La ecuación cuadrática
Lo que vas a aprender
- Escribir una ecuación cuadrática en la forma general ax² + bx + c = 0 y señalar a, b y c.
- Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización, usando que un producto es cero si uno de sus factores lo es.
- Resolver ecuaciones de la forma ax² = k y (x − h)² = k sacando raíz cuadrada, sin perder la solución negativa.
- Resolver cualquier ecuación cuadrática con la fórmula general y elegir el método más conveniente.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la lección anterior encontraste dónde corta una parábola al eje $x$, pero solo cuando el trinomio se dejaba factorizar con facilidad. ¿Y si la parábola es $y = x^2 - 4x + 1$? Sus cortes existen, se ven en la gráfica, pero no salen con dos números enteros que se multipliquen y se sumen.
Encontrar esos valores es resolver una ecuación cuadrática. Aparece cada vez que una cantidad depende del cuadrado de otra: áreas, alturas de un objeto que cae, ganancias que suben y luego bajan. En esta lección vas a aprender tres métodos, y sobre todo a elegir el más corto para cada ecuación.
Antes de empezar repasa la factorización de trinomios y la simplificación de radicales, como $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
Explicación
La forma general
Una ecuación cuadrática es una ecuación que se puede escribir como
$$ax^2 + bx + c = 0, \qquad a \neq 0.$$
Antes de resolverla conviene llevarla a esa forma general: todos los términos a un lado, ordenados de mayor a menor grado, y un cero al otro lado. Por ejemplo, $x(x - 3) = 10$ se convierte en $x^2 - 3x - 10 = 0$, con $a = 1$, $b = -3$ y $c = -10$.
Una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones, una o ninguna en los reales. Son las abscisas de los puntos donde la parábola $y = ax^2 + bx + c$ corta al eje $x$.
Método 1: factorizar
Si el trinomio se factoriza, se usa la propiedad del producto nulo: un producto vale cero solo si alguno de los factores vale cero. Así, $(x + 5)(x - 3) = 0$ se parte en dos ecuaciones lineales, $x + 5 = 0$ o $x - 3 = 0$.
Dos cuidados. El primero: solo funciona si el otro lado es cero. De $x(x - 3) = 10$ no se puede concluir que $x = 10$ o $x - 3 = 10$, porque hay muchos productos que dan 10. El segundo: cuando $c = 0$, como en $x^2 = 7x$, no dividas entre $x$. Al hacerlo se pierde la solución $x = 0$. Lo correcto es pasar todo a un lado y sacar factor común: $x^2 - 7x = 0$, $x(x - 7) = 0$, así que $x = 0$ o $x = 7$.
Método 2: sacar raíz cuadrada
Cuando no hay término en $x$ ($b = 0$), la ecuación se despeja hasta dejar $x^2$ solo: $x^2 = k$. Si $k$ es positivo, hay dos números cuyo cuadrado es $k$: $\sqrt{k}$ y $-\sqrt{k}$. Por eso, al sacar raíz a los dos lados queda $|x| = \sqrt{k}$, es decir, $x = \pm\sqrt{k}$. Olvidar el signo menos es el error más frecuente de este método.
Lo mismo sirve si el cuadrado es de un binomio: de $(x - 1)^2 = 9$ sale $x - 1 = 3$ o $x - 1 = -3$.
Método 3: la fórmula general
Hay una fórmula que resuelve cualquier ecuación $ax^2 + bx + c = 0$:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$
El signo $\pm$ indica que se hace la cuenta dos veces, una sumando la raíz y otra restándola. Para usarla sin errores:
- escribe la ecuación en forma general y anota $a$, $b$ y $c$ con su signo;
- calcula primero lo de dentro de la raíz, $b^2 - 4ac$, con paréntesis en los negativos;
- recuerda que la raya de la fracción está debajo de todo el numerador: $2a$ divide a $-b$ y a la raíz.
Si lo de dentro de la raíz es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales: la parábola no toca el eje $x$. En la siguiente lección estudiarás ese número con detalle.
¿Qué método conviene?
- Si $b = 0$: raíz cuadrada.
- Si $c = 0$: factor común.
- Si el trinomio se factoriza a simple vista: factorización.
- En cualquier otro caso, o si dudas: fórmula general. Siempre funciona.
Ejemplo resuelto
Resolver por factorización
Resuelve $x^2 + 2x - 15 = 0$.
Ver la solución paso a paso
La ecuación ya está en forma general.
$$x^{2} + 2x - 15 = 0$$
Buscamos dos números que multiplicados den −15 y sumados den 2: son 5 y −3.
$$\left(x + 5\right)\left(x - 3\right) = 0$$
Por la propiedad del producto nulo, el primer factor puede ser cero:
$$x + 5 = 0$$
Despejamos.
$$x = -5$$
O el segundo factor puede ser cero:
$$x - 3 = 0$$
Despejamos.
$$x = 3$$
Comprobamos las dos soluciones en la ecuación original. Con $x = -5$:
$$\left(-5\right)^{2} + 2 \cdot \left(-5\right) - 15 = 0$$
Con $x = 3$:
$$3^{2} + 2 \cdot 3 - 15 = 0$$
Respuesta: $x = -5$ o $x = 3$.
