Sucesiones y su término general
Lo que vas a aprender
- Reconocer el patrón de una sucesión a partir de sus primeros términos y escribir el término siguiente.
- Escribir el término general de una sucesión sencilla y usarlo para calcular cualquier término.
- Averiguar qué lugar ocupa un número en una sucesión resolviendo una ecuación.
- Formar una sucesión por recurrencia, como la de Fibonacci, y proponer y comprobar conjeturas sobre ella.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Piensa en una fila de mesas cuadradas que se juntan para una reunión: con una mesa se sientan 4 personas, con dos mesas 6, con tres mesas 8. ¿Cuántas personas caben con 30 mesas? Podrías dibujar las 30 mesas y contar, pero hay un camino más corto: descubrir la regla que siguen los números y escribirla como una fórmula.
Encontrar patrones, describirlos con símbolos y comprobar si de verdad se cumplen es una de las formas más poderosas de pensar en matemáticas. Con una fórmula calculas el término 30 o el término 1.000 igual de rápido, y puedes comparar dos sucesiones para saber cuál crece más.
Antes de empezar necesitas saber calcular el valor de una expresión como $3n + 2$ cuando $n$ toma un valor, y resolver una ecuación lineal sencilla.
Explicación
Qué es una sucesión
Una sucesión es una lista de números en un orden determinado. Cada número de la lista es un término, y lo que importa no es solo su valor sino también su lugar. Por eso los términos se nombran con una letra y un subíndice que indica el lugar:
$$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ \ldots,\ a_n,\ \ldots$$
En la sucesión $5;\ 8;\ 11;\ 14;\ \ldots$, el primer término es $a_1 = 5$, el segundo es $a_2 = 8$ y el cuarto es $a_4 = 14$. Los puntos suspensivos dicen que la lista sigue sin terminar. (En este curso separamos los términos con punto y coma, porque la coma ya se usa para los decimales.)
Dos maneras de describir una sucesión
Con el término general. Es una fórmula que da cada término a partir de su lugar $n$. Si $a_n = 3n + 2$, para conocer el término 50 basta reemplazar $n$ por 50, sin calcular los 49 anteriores. El término general responde también la pregunta contraria: ¿en qué lugar aparece un número dado? Para eso se iguala la fórmula a ese número y se resuelve la ecuación. Si la solución no es un número natural, el número no está en la sucesión.
Por recurrencia. Es una regla que calcula cada término a partir de los anteriores. La más famosa es la de Fibonacci: los dos primeros términos son 1 y 1, y cada término siguiente es la suma de los dos anteriores.
$$1;\ 1;\ 2;\ 3;\ 5;\ 8;\ 13;\ 21;\ \ldots \qquad a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$$
Con una recurrencia, para llegar al término 20 hay que pasar por todos los anteriores.
Cómo encontrar el patrón
No hay una receta única, pero estas preguntas ayudan casi siempre:
- ¿Cuánto cambia de un término al siguiente? Resta cada término del siguiente. Si la diferencia es siempre la misma, digamos $d$, compara la sucesión con la tabla del $d$ ($d\cdot n$) y mira cuánto le falta o le sobra a cada término. Así salen fórmulas como $3n + 2$. Estas sucesiones se estudian a fondo en la lección siguiente.
- Si las diferencias cambian, ¿se parecen a los cuadrados? Compara con $1;\ 4;\ 9;\ 16;\ 25;\ \ldots$, que es $n^2$.
- ¿Se multiplica siempre por el mismo número? Compara con las potencias, como $2;\ 4;\ 8;\ 16;\ \ldots$, que es $2^n$.
- ¿Cada término depende de los dos anteriores? Entonces es una recurrencia.
