Progresiones aritméticas
Lo que vas a aprender
- Reconocer una progresión aritmética y calcular su diferencia común.
- Escribir el término general aₙ = a₁ + (n − 1)d y usarlo para hallar cualquier término o el lugar de un término.
- Hallar la diferencia y el primer término a partir de dos términos conocidos.
- Calcular la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética y aplicarla en problemas.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Un plan de ahorro en el que cada semana guardas la misma cantidad más que la semana anterior, las sillas de un auditorio que tiene cada fila con dos puestos más que la de adelante, una pila de tubos en la que cada capa tiene uno menos: en todos estos casos los números crecen (o decrecen) siempre en la misma cantidad. Estas sucesiones son las más sencillas y las más frecuentes, y tienen nombre propio: progresiones aritméticas.
Para ellas hay dos fórmulas cortas que te ahorran muchísimo trabajo: una da cualquier término sin escribir los anteriores, y otra suma de una vez muchos términos seguidos.
Antes de empezar necesitas recordar qué es el término general de una sucesión y cómo se resuelve una ecuación lineal.
Explicación
La diferencia común
Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene sumando al anterior siempre el mismo número. Ese número se llama diferencia común y se escribe $d$. Para encontrarlo, resta cualquier término del que le sigue:
$$d = a_{n+1} - a_n$$
En $7;\ 11;\ 15;\ 19;\ \ldots$ la diferencia es $d = 4$. En $20;\ 17;\ 14;\ 11;\ \ldots$ es $d = -3$: también es una progresión aritmética, solo que decreciente. Si $d > 0$ la progresión crece, si $d < 0$ decrece, y si $d = 0$ todos los términos son iguales.
Para saber si una sucesión es aritmética no basta con mirar dos términos: hay que comprobar que todas las restas dan lo mismo. En $2;\ 4;\ 8;\ 16$ las restas son $2,\ 4,\ 8$, así que no es aritmética.
El término general
Para llegar del primer término al segundo se suma $d$ una vez; para llegar al tercero, dos veces; para llegar al décimo, nueve veces. Para llegar al término del lugar $n$ se suma $d$ exactamente $n - 1$ veces. De ahí sale la fórmula del término general:
$$a_n = a_1 + (n - 1)\,d$$
Con ella se resuelven tres tipos de preguntas: hallar un término (se reemplaza $n$), hallar el lugar de un término conocido (se iguala la fórmula a ese número y se despeja $n$; si $n$ no sale natural, el número no está en la progresión) y hallar $d$ o $a_1$ a partir de dos términos conocidos. Para lo último ayuda pensar en saltos: del término 3 al término 8 hay $8 - 3 = 5$ saltos, y cada salto vale $d$.
Si en la fórmula reemplazas $a_1$ y $d$ y simplificas, el término general queda de la forma $a_n = d\,n + b$. Por eso, cuando dibujas los puntos $(n;\ a_n)$, quedan alineados: la diferencia $d$ es la pendiente de esa recta.
La suma de los primeros términos
Para sumar $3 + 7 + 11 + \ldots + 79$ hay un truco. Escribe la suma dos veces, una al derecho y otra al revés, y súmalas término a término: el primero con el último, el segundo con el penúltimo, y así. Todas esas parejas suman lo mismo, $a_1 + a_n$, porque mientras un término sube $d$ el otro baja $d$. Hay $n$ parejas, y como cada término se contó dos veces, se divide entre 2:
$$S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2}$$
Si no conoces el último término, primero lo calculas con el término general. Esta fórmula solo sirve para progresiones aritméticas: en una sucesión como $1;\ 4;\ 9;\ 16$, las parejas no suman lo mismo.
Comparar dos progresiones
Con los términos generales puedes comparar dos progresiones sin escribir largas listas. Supón que en la semana 1 Ana tiene ahorrados 4 mil pesos y cada semana guarda 6 mil más, mientras que Beto en la semana 1 tiene 40 mil y guarda 2 mil por semana. Beto va adelante al principio, pero Ana ahorra más rápido. ¿En qué semana tienen lo mismo? Se igualan los dos términos generales y se resuelve la ecuación en $n$. Después de esa semana, la progresión con mayor diferencia queda siempre por encima: la diferencia común dice cuál crece más rápido.
Dos progresiones aritméticas como puntos (n; aₙ). La de d = 4 (7; 11; 15; …) sube y la de d = −3 (20; 17; 14; …) baja; cada una queda sobre una recta, y la diferencia es la pendiente.
Ejemplo resuelto
El término general y un término lejano
Escribe el término general de $7;\ 11;\ 15;\ 19;\ \ldots$ y calcula el término 30.
