Introducción a los logaritmos
Lo que vas a aprender
- Explicar el logaritmo como el exponente al que hay que elevar la base para obtener un número.
- Pasar de la forma exponencial a la forma logarítmica, y al revés.
- Calcular logaritmos de potencias exactas, incluidos los que dan cero, negativos o fracciones.
- Usar las propiedades del producto, del cociente y de la potencia con logaritmos exactos.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la lección de la función exponencial calculaste cuántas bacterias hay en un cultivo después de cierto número de horas: conocías el tiempo y buscabas la cantidad. Muchas veces la pregunta es la contraria: ¿cuántas horas tienen que pasar para que el cultivo llegue a cierta cantidad? ¿Cuántos años tarda un objeto en valer la mitad? En esas preguntas lo que no conoces es el exponente.
La operación que encuentra el exponente se llama logaritmo. Con ella completas el trío de operaciones que unen una base, un exponente y una potencia, y ganas una herramienta para resolver ecuaciones en las que la incógnita está «arriba».
Antes de empezar necesitas manejar las potencias de exponente entero y racional: $2^{-3} = \tfrac{1}{8}$, $b^0 = 1$ y $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$.
Explicación
Tres preguntas sobre la misma igualdad
Mira la igualdad $2^5 = 32$. Tiene tres números, y con ella se pueden hacer tres preguntas distintas, según cuál falte:
- $2^5 = \ ?$ Falta la potencia. Se resuelve potenciando: da 32.
- $?^5 = 32$. Falta la base. Se resuelve con una raíz: $\sqrt[5]{32} = 2$.
- $2^{?} = 32$. Falta el exponente. Se resuelve con un logaritmo: $\log_2 32 = 5$.
La definición
Si $b > 0$, $b \neq 1$ y $x > 0$, el logaritmo en base $b$ de $x$ es el exponente al que hay que elevar $b$ para obtener $x$:
$$\log_b x = y \quad \Longleftrightarrow \quad b^y = x.$$
Se lee «logaritmo en base $b$ de $x$». Las dos igualdades dicen lo mismo con palabras distintas: la de la izquierda es la forma logarítmica y la de la derecha, la forma exponencial. Pasar de una a otra es la destreza central de esta lección:
| Forma exponencial | Forma logarítmica |
|---|---|
| $2^5 = 32$ | $\log_2 32 = 5$ |
| $10^3 = 1000$ | $\log_{10} 1000 = 3$ |
| $3^{-2} = \tfrac{1}{9}$ | $\log_3 \tfrac{1}{9} = -2$ |
| $9^{1/2} = 3$ | $\log_9 3 = \tfrac{1}{2}$ |
Fíjate en dónde queda cada número: la base sigue siendo la base, el exponente queda solo a un lado del igual y la potencia pasa a ser el argumento del logaritmo.
¿Por qué las condiciones? La base no puede ser 1, porque $1^y = 1$ para cualquier $y$ y no habría un único exponente. La base tiene que ser positiva por la misma razón que en la función exponencial. Y el argumento $x$ tiene que ser positivo, porque una potencia de base positiva nunca da cero ni un número negativo: $\log_2 0$ y $\log_2 (-8)$ no existen.
Logaritmos que salen exactos
Para calcular un logaritmo a mano, se escribe el argumento como una potencia de la base. Si $x = b^n$, entonces $\log_b x = n$. Hay tres casos que conviene tener a la mano:
- $\log_b 1 = 0$, porque $b^0 = 1$.
- $\log_b b = 1$, porque $b^1 = b$.
- $\log_b b^n = n$: el logaritmo «deshace» la potencia.
Un logaritmo puede ser negativo: pasa cuando el argumento está entre 0 y 1, como $\log_2 \tfrac{1}{8} = -3$. También puede ser una fracción, como $\log_9 3 = \tfrac{1}{2}$.
El logaritmo en base 10 se usa tanto que tiene nombre propio, logaritmo decimal, y en la calculadora se escribe $\log x$, sin la base.
Exacto o aproximado
No todos los logaritmos salen exactos. Como $2^3 = 8$ y $2^4 = 16$, y 10 está entre 8 y 16, el número $\log_2 10$ está entre 3 y 4. No es un decimal finito ni periódico: es un número irracional. La calculadora da una aproximación, pero el valor exacto se deja escrito como $\log_2 10$, igual que se deja escrito $\sqrt{2}$.
Propiedades
Como los logaritmos son exponentes, heredan las propiedades de las potencias. Para $M > 0$ y $N > 0$:
- Producto. $\log_b (M \cdot N) = \log_b M + \log_b N$. Viene de $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$: al multiplicar potencias de la misma base, los exponentes se suman.
- Cociente. $\log_b \dfrac{M}{N} = \log_b M - \log_b N$. Viene de $\dfrac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$.