Conjeturar y comprobar
Una fórmula encontrada mirando unos pocos términos es una conjetura: una afirmación que parece cierta, pero que todavía hay que comprobar. Se comprueba con todos los términos que conoces, no solo con uno. Y cuidado: unos pocos términos no bastan para fijar una sucesión. Después de $2;\ 4;\ 8$ puede venir 16 (si se multiplica por 2) o 14 (si las diferencias son $2,\ 4,\ 6$). Por eso, cuando describas un patrón, di siempre qué regla estás suponiendo.
Los términos de aₙ = 3n + 2 como puntos (n; aₙ). Quedan alineados porque, de un lugar al siguiente, el término siempre aumenta 3.
Ejemplo resuelto
Del patrón a la fórmula
Una figura se arma con fichas: la figura 1 tiene 5 fichas, la 2 tiene 8, la 3 tiene 11 y la 4 tiene 14. ¿Cuántas fichas tiene la figura 50? ¿Qué figura tiene 200 fichas?
Ver la solución paso a paso
De una figura a la siguiente se agregan siempre 3 fichas. Comparamos con la tabla del 3 ($3;\ 6;\ 9;\ 12$): cada término tiene 2 más. La conjetura es $a_n = 3n + 2$. La comprobamos con el cuarto término:
$$3 \cdot 4 + 2 = 14$$
También se cumple con los tres primeros, $n = 1,\ 2,\ 3$:
$$\left(3 \cdot 1 + 2;\ 3 \cdot 2 + 2;\ 3 \cdot 3 + 2\right) = \left(5;\ 8;\ 11\right)$$
Ahora calculamos el término 50:
$$3 \cdot 50 + 2$$
$152$
Para saber qué figura tiene 200 fichas, igualamos el término general a 200, con $n$ como incógnita:
$$3n + 2 = 200$$
Restamos 2:
$$3n = 198$$
Y dividimos entre 3. Como sale un número natural, 200 sí es un término:
$$n = 66$$
Respuesta: La figura 50 tiene 152 fichas, y la figura 66 tiene 200.
Ejemplo resuelto
Cuando la diferencia no es constante
Encuentra el término general de $2;\ 5;\ 10;\ 17;\ 26;\ \ldots$ y calcula el término 10.
Ver la solución paso a paso
Las diferencias son $3,\ 5,\ 7,\ 9$: no son iguales, así que no basta con una tabla de multiplicar. Comparamos con los cuadrados $1;\ 4;\ 9;\ 16;\ 25$: cada término tiene 1 más que el cuadrado de su lugar. La conjetura es $a_n = n^2 + 1$. La comprobamos con el quinto término:
$$5^{2} + 1 = 26$$
Y con el cuarto: $4^{2} + 1 = 17$
Con la fórmula, el término 10 es:
$$10^{2} + 1$$
$101$
Respuesta: $a_n = n^2 + 1$, y el término 10 es 101.
Ejemplo resuelto
La espiral de cuadrados
Se dibujan dos cuadrados de 2 cm de lado, uno junto al otro. Luego, cada cuadrado nuevo se pega al rectángulo que ya hay, por su lado más largo, de modo que su lado es la suma de los lados de los dos cuadrados anteriores. ¿Cuánto miden los lados de los cuadrados? ¿Qué pasa con sus áreas?
Ver la solución paso a paso
Los lados forman una sucesión por recurrencia, como la de Fibonacci pero empezando en 2 y 2. El tercer cuadrado mide:
$$2 + 2 = 4$$
el cuarto,
$$2 + 4 = 6$$
el quinto,
$$4 + 6 = 10$$
y el sexto,
$$6 + 10 = 16$$
Con los cinco primeros cuadrados se forma un rectángulo de 10 cm por 16 cm (mira la figura). Su área tiene que ser la suma de las áreas de los cuadrados que lo forman, y así es:
$$2^{2} + 2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + 10^{2} = 10 \cdot 16$$
Esto sugiere una conjetura: la suma de las áreas de los cuadrados es el área del rectángulo que forman: el lado del último cuadrado por el lado del siguiente, que es la suma de los dos últimos. La comprobamos con un cuadrado más, el de lado 16, que forma un rectángulo de 16 por 26 (sigue siendo una conjetura, aunque cada vez más creíble):
$$2^{2} + 2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + 10^{2} + 16^{2} = 16 \cdot 26$$
Respuesta: Los lados son 2; 2; 4; 6; 10; 16; …, y la suma de las áreas es el lado del último cuadrado por el lado del siguiente (10 · 16, luego 16 · 26).
