simetría de la trayectoria del balón es la recta x = 10. Cuando ha avanzado 6 m, el balón tiene cierta altura. ¿A cuántos metros de recorrido vuelve a tener exactamente esa misma altura?
El 6 está 4 unidades a la izquierda del eje x = 10. Su reflejo está 4 unidades a la derecha: 10 + 4 = 14. Se puede comprobar: −0,05 · 14² + 14 = 4,2, igual que a los 6 m.
Un compañero de 1,8 m de estatura está en la línea del tiro, a 3 m del punto donde se patea el balón del ejemplo. ¿Verdadero o falso? El balón le pasa por encima de la cabeza, porque $-0{,}05 \cdot 3^{2} + 3 > 1{,}8$
A los 3 m la altura es −0,05 · 9 + 3 = 2,55 m, más que 1,8 m. El balón pasa por encima.
Reto
Une cada producto con su forma ax² + bx + c.
Desarrolla el producto de la izquierda y busca su pareja.
Reto
Completa la tabla de una parábola.
Reemplaza cada valor de x en la función. Cuidado con los negativos.
Cierre
En resumen
Una función cuadrática es f(x) = ax² + bx + c con a distinto de cero; su gráfica es una parábola.
Para graficarla se hace una tabla de valores, poniendo los negativos entre paréntesis, y se unen los puntos con una curva suave.
La parábola es simétrica respecto a una recta vertical, su eje, y da la vuelta en el vértice.
Si a es positivo la parábola abre hacia arriba; si es negativo, hacia abajo. Cuanto más grande es a sin el signo, más estrecha.
La trayectoria de un balón pateado es una parábola que abre hacia abajo: sube cada vez más despacio, llega a su punto más alto y baja.
Vocabulario
- Función cuadrática
Función que se puede escribir como f(x) = ax² + bx + c, con a, b y c números reales y a distinto de cero.
- Parábola
La curva que se obtiene al graficar una función cuadrática.
- Eje de simetría
Recta vertical que divide la parábola en dos mitades que son reflejo una de la otra.
- Vértice
El punto donde la parábola cambia de bajar a subir, o de subir a bajar: su punto más bajo o más alto.
- Concavidad
Hacia dónde abre la parábola: hacia arriba si a es positivo, hacia abajo si a es negativo.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Lance una pelota de papel en el salón y pida que dibujen en el aire la curva que hizo. Pregunte en qué se parece y en qué no a una recta.
- Explicación · 15 min — Definición y coeficientes; la tabla de f(x) = x² − 2x − 3 en el tablero, ubicando los puntos y señalando la simetría. Luego la familia y = ax² con distintos valores de a.
- Práctica · 20 min — El vuelo del balón en grupos: cada grupo calcula una parte de la tabla y la ponen en común. Después preguntas y retos en parejas.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe una función cuadrática que abra hacia abajo y sea más ancha que y = −x².
Preguntas para el salón
- ¿Por qué se exige que a sea distinto de cero? ¿Qué pasa con la gráfica si a = 0?
- En la tabla del balón, ¿cómo se ve en los números que el balón sube cada vez más despacio?
- Si conocen la altura del balón a los 3 m, ¿en qué otro punto del recorrido saben la altura sin calcular?
Errores típicos
- Calcular −3² en lugar de (−3)² al reemplazar un negativo. Exija paréntesis al reemplazar y compare en la calculadora las dos escrituras.
- Unir los puntos con segmentos o hacer un pico en el vértice. Calcule el valor en x = 0,5 y x = 1,5 para mostrar que entre los puntos enteros la curva es redondeada.
- Creer que el signo de c o de b decide hacia dónde abre la parábola. Grafique y = x² − 5 y y = −x² + 5 y pregunte cuál abre hacia arriba.
- Leer la trayectoria como si y fuera el tiempo o la velocidad. Pida que escriban las unidades de cada eje antes de interpretar la gráfica.
Tarea sugerida
Hacer la tabla y la gráfica de y = −x² + 4x para x de −1 a 5, decir hacia dónde abre y en qué punto da la vuelta, y explicar con palabras qué describiría si fuera la altura de un balón.