Vértice, eje de simetría y cortes
Lo que vas a aprender
- Calcular el vértice y el eje de simetría de una parábola a partir de su fórmula.
- Hallar el corte con el eje y y, cuando el trinomio se factoriza, los cortes con el eje x.
- Usar el vértice, el eje y los cortes para trazar la parábola sin una tabla larga.
- Resolver problemas de máximos y mínimos interpretando las coordenadas del vértice.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Con 40 metros de malla quieres cercar una huerta rectangular para el colegio. Puedes hacerla larga y angosta o casi cuadrada, y el área cambia. ¿Qué medidas dan la huerta más grande? Una tienda que sube el precio de un producto vende menos unidades: ¿con qué precio gana más? Un balón lanzado hacia arriba: ¿qué altura máxima alcanza?
Las tres preguntas tienen la misma respuesta matemática: son funciones cuadráticas, y lo que se busca es su vértice, el punto más alto o más bajo de la parábola. En esta lección vas a calcularlo directamente con la fórmula, junto con los otros puntos que permiten dibujar la parábola rápido: los cortes con los ejes.
Antes de empezar repasa la factorización de trinomios como $x^2 - 6x + 5$ y recuerda que la parábola abre hacia arriba si $a > 0$ y hacia abajo si $a < 0$.
Explicación
El corte con el eje y
Todo punto del eje $y$ tiene abscisa $0$. Si reemplazamos $x = 0$ en $f(x) = ax^2 + bx + c$, los dos primeros términos se anulan y queda $f(0) = c$. Por eso toda parábola corta al eje $y$ en el punto $(0;\ c)$. Es el dato más fácil de leer: en $y = x^2 - 6x + 5$, el corte es $(0;\ 5)$.
El eje de simetría y el vértice
La parábola es simétrica: dos puntos a la misma altura están a la misma distancia del eje. Busquemos dos puntos que tengan la misma altura que el corte con el eje $y$, es decir, altura $c$:
$$ax^2 + bx + c = c \;\Longrightarrow\; ax^2 + bx = 0 \;\Longrightarrow\; x(ax + b) = 0.$$
Las soluciones son $x = 0$ y $x = -\dfrac{b}{a}$. El eje de simetría pasa justo por la mitad de esos dos valores, así que es la recta
$$x = -\frac{b}{2a}.$$
Sobre ese eje está el vértice. Su abscisa es $x_v = -\dfrac{b}{2a}$, y su ordenada se obtiene reemplazando ese valor en la función: $y_v = f(x_v)$. Ten cuidado con los signos: si $b$ es negativo, $-b$ es positivo.
Los cortes con el eje x
Los puntos del eje $x$ tienen ordenada $0$. Para hallar dónde lo corta la parábola hay que resolver la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$. Cuando el trinomio se puede factorizar, basta con usar que un producto vale cero solo si alguno de sus factores es cero. En la siguiente lección aprenderás un método que sirve siempre.
Fíjate en que los cortes con el eje $x$ también son simétricos: el eje de simetría pasa por su punto medio. Eso sirve para comprobar las cuentas.
¿Cuántos cortes hay? Depende de dónde quede el vértice:
- si la parábola abre hacia arriba y el vértice está debajo del eje $x$, hay dos cortes; si está encima, ninguno;
- si abre hacia abajo, es al revés: vértice encima, dos cortes; vértice debajo, ninguno;
- si el vértice está sobre el eje $x$, la parábola lo toca en un solo punto.
Máximos y mínimos
Si $a > 0$, la parábola abre hacia arriba y el vértice es su punto más bajo: la función tiene un valor mínimo, $y_v$. Si $a < 0$, abre hacia abajo y $y_v$ es el valor máximo. En un problema, las dos coordenadas del vértice responden dos preguntas distintas: $x_v$ dice con qué valor de la variable se alcanza el máximo o el mínimo, y $y_v$ dice cuánto vale ese máximo o ese mínimo.
Ejemplo resuelto
Los puntos clave de una parábola que abre hacia arriba
Halla el vértice, el eje de simetría y los cortes con los ejes de $f(x) = x^2 - 6x + 5$.