La espiral de cuadrados del ejemplo: lados 2, 2, 4, 6 y 10. Cada cuadrito de la cuadrícula mide 1 cm de lado; juntos forman un rectángulo de 10 por 16. Un cuarto de circunferencia en cada cuadrado dibuja la espiral.
Práctica
En la sucesión de término general aₙ = $4n - 3$, ¿cuánto vale el término número 12?
Reemplazamos n por 12: 4·12 − 3 = 48 − 3 = 45.
¿Cuál es el término general de la sucesión 7; 12; 17; 22; 27; …?
La diferencia es siempre 5, así que comparamos con la tabla del 5 (5; 10; 15; …): cada término tiene 2 más. Con n = 1 da 7, con n = 2 da 12. La opción 5n + 7 empieza en 12, no en 7.
Observa la sucesión 3; 6; 11; 18; 27; … ¿Cuál es su término número 15?
Las diferencias son 3, 5, 7, 9: no son constantes. Comparando con los cuadrados (1; 4; 9; 16; 25), cada término tiene 2 más, así que aₙ = n² + 2 y a₁₅ = 225 + 2 = 227.
¿En qué lugar de la sucesión 2; 6; 10; 14; … aparece el número 150?
El término general es aₙ = 4n − 2. Resolvemos 4n − 2 = 150: 4n = 152 y n = 38. Si te dio 37, usaste 4n + 2.
En una sucesión, cada término desde el tercero es la suma de los dos anteriores. Si empieza 2; 5; 7; 12; …, ¿cuál es el séptimo término?
Seguimos la regla: 7 + 12 = 19 (quinto), 12 + 19 = 31 (sexto) y 19 + 31 = 50 (séptimo). 31 es el sexto, no el séptimo.
En la sucesión de Fibonacci, 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; …, ¿es verdad que $1^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 5^{2} + 8^{2} = 8 \cdot 13$?
1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 = 104 y 8·13 = 104. Es la misma conjetura de la espiral: la suma de los cuadrados es el último término sumado (8) por el siguiente de la sucesión (13).
La sucesión 1; 4; 9; 16; 25; … está formada por los cuadrados de los números naturales. Marca todos los números que son términos de esa sucesión.
Marca todas las que apliquen.
49 = 7², 100 = 10² y 64 = 8² son términos (los lugares 7, 10 y 8). 50 está entre 7² = 49 y 8² = 64, y 80 entre 8² = 64 y 9² = 81: no son cuadrados de ningún natural.
Con palillos se arma una fila de triángulos pegados: 1 triángulo usa 3 palillos, 2 triángulos usan 5 y 3 triángulos usan 7. ¿Cuántos palillos se necesitan para una fila de 20 triángulos?
Cada triángulo nuevo agrega 2 palillos, así que aₙ = 2n + 1 (comprueba: con n = 1 da 3). Para 20 triángulos: 2·20 + 1 = 41. Si respondiste 60, contaste 3 palillos por triángulo, pero los triángulos pegados comparten un lado.
¿Cuál es el quinto término de la sucesión de término general aₙ = $2^{n} - 1$?
Con n = 5: 2⁵ − 1 = 32 − 1 = 31. Si te dio 9, calculaste 2·5 − 1: 2ⁿ es una potencia, no un producto.
La sucesión aₙ = $100 - 7n$ empieza en 93 y va bajando. ¿Cuál es su primer término negativo?
Buscamos el primer n con 100 − 7n < 0, es decir, 7n > 100. Como 7·14 = 98 y 7·15 = 105, es n = 15: a₁₅ = 100 − 105 = −5. El término anterior, a₁₄ = 2, todavía es positivo.