Las soluciones de x² + 2x − 15 = 0 son las abscisas de los cortes de la parábola y = x² + 2x − 15 con el eje x: −5 y 3.
La parábola y = x² + 2x − 15, que es (x + 1)² − 16, corta el eje x en −5 y en 3: las soluciones de la ecuación. Lleva h a 1 y k a −9 para ver (x − 1)² = 9, que corta en −2 y en 4.
Ejemplo resuelto
Resolver sacando raíz cuadrada
Resuelve $3x^2 - 48 = 0$ y luego $(x - 1)^2 = 9$.
Ver la solución paso a paso
En la primera no hay término en $x$. Partimos de la ecuación:
$$3x^{2} - 48 = 0$$
Sumamos 48 a los dos lados.
$$3x^{2} = 48$$
Dividimos entre 3 para dejar $x^2$ solo.
$$x^{2} = 16$$
Sacamos raíz a los dos lados. La raíz de $x^2$ es el valor absoluto de $x$, porque $4^2$ y $(-4)^2$ dan 16:
$$\left|x\right| = 4$$
Las soluciones de la primera ecuación son $x = 4$ y $x = -4$. Segunda ecuación: el cuadrado es de un binomio.
$$\left(x - 1\right)^{2} = 9$$
Sacamos raíz a los dos lados.
$$\left|x - 1\right| = 3$$
Primera posibilidad: lo de dentro vale 3.
$$x - 1 = 3$$
Sumamos 1.
$$x = 4$$
Segunda posibilidad: lo de dentro vale −3.
$$x - 1 = -3$$
Sumamos 1.
$$x = -2$$
Respuesta: Primera ecuación: $x = 4$ o $x = -4$. Segunda: $x = 4$ o $x = -2$.
Ejemplo resuelto
La fórmula general con soluciones racionales
Resuelve $2x^2 - 3x - 2 = 0$ con la fórmula general.
Ver la solución paso a paso
Los coeficientes, con su signo, son $a = 2$, $b = -3$ y $c = -2$. Primero lo de dentro de la raíz, $b^2 - 4ac$:
$$\left(-3\right)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot \left(-2\right)$$
El cuadrado de −3 es 9, y $-4 \cdot 2 \cdot (-2)$ es $+16$.
$$9 + 16$$
Sumamos.
$$25$$
Con el signo más: $-b = 3$ y $2a = 4$.
$$\frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$$
Como $\sqrt{25} = 5$:
$$\frac{8}{4}$$
Primera solución.
$$2$$
Con el signo menos:
$$\frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$$
Restamos.
$$-\frac{2}{4}$$
Segunda solución, simplificada.
$$-\frac{1}{2}$$
Comprobamos $x = -\tfrac{1}{2}$ en la ecuación original:
$$2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{2} - 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 2 = 0$$
Respuesta: $x = 2$ o $x = -\tfrac{1}{2}$.
Ejemplo resuelto
La fórmula general con soluciones irracionales
Resuelve $x^2 - 4x + 1 = 0$, la ecuación de los cortes de la parábola del comienzo.
Ver la solución paso a paso
Aquí $a = 1$, $b = -4$ y $c = 1$. Lo de dentro de la raíz:
$$\left(-4\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1$$
Calculamos.
$$16 - 4$$
No es un cuadrado perfecto, así que las soluciones serán irracionales.
$$12$$
Con el signo más:
$$\frac{4 + \sqrt{12}}{2}$$
Simplificamos el radical: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
$$\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}$$
Dividimos cada término del numerador entre 2.
$$2 + \sqrt{3}$$
Con el signo menos, igual:
$$\frac{4 - \sqrt{12}}{2}$$
Resultado simplificado.
$$2 - \sqrt{3}$$
Las soluciones exactas son $2 + \sqrt{3}$ y $2 - \sqrt{3}$. Si hace falta un número para medir, se aproximan al final: cerca de $3{,}73$ y de $0{,}27$.
Respuesta: $x = 2 + \sqrt{3}$ o $x = 2 - \sqrt{3}$.
Práctica
¿Cuál es el conjunto solución de $x^{2} - 5x + 6 = 0$?
Dos números con producto 6 y suma −5 son −2 y −3: (x − 2)(x − 3) = 0, así que x = 2 o x = 3. Las soluciones tienen el signo contrario al de los números de los factores.
¿Cuál es el conjunto solución de $x^{2} = 6x$?
x² − 6x = 0, x(x − 6) = 0, así que x = 0 o x = 6. Si se divide entre x se pierde la solución x = 0.
¿Cuál es el conjunto solución de $x^{2} - 49 = 0$?
x² = 49, así que x = 7 o x = −7: los dos tienen cuadrado 49. Dividir 49 entre 2 confunde elevar al cuadrado con multiplicar por 2.
¿Cuál es la solución positiva de la ecuación $4x^{2} - 100$ = 0?
