Progresiones geométricas

¿Para qué sirve esto?

Doblar una hoja de papel por la mitad una y otra vez, repartir un mensaje en cadena en el que cada persona se lo envía a tres más, o recortar una tira dejando cada vez la mitad de lo que queda: en estas situaciones los números no cambian sumando lo mismo, sino multiplicando por lo mismo. Esas sucesiones son las progresiones geométricas, y pueden crecer muchísimo más rápido que cualquier progresión aritmética, o encogerse hasta casi desaparecer.

Al final de la lección vas a ver algo sorprendente: hay sumas de infinitos números positivos que no crecen sin límite, sino que se acercan a un número fijo.

Antes de empezar necesitas manejar las potencias, incluidas las de una fracción, como $\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \tfrac{1}{8}$, y recordar el término general de una progresión aritmética.

La razón común

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un mismo número $r \neq 0$, llamado razón común, a partir de un primer término también distinto de cero. Para encontrar la razón se divide cualquier término entre el anterior:

$$r = \frac{a_{n+1}}{a_n}$$

En $3;\ 6;\ 12;\ 24;\ \ldots$ la razón es $r = 2$. En $80;\ 40;\ 20;\ 10;\ \ldots$ es $r = \tfrac{1}{2}$. Compara con las progresiones aritméticas: allí se resta para encontrar la diferencia; aquí se divide para encontrar la razón. Y, como antes, hay que comprobar que todos los cocientes dan lo mismo.

El término general

Para pasar del primer término al segundo se multiplica una vez por $r$; para llegar al tercero, dos veces; para llegar al lugar $n$, $n - 1$ veces. Multiplicar $n - 1$ veces por $r$ es multiplicar por la potencia $r^{n-1}$:

$$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$$

Cuidado con el orden de las operaciones: en $3 \cdot 2^{n-1}$ primero se calcula la potencia y después se multiplica por 3. No es lo mismo que $6^{n-1}$.

Crecer, decrecer o alternar

El comportamiento de la progresión depende de la razón (pensemos en un primer término positivo):

• Si $r > 1$, cada término es mayor que el anterior y la progresión crece, cada vez más rápido: $3;\ 6;\ 12;\ 24;\ 48;\ \ldots$
• Si $0 < r < 1$, cada término es una fracción del anterior y la progresión decrece acercándose a cero, sin llegar nunca a él: $80;\ 40;\ 20;\ 10;\ 5;\ \ldots$
• Si $r = 1$, todos los términos son iguales: la progresión es constante.
• Si $r < 0$, los signos se alternan: $5;\ -10;\ 20;\ -40;\ \ldots$ tiene $r = -2$.

Si conoces dos términos, divide el del lugar mayor entre el del lugar menor: entre el lugar 2 y el lugar 5 hay tres multiplicaciones por $r$, así que $a_5 \div a_2 = r^3$.

Sumar infinitos términos

Toma una tira de papel de 1 metro. Corta la mitad y ponla sobre la mesa. De lo que te queda, corta otra vez la mitad y ponla junto a la anterior. Repite. Sobre la mesa vas juntando

$$\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{16} + \cdots$$

Las sumas parciales son $\tfrac{1}{2}$, $\tfrac{3}{4}$, $\tfrac{7}{8}$, $\tfrac{15}{16}$… Cada vez falta menos para completar el metro: lo que falta es justo el pedazo que todavía tienes en la mano, que se reduce a la mitad en cada paso. Ninguna suma con un número finito de términos llega a 1, pero las sumas se acercan a 1 tanto como quieras. Por eso se dice que la suma infinita de esa progresión es 1. Es un proceso infinito: no se termina nunca, y aun así tiene un resultado preciso.

Esto pasa con cualquier progresión geométrica cuya razón cumpla $|r| < 1$, es decir, $-1 < r < 1$: los términos se achican tan rápido que la suma no crece sin límite. Sin demostrarlo, usaremos la fórmula

$$S_\infty = \frac{a_1}{1 - r} \qquad \text{si } |r| < 1$$

Con la tira: $a_1 = \tfrac{1}{2}$ y $r = \tfrac{1}{2}$, así que $S_\infty = \dfrac{1/2}{1 - 1/2} = 1$, como habíamos visto.

Si $|r| \geq 1$, la suma infinita no existe: con $2 + 4 + 8 + \cdots$ las sumas crecen sin parar, y con $1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$ saltan entre 1 y 0 sin acercarse a nada.

En resumen

• En una progresión geométrica cada término es el anterior multiplicado por la razón común r = aₙ₊₁ ÷ aₙ.

• El término general es aₙ = a₁·rⁿ⁻¹, porque del primer término al del lugar n se multiplica n − 1 veces por r.

• Con a₁ positivo, si r > 1 la progresión crece; si 0 < r < 1, decrece hacia cero; si r < 0, los signos se alternan.

• Las sumas parciales de una progresión geométrica con |r| < 1 se acercan a un número fijo, la suma infinita.

• La suma infinita vale a₁/(1 − r) cuando |r| < 1; si |r| ≥ 1, no existe.

Vocabulario

Progresión geométrica

Sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un mismo número distinto de cero, la razón, a partir de un primer término distinto de cero.

Razón común

El número r por el que se multiplica cada término para obtener el siguiente; r = aₙ₊₁ ÷ aₙ.

Suma parcial

La suma de los primeros términos de una sucesión, hasta un lugar determinado.

Suma infinita

El valor al que se acercan las sumas parciales cuando se suman cada vez más términos. En una progresión geométrica existe cuando |r| < 1 y vale a₁/(1 − r).