Laura y Pablo ven en el tablero los números 2; 4; 8; … Laura dice que el siguiente es 16 y Pablo dice que es 14. ¿Quién tiene razón?
Si la regla es multiplicar por 2, sigue 16. Si la regla es que las diferencias aumentan de 2 en 2 (2, 4, 6…), sigue 14. Con tres términos las dos conjeturas son válidas; para decidir hace falta la regla.
Reto
¿Cuál no pertenece a la sucesión?
En las rondas 1 y 3 la sucesión es la de los cuadrados (1; 4; 9; 16; …). En la ronda 2 es la de los números primos (2; 3; 5; 7; 11; …). Toca el número que no es término.
Reto
Abre el candado de las sucesiones.
Cada pista da un dígito del 0 al 9. Escríbelos en orden.
Cierre
En resumen
Una sucesión es una lista ordenada de números; el término que ocupa el lugar n se escribe aₙ.
El término general es una fórmula en n que da cualquier término sin calcular los anteriores.
Para saber en qué lugar está un número se iguala el término general a ese número y se resuelve; si n no es natural, el número no está en la sucesión.
En una recurrencia, como la de Fibonacci, cada término se calcula con los anteriores.
Un patrón encontrado con pocos términos es una conjetura: se comprueba con todos los términos conocidos y se dice qué regla se supone.
Vocabulario
- Sucesión
Lista ordenada de números, en la que cada número ocupa un lugar: primero, segundo, tercero…
- Término
Cada uno de los números de una sucesión. El que ocupa el lugar n se escribe aₙ.
- Término general
Fórmula que da el término aₙ a partir de su lugar n, sin necesidad de calcular los anteriores.
- Recurrencia
Regla que calcula cada término a partir de los anteriores, como en la sucesión de Fibonacci, donde cada término es la suma de los dos anteriores.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Dibuje la fila de mesas (4, 6, 8 puestos) y pregunte cuántas personas caben con 30 mesas, sin dejar que dibujen las 30.
- Explicación · 15 min — Término, lugar y término general; las dos maneras de describir una sucesión; los dos primeros ejemplos en el tablero.
- Exploración · 10 min — La espiral de cuadrados: que cada grupo la dibuje en papel cuadriculado y llene una tabla de lado, perímetro y área; luego propongan la conjetura de las áreas.
- Práctica · 12 min — Preguntas individuales; el intruso y el candado en parejas.
- Cierre · 3 min — Que cada estudiante invente una sucesión, escriba sus cuatro primeros términos y le pida a un compañero el término general.
Preguntas para el salón
- ¿Cómo saben si 100 es un término de 5; 8; 11; 14; …? ¿Y 101?
- Si solo conocen tres términos de una sucesión, ¿pueden estar seguros del cuarto?
- ¿Qué ventaja tiene el término general frente a la recurrencia para calcular el término 1.000?
Errores típicos
- Tomar el primer término como la constante de la fórmula (escribir 5n + 7 para 7; 12; 17; …). Pida siempre comprobar la fórmula con n = 1 y n = 2 antes de usarla.
- Confundir 2ⁿ con 2n. Haga una tabla con las dos para n = 1 a 5 y compare cómo crecen.
- Comprobar la conjetura con un solo término. Exija que la fórmula reproduzca todos los términos dados, y muestre el caso 2; 4; 8 con sus dos continuaciones.
- Confundir el lugar n con el valor del término aₙ. Use una tabla de dos filas, lugar y término, y pregunte por separado «¿qué hay en el lugar 5?» y «¿en qué lugar está el 17?».
Tarea sugerida
Encontrar el término general de 4; 9; 14; 19; … y de 0; 3; 8; 15; 24; …; decidir si 99 es término de cada una; y escribir los diez primeros términos de la recurrencia que empieza en 3 y 1 (cada término es la suma de los dos anteriores).