- Potencia. $\log_b M^k = k \cdot \log_b M$. Viene de $(b^m)^k = b^{mk}$.
Comprueba la primera con números: $\log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 32 = 5$, y también $\log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5$.
Cuidado con dos trampas. El logaritmo de un producto es una suma, no un producto: $\log_2 (4 \cdot 8)$ no es $\log_2 4 \cdot \log_2 8$. Y no hay ninguna propiedad para el logaritmo de una suma: $\log_b (M + N)$ no se puede partir.
Ejemplo resuelto
Calcular un logaritmo exacto
Calcula $\log_2 32$.
Ver la solución paso a paso
Calcular $\log_2 32$ es buscar el exponente $x$ que cumple $2^{x} = 32$
Escribimos 32 como potencia de 2: $2^{x} = 2^{5}$
Si las bases son iguales, los exponentes también: $x = 5$
Por lo tanto, $\log_2 32 = 5$. Comprobación: $2^5 = 32$.
Respuesta: $x = 5$
Ejemplo resuelto
Un logaritmo negativo
Calcula $\log_3 \tfrac{1}{9}$.
Ver la solución paso a paso
Buscamos el exponente $x$ que cumple $3^{x} = \frac{1}{9}$
Como $9 = 3^2$, la ecuación queda $3^{x} = \frac{1}{3^{2}}$
Y un cociente $\tfrac{1}{3^2}$ es la potencia de exponente negativo $3^{-2}$, así que $x = -2$
Por lo tanto, $\log_3 \tfrac{1}{9} = -2$. El argumento está entre 0 y 1, y por eso el logaritmo es negativo.
Respuesta: $x = -2$
Ejemplo resuelto
Usar la propiedad del producto
Calcula $\log_2 (16 \cdot 32)$ sin hacer primero la multiplicación.
Ver la solución paso a paso
Escribimos cada factor como potencia de 2: $16 \cdot 32 = 2^{4} \cdot 2^{5}$
Al multiplicar potencias de la misma base, los exponentes se suman: $2^{4} \cdot 2^{5} = 2^{9}$
En lenguaje de logaritmos, eso es $\log_2 (16 \cdot 32) = \log_2 16 + \log_2 32$, es decir:
$$4 + 5$$
Por lo tanto, $\log_2 (16 \cdot 32) = 9$. Comprobación: $16 \cdot 32 = 512 = 2^9$.
$$9$$
Respuesta: $9$
Ejemplo resuelto
¿Cuántas horas tarda el cultivo?
Un cultivo empieza con 500 bacterias y se duplica cada hora, así que a las $t$ horas hay $500 \cdot 2^t$. ¿Cuándo habrá 8000 bacterias?
Ver la solución paso a paso
Planteamos la ecuación $500 \cdot 2^{t} = 8000$
Dividimos los dos lados entre 500: $2^{t} = 16$
Ahora la pregunta es un logaritmo: $t = \log_2 16$. Escribimos 16 como potencia de 2: $2^{t} = 2^{4}$
Los exponentes son iguales: $t = 4$
Habrá 8000 bacterias a las 4 horas. Comprobación: $500 \cdot 2^4 = 500 \cdot 16 = 8000$.
Respuesta: $t = 4$
La tecla «×2» se repite con cada «=»: una hora más del cultivo. Empieza en 500 y cuenta cuántos «=» hacen falta para llegar a 8000; ese es log₂ 16. Empieza en 1 y llega a 32: cinco «=», porque log₂ 32 = 5.
Práctica
¿Cuánto vale $\log_{2} 64$?
2⁶ = 64, así que log₂ 64 = 6. El 32 sale de dividir 64 entre 2 y el 8 de sacar la raíz cuadrada: ninguna de las dos es la pregunta por el exponente.
Calcula $\log_{3} 81$.
3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81, así que log₃ 81 = 4.
¿Cuál es la forma logarítmica de 5³ = 125?
La base sigue siendo la base (5), la potencia pasa a ser el argumento (125) y el logaritmo es el exponente (3).
¿Cuánto vale $\log_{7} 1$?
7⁰ = 1, así que log₇ 1 = 0. El logaritmo de 1 es 0 en cualquier base; el que vale 1 es log₇ 7.
Calcula $\log_{10} 0{,}001$.
0,001 = 1/1000 = 1/10³ = 10⁻³, así que el logaritmo es −3. Es negativo porque el argumento está entre 0 y 1.
¿Cuánto vale $\log_{4} 8$? Pista: escribe 4 y 8 como potencias de 2.
4ˣ = 8 es (2²)ˣ = 2³, es decir, 2²ˣ = 2³. Entonces 2x = 3 y x = 3/2. Comprobación: 4^(3/2) = (√4)³ = 2³ = 8.