Ver la solución paso a paso
Las restas $11 - 7$, $15 - 11$ y $19 - 15$ dan lo mismo, así que es una progresión aritmética con $a_1 = 7$ y diferencia:
$$11 - 7 = 4$$
$15 - 11 = 4$
$19 - 15 = 4$
Reemplazamos en $a_n = a_1 + (n - 1)\,d$:
$$7 + 4 \cdot \left(n - 1\right)$$
y simplificamos:
$$4n + 3$$
Para el término 30 reemplazamos $n = 30$ en la fórmula original:
$$7 + 4 \cdot \left(30 - 1\right)$$
Calculamos:
$$123$$
Y lo comprobamos con la forma simplificada:
$$4 \cdot 30 + 3 = 123$$
Respuesta: $a_n = 4n + 3$, y el término 30 es 123.
Ejemplo resuelto
La progresión a partir de dos términos
En una progresión aritmética, el tercer término es 10 y el octavo es 35. Halla la diferencia, el primer término y el término general.
Ver la solución paso a paso
Del lugar 3 al lugar 8 hay $8 - 3 = 5$ saltos, y en ellos el término aumentó $35 - 10$. Cada salto vale:
$$\frac{35 - 10}{8 - 3}$$
$5$
Del primer término al tercero hay dos saltos, así que retrocedemos dos veces 5:
$$10 - 2 \cdot 5$$
$0$
Con $a_1 = 0$ y $d = 5$ el término general es $a_n = 0 + (n - 1)\cdot 5 = 5n - 5$. Lo comprobamos con el octavo término:
$$5 \cdot 8 - 5 = 35$$
Respuesta: $d = 5$, $a_1 = 0$ y $a_n = 5n - 5$.
Ejemplo resuelto
Contar los términos y sumarlos
Calcula la suma $3 + 7 + 11 + \ldots + 79$.
Ver la solución paso a paso
Es una progresión aritmética con $a_1 = 3$ y $d = 4$. Primero averiguamos cuántos términos hay: el último, 79, ocupa el lugar $n$ que cumple
$$3 + 4 \cdot \left(n - 1\right) = 79$$
Restamos 3:
$$4 \cdot \left(n - 1\right) = 76$$
Dividimos entre 4 y sumamos 1:
$$n = 20$$
Hay 20 términos. Las parejas del truco suman lo mismo; por ejemplo, el segundo con el penúltimo:
$$7 + 75 = 3 + 79$$
Aplicamos la fórmula de la suma:
$$\frac{20 \cdot \left(3 + 79\right)}{2}$$
$820$
Respuesta: La suma es 820.
Ejemplo resuelto
Una progresión que baja
Una pila de tubos tiene 30 tubos en la capa de abajo, y cada capa tiene 3 tubos menos que la de debajo. La capa de arriba tiene 3 tubos. ¿Cuántas capas hay y cuántos tubos en total?
Ver la solución paso a paso
Las capas, de abajo hacia arriba, forman una progresión aritmética con $a_1 = 30$ y $d = -3$. La capa de arriba es la que tiene 3 tubos:
$$30 - 3 \cdot \left(n - 1\right) = 3$$
Restamos 30 a ambos lados:
$$-3 \cdot \left(n - 1\right) = -27$$
Dividimos entre $-3$ y despejamos:
$$n = 10$$
Hay 10 capas. El total de tubos es la suma de los 10 términos:
$$\frac{10 \cdot \left(30 + 3\right)}{2}$$
$165$
Respuesta: Hay 10 capas y 165 tubos.
Práctica
Una progresión aritmética tiene primer término 12 y diferencia 5. ¿Cuál es su término número 40?
a₄₀ = 12 + (40 − 1)·5 = 12 + 195 = 207. Ojo: se suma la diferencia 39 veces, no 40.
¿Cuál es la diferencia común de la progresión 23; 19; 15; 11; …?
d = 19 − 23 = −4, y lo mismo dan 15 − 19 y 11 − 15. Es negativa porque la progresión decrece. 19/23 sería dividir, y eso no da la diferencia.
En una progresión aritmética, el cuarto término es 17 y el noveno es 42. ¿Cuál es la diferencia común?
Del lugar 4 al lugar 9 hay 5 saltos, y el término aumentó 42 − 17 = 25. Cada salto vale 25 ÷ 5 = 5. Si dividiste entre 6, contaste términos en lugar de saltos.
¿Cuántos términos tiene la progresión 6; 13; 20; …; 139?
d = 7. Resolvemos 6 + (n − 1)·7 = 139: (n − 1)·7 = 133, n − 1 = 19 y n = 20. Si respondiste 19, contaste los saltos y no los términos.
¿Cuál de estos números es un término de la progresión 5; 9; 13; 17; …?
aₙ = 5 + (n − 1)·4. Con 101: (101 − 5) ÷ 4 = 24, un número natural, así que 101 es el término 25. Con 100, 102 o 99 la división no es exacta: no son términos.