Ver la solución paso a paso
Los coeficientes son $a = 1$, $b = -6$ y $c = 5$. Como $a > 0$, la parábola abre hacia arriba y el vértice será un mínimo.
Abscisa del vértice: $x_v = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2 \cdot 1}$, que es
$$\frac{6}{2}$$
Simplificamos: el eje de simetría es la recta $x = 3$.
$$3$$
Ordenada del vértice: reemplazamos $x = 3$ en la función.
$$3^{2} - 6 \cdot 3 + 5$$
Calculamos el cuadrado y el producto.
$$9 - 18 + 5$$
El vértice es $(3;\ -4)$, y el valor mínimo de la función es $-4$.
$$-4$$
Corte con el eje y: es el término independiente, $f(0) = c$.
$$0^{2} - 6 \cdot 0 + 5$$
El corte es $(0;\ 5)$.
$$5$$
Cortes con el eje x: igualamos a cero.
$$x^{2} - 6x + 5 = 0$$
Factorizamos: dos números que multiplicados den 5 y sumados den −6 son −1 y −5.
$$\left(x - 1\right)\left(x - 5\right) = 0$$
Un producto es cero si algún factor es cero: $x = 1$ o $x = 5$. Comprobamos el primero,
$$1^{2} - 6 \cdot 1 + 5 = 0$$
y el segundo:
$$5^{2} - 6 \cdot 5 + 5 = 0$$
Comprobación con la simetría: el punto medio de los cortes es el eje.
$$\frac{1 + 5}{2} = 3$$
Respuesta: Vértice $(3;\ -4)$, eje $x = 3$, corte con el eje y en $(0;\ 5)$ y cortes con el eje x en $(1;\ 0)$ y $(5;\ 0)$.
f(x) = x² − 6x + 5: vértice (3; −4), eje de simetría x = 3, corte con el eje y en (0; 5) y cortes con el eje x en (1; 0) y (5; 0). El punto (6; 5) es el reflejo de (0; 5).
Ejemplo resuelto
Una parábola que abre hacia abajo
Halla el vértice y los cortes de $g(x) = -2x^2 + 8x - 6$ y di si el vértice es un máximo o un mínimo.
Ver la solución paso a paso
Aquí $a = -2$, $b = 8$ y $c = -6$. Como $a < 0$, abre hacia abajo: el vértice es un máximo. Abscisa: $x_v = -\dfrac{8}{2 \cdot (-2)}$.
$$-\frac{8}{2 \cdot \left(-2\right)}$$
Dividimos: el eje es $x = 2$.
$$2$$
Ordenada: reemplazamos $x = 2$.
$$-2 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 6$$
Primero la potencia y los productos.
$$-8 + 16 - 6$$
El vértice es $(2;\ 2)$ y el valor máximo de $g$ es $2$.
$$2$$
Cortes con el eje x: igualamos a cero.
$$-2x^{2} + 8x - 6 = 0$$
Dividimos toda la ecuación entre $-2$ para que el trinomio quede más sencillo.
$$x^{2} - 4x + 3 = 0$$
Factorizamos.
$$\left(x - 1\right)\left(x - 3\right) = 0$$
Los cortes son $x = 1$ y $x = 3$, y su punto medio es otra vez el eje:
$$\frac{1 + 3}{2} = 2$$
El corte con el eje y es $g(0) = c$, así que la parábola pasa por $(0;\ -6)$:
$$-2 \cdot 0^{2} + 8 \cdot 0 - 6 = -6$$
Tiene sentido que haya dos cortes: la parábola abre hacia abajo y su vértice está encima del eje x.
Respuesta: Vértice $(2;\ 2)$, que es un máximo; cortes con el eje x en $1$ y en $3$; corte con el eje y en $-6$.
Aparece una parábola fantasma: mueve a, h y k hasta taparla y toca «Comprobar». La primera es f(x) = x² − 6x + 5 y la segunda, g(x) = −2x² + 8x − 6. El vértice de cada una queda en (h; k).
Ejemplo resuelto
La huerta más grande
Con 40 m de malla se quiere cercar una huerta rectangular por sus cuatro lados. ¿Qué medidas dan el área más grande, y cuánto es esa área?
