El discriminante y los problemas cuadráticos
Lo que vas a aprender
- Calcular el discriminante de una ecuación cuadrática escrita en forma general.
- Decidir, por el signo del discriminante, si una ecuación cuadrática tiene dos, una o ninguna solución real.
- Plantear y resolver una ecuación cuadrática a partir de un problema de áreas o de números.
- Descartar las soluciones de la ecuación que no tienen sentido en el problema y justificar por qué.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Imagina que quieres cercar una huerta rectangular con un área fija, o que un compañero te reta a adivinar un número a partir de una pista con su cuadrado. Muchas situaciones así terminan en una ecuación cuadrática. Antes de lanzarte a resolverla conviene responder una pregunta más sencilla: ¿esta ecuación tiene solución? Hay ecuaciones cuadráticas con dos soluciones, otras con una sola y otras sin ninguna solución real, y un solo número, el discriminante, te lo dice sin hacer toda la cuenta.
La segunda parte de la lección trata de lo que pasa después de resolver. La ecuación no sabe que $x$ es el ancho de una huerta: te puede dar un ancho negativo. Decidir qué soluciones sirven y cuáles se descartan es parte del trabajo, y se justifica.
Antes de empezar necesitas la fórmula general de la ecuación cuadrática y saber pasar una ecuación a la forma $ax^2 + bx + c = 0$.
Explicación
El número que está debajo de la raíz
La fórmula general resuelve cualquier ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ con $a \neq 0$:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
Fíjate en la parte que está dentro de la raíz. Se llama discriminante y se escribe con la letra griega delta:
$$\Delta = b^2 - 4ac$$
El nombre viene de discriminar, que quiere decir distinguir: el discriminante distingue entre tres casos, según su signo.
- Si $\Delta > 0$, la raíz $\sqrt{\Delta}$ es un número real positivo. Al sumarla y al restarla salen dos soluciones reales distintas. Si además los coeficientes son enteros y $\Delta$ es un cuadrado perfecto, las soluciones son racionales y la ecuación también se puede factorizar.
- Si $\Delta = 0$, la raíz vale cero y el $\pm$ no cambia nada: hay una sola solución, $x = -\dfrac{b}{2a}$. Se dice que es una solución doble.
- Si $\Delta < 0$, habría que sacar la raíz cuadrada de un número negativo, y ningún número real elevado al cuadrado da un negativo. La ecuación no tiene solución real.
Hay una manera de verlo en la gráfica. Las soluciones de $ax^2 + bx + c = 0$ son los valores de $x$ donde la parábola $y = ax^2 + bx + c$ corta el eje $x$, porque ahí $y$ vale cero. Una parábola puede cortar el eje dos veces, tocarlo en su vértice o quedarse toda por encima (o toda por debajo) de él.
Tres cuidados al calcularlo
- Primero la forma general. Si la ecuación es $x^2 = 5x - 6$, los coeficientes no son 1, 5 y −6: hay que pasar todo a un lado, $x^2 - 5x + 6 = 0$, y entonces $b = -5$ y $c = 6$.
- El signo de $b$ no importa en $b^2$, pero hay que escribirlo con paréntesis: $(-5)^2 = 25$. Escribir $-5^2$ da $-25$, que es otro número.
- El signo de $c$ sí importa en $-4ac$. Si $a$ y $c$ tienen signos contrarios, $-4ac$ es positivo y se suma.
Tres parábolas con el mismo eje de simetría. La de abajo corta el eje x dos veces (Δ > 0), la del medio lo toca en su vértice (Δ = 0) y la de arriba no lo toca (Δ < 0).
Sube la parábola y = (x − 2)² + k con k. Con k = −4 corta el eje x dos veces (Δ > 0); con k = 0 lo toca solo en x = 2 (Δ = 0); con k = 3 ya no lo toca (Δ < 0).
Ejemplo resuelto
Empezar por el discriminante
Resuelve $2x^2 + 3x - 2 = 0$ empezando por el discriminante.