4x² = 100, x² = 25 y x = ±5. La solución positiva es 5; la otra es −5.
¿Cuál es el conjunto solución de $\left(x - 2\right)^{2} = 25$?
x − 2 = 5 o x − 2 = −5, así que x = 7 o x = −3. Sin el signo menos se pierde −3; y sumar 2 a 25 sin sacar la raíz no resuelve nada.
Resuelve $2x^{2} + 5x - 3 = 0$ con la fórmula general. ¿Cuál es el conjunto solución?
a = 2, b = 5, c = −3. Dentro de la raíz: 25 + 24 = 49. x = (−5 ± 7)/4, que da 1/2 y −3. Si se toma +5 en lugar de −b salen los signos contrarios, y si se divide entre 2 en lugar de 2a = 4 sale 1 y −6.
Resuelve $x^{2} - 2x - 2 = 0$ con la fórmula general. ¿Cuál es el conjunto solución?
Dentro de la raíz: (−2)² − 4 · 1 · (−2) = 4 + 8 = 12. x = (2 ± √12)/2 = (2 ± 2√3)/2 = 1 ± √3. El 2 del denominador divide a todo el numerador, también a la raíz.
Marca todas las soluciones de x² + x − 20 = 0.
Marca todas las que apliquen.
(x + 5)(x − 4) = 0, así que x = −5 o x = 4. Se puede comprobar: 16 + 4 − 20 = 0 y 25 − 5 − 20 = 0.
¿Verdadero o falso? x = −3 es una solución de x² + 3x = 0.
(−3)² + 3 · (−3) = 9 − 9 = 0. La ecuación es x(x + 3) = 0, con soluciones 0 y −3.
¿Cuál es la mayor de las soluciones de x(x − 3) = 10?
Primero la forma general: x² − 3x − 10 = 0, que se factoriza como (x − 5)(x + 2) = 0. Las soluciones son 5 y −2. Responder x = 10 es usar el producto nulo con un lado que no es cero.
¿Qué método es el más corto para resolver 5x² = 80?
No hay término en x (b = 0), así que se despeja: x² = 16 y x = ±4. La fórmula general también sirve, pero es más larga.
Reto
Une cada cuenta de la fórmula general con su resultado.
Calcula la raíz primero y luego divide todo el numerador.
Reto
Abre el candado de las ecuaciones.
Cada respuesta es una cifra del código.
Cierre
En resumen
Antes de resolver, la ecuación se lleva a la forma general ax² + bx + c = 0.
Si el trinomio se factoriza, cada factor igualado a cero da una solución; esto solo vale cuando el otro lado es cero.
Si no hay término en x, se despeja x² y se saca raíz cuadrada con sus dos signos.
La fórmula general x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) resuelve cualquier ecuación cuadrática que tenga soluciones reales.
Las soluciones son las abscisas de los cortes de la parábola y = ax² + bx + c con el eje x.
Vocabulario
- Ecuación cuadrática
Ecuación que se puede escribir como ax² + bx + c = 0, con a distinto de cero.
- Forma general
La ecuación cuadrática escrita con todos los términos a un lado, ordenados, e igualada a cero.
- Raíces o soluciones
Los valores de x que hacen verdadera la ecuación. Son las abscisas de los cortes de la parábola y = ax² + bx + c con el eje x.
- Fórmula general
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a): da las soluciones reales de cualquier ecuación cuadrática que las tenga.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre la gráfica de y = x² − 4x + 1 y pregunte dónde corta al eje x. Deje que intenten factorizar y vean que no se puede con enteros.
- Explicación · 20 min — Forma general, los tres métodos con un ejemplo cada uno y el cuadro de cuándo conviene cada método. Insista en comprobar las soluciones.
- Práctica · 15 min — Preguntas en parejas: antes de resolver, cada pareja dice qué método va a usar y por qué. El dominó y el candado se pueden hacer en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe una ecuación que se resuelva mejor con cada uno de los tres métodos.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué no se puede dividir entre x en x² = 7x?
- Si x² = 25, ¿cuántos números cumplen la ecuación? ¿Y si x² = 0?
- ¿Cómo se ve en la gráfica que una ecuación cuadrática tiene dos soluciones?
Errores típicos
- Dividir entre x y perder la solución x = 0. Pida comprobar x = 0 en la ecuación original y pregunte por qué no apareció.
- Olvidar la solución negativa al sacar raíz cuadrada. Pregunte siempre «¿qué otro número tiene ese mismo cuadrado?» y compruebe los dos.
- Usar el producto nulo cuando el otro lado no es cero, como en x(x − 3) = 10. Pruebe x = 10 en la ecuación para mostrar que no la cumple, y pase a la forma general.
- En la fórmula general, tomar b en lugar de −b o dividir entre 2a solo la raíz. Pida escribir a, b y c con su signo antes de reemplazar, y trazar la raya de fracción debajo de todo el numerador.
Tarea sugerida
Resolver x² − 9x + 20 = 0, 2x² = 50, x² + 6x = 0 y x² − 6x + 4 = 0, diciendo antes qué método conviene para cada una, y comprobar las soluciones.