Ver la solución paso a paso
Si un lado mide $x$ metros, el largo más el ancho es la mitad del perímetro, 20 m, así que el otro lado mide $20 - x$. El área es:
$$x\left(20 - x\right)$$
Desarrollamos: es una función cuadrática con $a = -1 < 0$, que tiene un máximo.
$$-x^{2} + 20x$$
El lado que da el máximo es la abscisa del vértice: $x_v = -\dfrac{20}{2 \cdot (-1)}$.
$$-\frac{20}{2 \cdot \left(-1\right)}$$
Un lado mide 10 m.
$$10$$
El área máxima es la ordenada del vértice: el otro lado mide $20 - 10 = 10$ m.
$$10 \cdot \left(20 - 10\right)$$
Multiplicamos.
$$100$$
Comparación. Un rectángulo de 5 m por 15 m también usa los 40 m de malla, pero encierra menos:
$$5 \cdot \left(20 - 5\right) = 75$$
Y el cuadrado de 10 m usa justo los 40 m de malla:
$$4 \cdot 10 = 40$$
Interpretación. Entre todos los rectángulos con 40 m de perímetro, el de mayor área es el cuadrado de 10 m de lado, con 100 m². Uno de 5 m por 15 m solo encierra 75 m².
Respuesta: Un cuadrado de 10 m por 10 m, con un área de 100 m².
El área de la huerta, A(x) = x(20 − x), según el lado x. El máximo está en el vértice (10; 100).
Práctica
¿Cuál es la abscisa (la coordenada x) del vértice de la parábola $y =$ $x^{2} - 8x + 3$?
x = −b/(2a) = −(−8)/(2 · 1) = 8/2 = 4. El término independiente no interviene en la abscisa del vértice.
La abscisa del vértice de y = x² − 8x + 3 es 4. ¿Cuál es la ordenada del vértice?
Reemplazamos x = 4: 16 − 32 + 3 = −13. El vértice es (4; −13), el punto más bajo de la parábola.
¿Cuál es la abscisa del vértice de $y =$ $-3x^{2} + 12x - 1$?
x = −b/(2a) = −12/(2 · (−3)) = −12/(−6) = 2. Si se pierde un signo sale −2; si se olvida el 2 del denominador sale 4; si se divide entre 2 · (−1), con solo el signo de a, sale 6.
¿Verdadero o falso? El eje de simetría de la parábola y = x² + 10x + 1 es la recta x = 5.
x = −b/(2a) = −10/2 = −5. El eje es x = −5: el signo menos de la fórmula cambia el signo de b.
¿En qué valor de y corta al eje y la parábola y = (x − 3)(x + 2)?
En el eje y, x = 0: (0 − 3)(0 + 2) = −6. Al desarrollar, y = x² − x − 6, y el término independiente es −6. Los números 3 y −2 son los cortes con el eje x, no con el eje y.
¿En qué valores de x corta al eje x la parábola y = x² − x − 12? Resuelve $x^{2} - x - 12 = 0$.
Dos números con producto −12 y suma −1 son −4 y 3: (x − 4)(x + 3) = 0, así que x = 4 o x = −3. Comprobación: su punto medio, 0,5, es el eje x = −(−1)/2.
Marca todos los valores de x donde la parábola y = x² − 9 corta al eje x.
Marca todas las que apliquen.
x² − 9 = 0 cuando x² = 9, es decir, x = 3 o x = −3. El eje de simetría es x = 0, justo en la mitad.
Con 60 m de malla se cerca un terreno rectangular por sus cuatro lados. ¿Cuál es el área más grande que puede encerrar, en metros cuadrados?
Si un lado mide x, el otro mide 30 − x y el área es A = x(30 − x) = −x² + 30x. El vértice está en x = −30/(2 · (−1)) = 15, y el área máxima es 15 · 15 = 225 m².
La altura de una pelota lanzada hacia arriba sigue la fórmula inventada h = −5t² + 20t + 1, con h en metros y t en segundos. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza, en metros?