Ver la solución paso a paso
Los coeficientes son $a = 2$, $b = 3$ y $c = -2$. Calculamos el discriminante:
$$3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot \left(-2\right) = 25$$
Como $\Delta = 25 > 0$, hay dos soluciones reales, y como $\sqrt{25} = 5$ es exacta, serán racionales. Con el signo $+$ de la fórmula sale $\tfrac{2}{4}$, que simplificado es $\tfrac{1}{2}$:
$$\frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4}$$
Con el signo $-$:
$$\frac{-3 - 5}{4} = -2$$
Comprobamos la primera en la ecuación original: $2\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 + 3\cdot\tfrac{1}{2} - 2$ es lo mismo que
$$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2 = 0$$
Respuesta: $x = \tfrac{1}{2}$ o $x = -2$.
Ejemplo resuelto
Decidir sin resolver
¿Cuántas soluciones reales tienen $9x^2 - 12x + 4 = 0$ y $x^2 - 3x + 5 = 0$?
Ver la solución paso a paso
En la primera, $a = 9$, $b = -12$ y $c = 4$:
$$\left(-12\right)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 0$$
El discriminante es cero: hay una sola solución real, la doble, $x = -\dfrac{b}{2a}$:
$$\frac{12}{2 \cdot 9} = \frac{2}{3}$$
En la segunda, $a = 1$, $b = -3$ y $c = 5$:
$$\left(-3\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = -11$$
El discriminante es negativo. La fórmula pediría $\sqrt{-11}$, que no es un número real, así que esta ecuación no tiene solución real: ningún número real puesto en lugar de $x$ la hace verdadera.
Respuesta: La primera tiene una solución real ($x = \tfrac{2}{3}$); la segunda, ninguna.
Ejemplo resuelto
Un problema de áreas
Una huerta rectangular tiene 4 m más de largo que de ancho, y su área es de 60 m². ¿Cuánto mide cada lado?
Ver la solución paso a paso
Llamamos $x$ al ancho, en metros. El largo es $x + 4$, y el área es el ancho por el largo:
$$x\left(x + 4\right) = 60$$
Pasamos todo a un lado para tener la forma general:
$$x^{2} + 4x - 60 = 0$$
Como $a$ y $c$ tienen signos contrarios, el discriminante es positivo. Además es un cuadrado perfecto:
$$4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(-60\right) = 256$$
Con $\sqrt{256} = 16$, la fórmula general da dos valores:
$$\frac{-4 + 16}{2} = 6$$
y
$$\frac{-4 - 16}{2} = -10$$
Los dos son soluciones de la ecuación, pero un ancho de $-10$ metros no existe, así que descartamos $-10$. El ancho mide 6 m y el largo, $6 + 4 = 10$ m. Comprobamos el área:
$$6 \cdot 10 = 60$$
Respuesta: El ancho mide 6 m y el largo, 10 m.
Ejemplo resuelto
Un problema de números
La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es 85. ¿Cuáles son esos números?
Ver la solución paso a paso
Si el menor es $x$, el siguiente es $x + 1$:
$$x^{2} + \left(x + 1\right)^{2} = 85$$
Desarrollamos el cuadrado del binomio y pasamos todo a un lado:
$$2x^{2} + 2x - 84 = 0$$
Todos los coeficientes son pares; dividimos entre 2 para trabajar con números más pequeños. La ecuación queda equivalente:
$$x^{2} + x - 42 = 0$$
El discriminante:
$$1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(-42\right) = 169$$
Con $\sqrt{169} = 13$ la fórmula da $x = \dfrac{-1 \pm 13}{2}$, es decir:
$$\frac{-1 + 13}{2} = 6$$
o bien
$$\frac{-1 - 13}{2} = -7$$
Ojo: $x = -7$ sí cumple la ecuación. Daría la pareja $-7$ y $-6$, cuyos cuadrados también suman 85:
$$\left(-7\right)^{2} + \left(-6\right)^{2} = 85$$
Pero el problema pide números naturales, y $-7$ no lo es: cumple la ecuación, no el enunciado. Nos quedamos con 6 y su consecutivo, 7, y comprobamos:
$$6^{2} + 7^{2} = 85$$
Respuesta: Los números son 6 y 7.