Si $\log_{2} x = 5$, ¿cuánto vale x?
Pasando a forma exponencial, x = 2⁵ = 32. El 10 sale de multiplicar 2 · 5, y el 25 de elevar al revés, 5².
¿Verdadero o falso? log₂ (4 · 8) = log₂ 4 · log₂ 8
log₂ (4 · 8) = log₂ 32 = 5, pero log₂ 4 · log₂ 8 = 2 · 3 = 6. El logaritmo de un producto es la SUMA de los logaritmos: 2 + 3 = 5.
¿Verdadero o falso? $\log_{2} 32 - \log_{2} 4 = \log_{2} 8$
Por la propiedad del cociente, la resta es log₂ (32/4) = log₂ 8. Con números: 5 − 2 = 3.
Usa la propiedad de la potencia para calcular $\log_{3} \left(9^{5}\right)$.
log₃ (9⁵) = 5 · log₃ 9 = 5 · 2 = 10. También sale de 9⁵ = (3²)⁵ = 3¹⁰.
Un cultivo empieza con 200 bacterias y se triplica cada hora. ¿Cuántas horas pasan hasta que haya 5400 bacterias?
200 · 3ᵗ = 5400 da 3ᵗ = 27 al dividir entre 200. Como 3³ = 27, t = log₃ 27 = 3 horas.
El logaritmo en base 2 de 10 no es exacto: está entre dos enteros consecutivos. ¿Cuál es el menor de ellos?
2³ = 8 y 2⁴ = 16. Como 8 < 10 < 16, el exponente que da 10 está entre 3 y 4.
Reto
Abre el candado con cuatro logaritmos.
Cada logaritmo es un dígito de la clave. Pregúntate: ¿a qué exponente hay que elevar la base?
Reto
Completa cada logaritmo.
Elige en cada espacio el número que hace verdadera la frase.
Cierre
En resumen
El logaritmo en base b de x es el exponente al que hay que elevar b para obtener x; log_b x = y significa b^y = x.
La base tiene que ser positiva y distinta de 1, y el argumento tiene que ser positivo.
log_b 1 = 0, log_b b = 1 y log_b b^n = n; un logaritmo es negativo cuando el argumento está entre 0 y 1.
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos, el de un cociente es la resta y el de una potencia es el exponente por el logaritmo.
Los logaritmos que no salen exactos, como log₂ 10, son irracionales y se dejan indicados.
Vocabulario
- Logaritmo
El logaritmo en base b de x, log_b x, es el exponente y al que hay que elevar b para obtener x: log_b x = y significa b^y = x.
- Base del logaritmo
El número b que se eleva. Tiene que ser positivo y distinto de 1.
- Argumento
El número x del que se calcula el logaritmo. Tiene que ser positivo.
- Logaritmo decimal
El logaritmo en base 10. Se suele escribir log x, sin la base.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Retome el cultivo de la lección anterior y pregunte al revés: ¿a qué hora habrá 8000 bacterias? Deje que tanteen con la calculadora.
- Explicación · 15 min — Las tres preguntas sobre 2⁵ = 32, la definición y la tabla de conversiones. Los dos primeros ejemplos en el tablero; las propiedades, comprobadas con números.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; el candado se puede resolver en grupo, con un estudiante que justifique cada dígito pasando a forma exponencial.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe una igualdad exponencial propia y su forma logarítmica, y la intercambia con un compañero para revisarla.
Preguntas para el salón
- ¿Puede un logaritmo ser negativo? ¿Y puede serlo el argumento? Den un ejemplo de cada caso o expliquen por qué no.
- ¿Por qué no se usa la base 1 para los logaritmos?
- Si log₂ 10 está entre 3 y 4, ¿más cerca de cuál creen que está? ¿Cómo lo comprobarían sin calculadora?
Errores típicos
- Dividir el argumento entre la base (log₂ 64 = 32). Pida que pasen siempre a forma exponencial y comprueben: ¿2³² da 64?
- Confundir la base con el exponente al pasar de una forma a otra. Use la frase «la base sigue siendo la base» y marque la base con el mismo color en las dos formas.
- Creer que log_b 1 = 1. Pregunte a qué exponente hay que elevar 7 para obtener 1 y recuerde que b⁰ = 1.
- Convertir el logaritmo de un producto en un producto de logaritmos. Compare log₂ (4·8) con log₂ 4 · log₂ 8 calculando cada lado por separado.
Tarea sugerida
Pasar a forma logarítmica 3⁵ = 243, 10⁻¹ = 0,1 y 8^(1/3) = 2; calcular log₅ 125, log₂ (1/16) y log₄ 2; y explicar por escrito por qué log₃ 50 está entre 3 y 4.