El vértice está en t = −20/(2 · (−5)) = 2 segundos. La altura máxima es h(2) = −5 · 4 + 40 + 1 = 21 m.
En la tienda del colegio, si una gorra se vende a p mil pesos, se venden 80 − 2p gorras a la semana, y el ingreso es I = p(80 − 2p). ¿Con qué precio p, en miles de pesos, el ingreso es máximo?
I = −2p² + 80p, con a = −2 y b = 80. El vértice está en p = −80/(2 · (−2)) = 20 mil pesos. Con p = 40 no se vende ninguna gorra: ese es un corte con el eje, no el máximo.
Una parábola abre hacia arriba y su vértice es el punto (2; 5). ¿Cuántas veces corta al eje x?
El vértice es el punto más bajo y está 5 unidades por encima del eje x. Todos los demás puntos están todavía más arriba, así que la parábola nunca toca el eje x.
Reto
Los puntos clave de una parábola.
Usa −b/(2a) para el vértice, x = 0 para el corte con el eje y, y la simetría para el último hueco.
Reto
Abre el candado de las parábolas.
Cada respuesta es una cifra del código.
Reto
El crucigrama de la parábola.
Lee cada pista y escribe la palabra, sin tildes.
Cierre
En resumen
Toda parábola y = ax² + bx + c corta al eje y en el punto (0; c).
El eje de simetría es la recta x = −b/(2a); el vértice tiene esa abscisa y su ordenada se obtiene reemplazándola en la función.
Los cortes con el eje x son las soluciones de ax² + bx + c = 0, y su punto medio está sobre el eje de simetría.
Si a > 0 el vértice es un mínimo; si a < 0, es un máximo.
En un problema, la abscisa del vértice dice con qué valor se logra el máximo o el mínimo, y la ordenada dice cuánto vale.
Vocabulario
- Vértice
Punto de la parábola donde está su valor mínimo (si abre hacia arriba) o su valor máximo (si abre hacia abajo). Su abscisa es −b/(2a).
- Eje de simetría
Recta vertical x = −b/(2a), que pasa por el vértice y divide la parábola en dos mitades que son reflejo una de la otra.
- Corte con el eje y
Punto donde la parábola cruza el eje vertical. Es (0; c).
- Cortes con el eje x
Puntos donde la parábola cruza el eje horizontal; sus abscisas son las soluciones de ax² + bx + c = 0. Puede haber dos, uno o ninguno.
- Valor máximo o mínimo
La ordenada del vértice: el valor más alto o más bajo que toma la función.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida a cada estudiante que proponga las medidas de una huerta con 40 m de perímetro y calcule su área. Anote en el tablero los resultados para ver que hay uno mayor.
- Explicación · 15 min — Corte con el eje y, deducción del eje por simetría y cortes con el eje x con el primer ejemplo; luego el ejemplo que abre hacia abajo.
- Práctica · 20 min — La huerta como problema guiado, luego preguntas en parejas. El candado y el crucigrama sirven para cerrar en grupo.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante dibuje a mano alzada una parábola con solo cinco puntos: vértice, corte con el eje y, su reflejo y los cortes con el eje x.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué el término independiente c no cambia la abscisa del vértice?
- Si una parábola abre hacia abajo y su vértice está debajo del eje x, ¿cuántos cortes con el eje x tiene?
- En la huerta, ¿qué pregunta responde el 10 y cuál el 100?
Errores típicos
- Olvidar el signo menos de −b/(2a), o el 2 del denominador. Pida comprobar siempre con la simetría: el punto medio de los cortes, o de f(0) y su reflejo, tiene que dar la misma abscisa.
- Confundir el corte con el eje y con los cortes con el eje x. Recuerde que en el eje y es x la que vale 0, y en el eje x es y la que vale 0.
- Responder un problema de máximo con la abscisa cuando se pregunta por el valor máximo, o al revés. Exija una frase final con unidades: «el lado mide 10 m» y «el área máxima es 100 m²».
Tarea sugerida
Para y = x² − 2x − 8 y para y = −x² + 6x − 5, hallar vértice, eje y cortes, y dibujar las dos parábolas con esos puntos. Resolver además el problema de la huerta con 52 m de malla.