De la situación a la ecuación, y de vuelta
En los dos últimos ejemplos se repite el mismo camino. Te sirve como lista de control para cualquier problema que termine en una ecuación cuadrática:
- Nombra la incógnita y escribe qué representa y en qué unidades: «$x$ es el ancho, en metros».
- Escribe las otras cantidades en función de $x$: el largo, el número siguiente, la edad dentro de unos años.
- Plantea la ecuación con la condición del enunciado (el área, la suma, el producto).
- Pásala a la forma general y calcula el discriminante. Si es negativo, el problema no tiene solución, y eso también es una respuesta: quiere decir que la situación es imposible con esos datos.
- Resuelve con la fórmula general o, si se ve fácil, factorizando.
- Vuelve al enunciado. Cada solución de la ecuación se revisa: una longitud o un área no pueden ser negativas ni cero, una cantidad de personas tiene que ser un número natural, una edad no puede ser negativa. Lo que no cumple se descarta, diciendo por qué.
- Responde con una frase y con unidades, y comprueba el resultado en el enunciado, no solo en la ecuación.
El paso 6 es el que más se olvida. Una solución negativa no es un error de cálculo: la ecuación es correcta y tiene esa solución. Lo que pasa es que la ecuación describe más situaciones que la tuya. Y no siempre se descarta algo: si el problema hubiera pedido dos números enteros consecutivos en lugar de naturales, $-7$ y $-6$ también serían una respuesta válida.
Práctica
¿Cuánto vale el discriminante de la ecuación $x^{2} - 4x + 5$ = 0?
Δ = (−4)² − 4·1·5 = 16 − 20 = −4. Es negativo, así que esta ecuación no tiene solución real.
El discriminante de la ecuación $2x^{2} - 3x - 5$ = 0 es:
Δ = (−3)² − 4·2·(−5) = 9 + 40 = 49. Si te dio −31, olvidaste que c es negativo; si te dio 31, escribiste −3² en lugar de (−3)².
¿Cuál es el conjunto solución, en los números reales, de $x^{2} + 2x + 5 = 0$?
Δ = 2² − 4·1·5 = 4 − 20 = −16 < 0. No hay ningún número real cuyo cuadrado sea −16, así que la ecuación no tiene solución real.
¿Para qué valor de k la ecuación $x^{2} + 6x + k$ = 0 tiene una sola solución real?
Una sola solución quiere decir Δ = 0: 6² − 4·1·k = 0, o sea 36 = 4k y k = 9. Comprueba: x² + 6x + 9 = (x + 3)², que solo se anula en x = −3.
Un rectángulo tiene 2 cm más de largo que de ancho, y su área es de 48 cm². Si x es el ancho, el problema lleva a $x\left(x + 2\right) = 48$. Marca todos los valores que son solución de esa ecuación.
Marca todas las que apliquen.
6·8 = 48 y (−8)·(−6) = 48: los dos cumplen la ecuación. Pero solo 6 sirve como ancho; el rectángulo mide 6 cm por 8 cm.
Un lote rectangular tiene 5 m más de largo que de ancho, y su área es de 84 m². ¿Cuánto mide el ancho, en metros?
x(x + 5) = 84 lleva a x² + 5x − 84 = 0, con Δ = 25 + 336 = 361 y √361 = 19. Las soluciones son 7 y −12; el ancho no puede ser negativo, así que mide 7 m (y el largo, 12 m).
El producto de dos números naturales consecutivos es 156. ¿Cuál es el menor de los dos?
x(x + 1) = 156 lleva a x² + x − 156 = 0, con Δ = 1 + 624 = 625 y √625 = 25. Las soluciones son 12 y −13; como se piden naturales, el menor es 12 (y 12·13 = 156).
Si a un número positivo le sumas su cuadrado, obtienes 90. ¿Cuál es el número?
x² + x = 90 lleva a x² + x − 90 = 0, con Δ = 1 + 360 = 361. Las soluciones son 9 y −10, y el enunciado pide un número positivo: 9 + 81 = 90.
Si al lado de un cuadrado se le suman 3 cm, el área del cuadrado nuevo es de 64 cm². ¿Cuánto mide el lado del cuadrado original, en centímetros?
