La función exponencial

¿Para qué sirve esto?

Imagina que mandas un mensaje a un grupo y cada persona que lo recibe lo reenvía a otras dos. Al principio parece poca cosa, pero en pocos pasos el mensaje le ha llegado a cientos de personas. Lo mismo pasa con un cultivo de bacterias en un laboratorio, con el dinero que gana intereses sobre intereses o, al revés, con el precio de un celular que cada año vale una parte de lo que valía el año anterior.

En todas esas situaciones la cantidad no cambia sumando siempre lo mismo, sino multiplicando siempre por lo mismo. Esa forma de cambiar se describe con la función exponencial, y reconocerla te permite predecir qué va a pasar y decidir entre dos opciones que, a primera vista, parecen parecidas.

Antes de empezar necesitas recordar las propiedades de las potencias (en especial que $b^0 = 1$ y que $b^{-n} = \tfrac{1}{b^n}$) y qué es una progresión geométrica.

De sumar a multiplicar

Compara estas dos tablas. En la primera, cada vez que $x$ aumenta en 1, a $y$ se le suma 2. En la segunda, cada vez que $x$ aumenta en 1, $y$ se multiplica por 3.

La primera es una función lineal: las diferencias entre valores seguidos son iguales. La segunda es una función exponencial: los cocientes entre valores seguidos son iguales. Esa es la prueba más rápida para reconocerlas en una tabla: si restas y siempre te da lo mismo, es lineal; si divides y siempre te da lo mismo, es exponencial.

Si ya estudiaste las progresiones geométricas, esto te sonará: los valores de $3^x$ para $x = 0, 1, 2, 3, \ldots$ forman una progresión geométrica de razón 3. La diferencia es que la función no solo existe en los números naturales: también tiene valor en $x = \tfrac{1}{2}$ o en $x = -2$, y su gráfica es una curva continua, no una lista de puntos sueltos.

La forma y = a·bˣ

Una función exponencial se escribe

$$y = a \cdot b^x, \qquad a \neq 0, \quad b > 0, \quad b \neq 1.$$

Cada letra tiene un papel claro:

• $a$ es el valor inicial: cuando $x = 0$, queda $y = a \cdot b^0 = a \cdot 1 = a$. En una situación es la cantidad con la que se empieza.
• $b$ es la base o factor de cambio: cada vez que $x$ aumenta en 1, el valor de $y$ se multiplica por $b$.

¿Por qué se pide $b > 0$ y $b \neq 1$? Si $b = 1$, la función sería $y = a$ todo el tiempo: no cambia nada. Si $b$ fuera negativo, $b^x$ cambiaría de signo a cada paso y ni siquiera tendría sentido para muchos valores de $x$, como $(-4)^{1/2}$.

Cuidado con el orden de las operaciones: en $a \cdot b^x$ primero se calcula la potencia y después se multiplica por $a$. Por eso $5 \cdot 2^3 = 5 \cdot 8$, y no $10^3$.

Crecer o decrecer

La base decide el comportamiento:

• Si $b > 1$, la función crece: cada paso multiplica por más de 1. Es el caso de $y = 2^x$ o de $y = 100 \cdot 1{,}5^x$.
• Si $0 < b < 1$, la función decrece: cada paso conserva solo una parte del valor anterior. Es el caso de $y = \left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ o de $y = 800 \cdot 0{,}9^x$.

Los porcentajes se traducen a una base así. Aumentar un $p\,\%$ en cada paso es multiplicar por $1 + \tfrac{p}{100}$; perder un $p\,\%$ en cada paso es multiplicar por $1 - \tfrac{p}{100}$, porque lo que queda es el resto. Si algo pierde el 20 % de su valor cada año, cada año conserva el 80 %, y su base es $0{,}8$.

Cómo es la gráfica

Mira la figura. Las gráficas de las funciones exponenciales con $a > 0$ tienen rasgos que conviene reconocer a simple vista:

• Cortan el eje $y$ en el punto $(0;\ a)$, el valor inicial.
• Están siempre por encima del eje $x$: una potencia de base positiva nunca da cero ni un número negativo. La curva se acerca cada vez más al eje $x$ por un lado, pero no lo toca nunca.
• Si crecen, lo hacen cada vez más rápido: la curva se va empinando. Si decrecen, cada vez bajan más despacio.

Fíjate también en que $y = \left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ es el reflejo de $y = 2^x$ respecto al eje $y$: lo que una hace hacia la derecha, la otra lo hace hacia la izquierda.

Lineal contra exponencial

Una función lineal que crece suma siempre la misma cantidad; una exponencial que crece multiplica. Al comienzo la lineal puede ir adelante, sobre todo si suma mucho, pero tarde o temprano la exponencial la alcanza y la deja atrás, sin importar cuánto sume la lineal en cada paso. Por eso, cuando debas elegir entre dos propuestas, no basta con mirar los primeros valores: hay que pensar en cuántos pasos va a durar la situación.

Para comparar, arma una tabla con las dos funciones, o dibuja las dos gráficas en el mismo plano y busca dónde se cruzan. Antes del cruce gana una, y después gana la otra. Puede haber más de un cruce, pero desde el último la exponencial que crece queda siempre por encima.

En resumen

• Una función exponencial tiene la forma y = a·bˣ, con b > 0 y b ≠ 1; la variable está en el exponente.

• a es el valor inicial (el valor en x = 0) y b es el factor por el que se multiplica y cada vez que x aumenta en 1.

• Si b > 1 la función crece; si 0 < b < 1 decrece. Perder un p % en cada paso es multiplicar por 1 − p/100.

• En una tabla, la función lineal tiene diferencias iguales y la exponencial tiene cocientes iguales.

• Una exponencial que crece termina superando a cualquier función lineal; para decidir hay que mirar cuántos pasos dura la situación.

Vocabulario

Función exponencial

Función de la forma y = a·bˣ, con a ≠ 0, b > 0 y b ≠ 1, en la que la variable está en el exponente.

Valor inicial

El valor de la función cuando x = 0. En y = a·bˣ es a, porque b⁰ = 1.

Base o factor de cambio

El número b por el que se multiplica el valor de la función cada vez que x aumenta en 1.

Crecimiento exponencial

El que ocurre cuando la base es mayor que 1: en cada paso se multiplica por un número mayor que 1.

Decrecimiento exponencial

El que ocurre cuando la base está entre 0 y 1: en cada paso se conserva solo una parte del valor anterior.