El primer término de una progresión aritmética es 50 y la diferencia es −6. ¿Cuál es el término número 12?
a₁₂ = 50 + (12 − 1)·(−6) = 50 − 66 = −16. Con diferencia negativa la progresión baja, y llega a valores negativos.
Calcula la suma de los 25 primeros términos de la progresión 4; 7; 10; …
d = 3 y el término 25 es 4 + 24·3 = 76. La suma es 25·(4 + 76) ÷ 2 = 25·80 ÷ 2 = 1000.
¿Cuánto da la suma 1 + 2 + 3 + … + 50?
Es una progresión aritmética con 50 términos, a₁ = 1 y a₅₀ = 50: S = 50·51 ÷ 2 = 1275. Si te dio 2550, olvidaste dividir entre 2.
Un auditorio tiene 20 filas. La primera fila tiene 16 sillas y cada fila tiene 2 sillas más que la anterior. ¿Cuántas sillas tiene el auditorio en total?
La última fila tiene 16 + 19·2 = 54 sillas. El total es 20·(16 + 54) ÷ 2 = 700. 54 es solo la última fila, y 1400 sale de olvidar dividir entre 2.
La primera semana Ana tiene ahorrados 4 mil pesos, la segunda 10 mil, la tercera 16 mil, y así; Beto tiene 40 mil la primera semana, 42 mil la segunda, 44 mil la tercera, y así. ¿En qué semana tienen ahorrado lo mismo?
Ana: aₙ = 6n − 2. Beto: bₙ = 2n + 38. Igualamos: 6n − 2 = 2n + 38, 4n = 40 y n = 10. En la semana 10 los dos tienen 58 mil pesos; 58 es lo ahorrado, no la semana.
La diferencia común de una progresión aritmética es negativa. ¿Qué puedes asegurar?
Si d < 0, cada término se obtiene restando al anterior, así que la progresión baja. Los términos pueden ser positivos al principio, como en 20; 17; 14; …
Reto
Completa la progresión.
Elige en cada hueco la opción correcta. Comprueba tu fórmula con los primeros términos.
Reto
Une cada término general con su forma simplificada.
A la izquierda está la fórmula a₁ + (n − 1)d con los números puestos; a la derecha, la misma fórmula simplificada.
Cierre
En resumen
En una progresión aritmética cada término es el anterior más la diferencia común d = aₙ₊₁ − aₙ.
Si d > 0 la progresión crece; si d < 0, decrece; si d = 0, es constante.
El término general es aₙ = a₁ + (n − 1)d, porque del primer término al del lugar n hay n − 1 saltos.
Con dos términos conocidos se halla d dividiendo lo que aumentó el término entre el número de saltos.
La suma de los n primeros términos es Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.
Vocabulario
- Progresión aritmética
Sucesión en la que cada término se obtiene sumando al anterior un mismo número, la diferencia.
- Diferencia común
El número d que se suma a cada término para obtener el siguiente; d = aₙ₊₁ − aₙ. Puede ser positivo, negativo o cero.
- Término general de una progresión aritmética
La fórmula aₙ = a₁ + (n − 1)d, que da el término del lugar n a partir del primero y de la diferencia.
- Suma de n términos
Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte cuántas sillas hay en un auditorio de 20 filas si la primera tiene 16 y cada fila tiene 2 más. Recoja estrategias sin corregir.
- Explicación · 15 min — Diferencia común, término general con la idea de los saltos, y la suma con el truco de escribirla al derecho y al revés.
- Ejemplos · 10 min — Los cuatro ejemplos en el tablero, pidiendo al grupo que anticipe cada paso.
- Práctica · 12 min — Preguntas individuales; los huecos y el dominó en parejas.
- Cierre · 3 min — Vuelvan a la pregunta del auditorio y resuélvanla con la fórmula.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué en la fórmula aparece n − 1 y no n?
- ¿Puede 0 ser término de una progresión aritmética que empieza en 100? ¿De qué depende?
- ¿Por qué la fórmula de la suma no sirve para 1 + 4 + 9 + 16?
Errores típicos
- Usar n en lugar de n − 1 en el término general. Pida comprobar siempre la fórmula con n = 1: tiene que dar a₁.
- Contar términos en lugar de saltos al hallar d con dos términos. Dibuje los lugares en una recta y cuente las flechas entre ellos.
- Calcular la diferencia restando al revés y perder el signo. Insista en que d es «el siguiente menos el anterior» y en revisar si la progresión sube o baja.
- Olvidar dividir entre 2 en la suma. Vuelva al truco de las dos filas: cada término se sumó dos veces.
Tarea sugerida
Para la progresión 9; 16; 23; …: escribir el término general, calcular el término 50, decidir si 300 es término y sumar los 30 primeros términos. Inventar un problema de ahorro que se resuelva con una progresión aritmética.