(x + 3)² = 64 da x + 3 = 8 o x + 3 = −8, es decir, x = 5 o x = −11. Un lado no puede medir −11 cm, así que mide 5 cm. Si respondiste 8, ese es el lado del cuadrado nuevo.
Al resolver un problema sobre la edad de una persona, la ecuación da dos soluciones: 9 y −4. ¿Qué haces?
La ecuación está bien y tiene dos soluciones, pero solo 9 tiene sentido como edad. Una solución negativa no indica un error de cálculo: se descarta por el contexto.
La gráfica de una parábola de la forma y = ax² + bx + c queda toda por encima del eje x, sin tocarlo. ¿Qué puedes asegurar de la ecuación ax² + bx + c = 0?
Las soluciones de la ecuación son los cortes de la parábola con el eje x. Si no hay cortes, no hay soluciones reales, y eso pasa exactamente cuando Δ < 0.
Reto
Completa el razonamiento.
Elige en cada hueco el número correcto. Calcula primero el discriminante.
Reto
Abre el candado con cuatro dígitos.
Cada pista da un dígito del 0 al 9. Escríbelos en orden para abrir el candado.
Cierre
En resumen
El discriminante de ax² + bx + c = 0 es Δ = b² − 4ac, el número que va dentro de la raíz en la fórmula general.
Si Δ > 0 hay dos soluciones reales; si Δ = 0, una sola (doble); si Δ < 0, ninguna solución real.
Antes de calcular Δ hay que escribir la ecuación en forma general y cuidar los signos de b y de c.
Para resolver un problema se nombra la incógnita, se plantea la ecuación, se resuelve y se vuelve al enunciado.
Una solución de la ecuación que no tiene sentido en el problema (una longitud negativa, un número que debía ser natural y no lo es) se descarta, diciendo por qué.
Vocabulario
- Discriminante
El número Δ = b² − 4ac de la ecuación ax² + bx + c = 0. Su signo dice cuántas soluciones reales tiene la ecuación.
- Forma general
La ecuación cuadrática escrita como ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0 y todos los términos en el mismo lado.
- Solución doble
La única solución de una ecuación cuadrática cuyo discriminante es cero. La parábola toca el eje x en un solo punto.
- Solución válida
Una solución de la ecuación que, además, cumple las condiciones del problema: una longitud positiva, un número natural, una edad posible.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Escriba en el tablero x² + 4 = 0 y pregunte qué número cumple la ecuación. Deje que lo intenten antes de nombrar el discriminante.
- Explicación · 15 min — El discriminante y sus tres casos con la figura de las tres parábolas; los dos primeros ejemplos en el tablero.
- Problemas · 10 min — Los ejemplos de la huerta y de los números consecutivos, insistiendo en el paso de volver al enunciado.
- Práctica · 12 min — Preguntas individuales; los huecos y el candado en parejas.
- Cierre · 3 min — Que cada estudiante invente una ecuación cuadrática sin solución real y la intercambie con un compañero para comprobarla.
Preguntas para el salón
- ¿Puede una ecuación cuadrática tener exactamente tres soluciones? ¿Por qué no?
- Si a y c tienen signos contrarios, ¿qué se puede decir del discriminante sin calcularlo?
- Un problema de áreas dio un ancho de −5. ¿Es un error de cálculo? ¿Qué se hace con ese valor?
Errores típicos
- Tomar los coeficientes sin pasar la ecuación a la forma general. Pida que antes de cualquier cálculo escriban la ecuación con un cero a la derecha y encierren a, b y c.
- Escribir −b² o −5² en lugar de (−5)². Compare en la calculadora −5² con (−5)² y pida que siempre pongan b entre paréntesis.
- Olvidar el signo de c en −4ac. Haga calcular el producto 4ac por separado, con su signo, antes de restarlo.
- Dar como respuesta las dos soluciones de la ecuación sin revisar el contexto. Exija que la respuesta final sea una frase con unidades, y que cada solución descartada lleve su razón.
Tarea sugerida
Calcular el discriminante de x² − 10x + 25 = 0, 3x² + x + 2 = 0 y x² − x − 20 = 0 y decir cuántas soluciones tiene cada una; luego plantear y resolver: un rectángulo tiene 3 cm más de largo que de ancho y su área es de 70 cm².