Semejanza y el teorema de Thales

¿Para qué sirve esto?

¿Cómo medirías la altura del poste de luz de tu cuadra sin subirte a él? ¿O la de un árbol en el que se posó un pájaro? No hace falta una escalera: basta una vara, un metro y un día de sol. Con una idea geométrica muy sencilla, la de que ciertas medidas guardan la misma proporción, puedes calcular longitudes a las que no llegas con la cinta.

Esa idea es el teorema de Thales, y está detrás de las maquetas, los planos, las ampliaciones de una fotocopia y muchas técnicas de medición. En esta lección aprenderás a usarlo y a explicar por qué funciona.

Antes de empezar necesitas recordar cómo se simplifica una fracción, cómo se resuelve una ecuación lineal sencilla y qué son dos rectas paralelas.

Razón y proporción entre segmentos

La razón entre dos segmentos es el cociente de sus longitudes, medidas con la misma unidad. Si un segmento mide 6 cm y otro 9 cm, su razón es $\tfrac{6}{9} = \tfrac{2}{3}$: el primero mide dos tercios del segundo. La razón no tiene unidades, porque los centímetros se cancelan.

Cuatro segmentos $a$, $b$, $c$ y $d$ forman una proporción cuando la razón de los dos primeros es igual a la razón de los dos últimos:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}.$$

En toda proporción se cumple la propiedad fundamental: el producto de los extremos es igual al producto de los medios, $a \cdot d = b \cdot c$. Esa propiedad sirve para dos cosas: para comprobar si cuatro números forman una proporción y para despejar un término desconocido.

Cuidado con una trampa frecuente: dos parejas de segmentos no son proporcionales porque «se lleven lo mismo». De 4 a 6 hay 2 y de 6 a 8 también hay 2, pero $\tfrac{4}{6}$ no es igual a $\tfrac{6}{8}$. La proporcionalidad se mide dividiendo, no restando.

El teorema de Thales

Imagina dos rectas, las secantes, cortadas por varias rectas paralelas entre sí. Las paralelas recortan sobre cada secante unos segmentos. El teorema de Thales dice:

Si varias rectas paralelas cortan a dos secantes, los segmentos que determinan en una secante son proporcionales a los segmentos correspondientes que determinan en la otra.

En la figura, las paralelas $AA'$ y $BB'$ cortan a las secantes que salen de $O$. Thales asegura que

$$\frac{OA}{AB} = \frac{OA'}{A'B'} \qquad \text{y también} \qquad \frac{OA}{OB} = \frac{OA'}{OB'}.$$

Lo importante es emparejar bien: cada segmento de una secante va con el segmento que queda entre las mismas dos paralelas en la otra secante. El teorema funciona con cualquier ángulo entre las secantes; en la figura se dibujaron perpendiculares solo para que puedas leer las medidas en la cuadrícula.

Thales dentro de un triángulo y la semejanza

Si en un triángulo $ABC$ trazas una recta paralela al lado $BC$ que corte a los otros dos lados en $D$ y en $E$, tienes otra vez dos secantes ($AB$ y $AC$) cortadas por paralelas ($DE$ y $BC$). Por Thales,

$$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}.$$

Además, el triángulo pequeño $ADE$ y el grande $ABC$ tienen la misma forma: comparten el ángulo en $A$ y, por las paralelas, los otros ángulos también son iguales. Dos figuras con la misma forma, aunque de distinto tamaño, se llaman semejantes: sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. En la lección siguiente verás los criterios para decidir cuándo dos triángulos son semejantes; por ahora, basta con saber que una paralela a un lado «recorta» un triángulo semejante al original.

Medir alturas con sombras

En un día de sol, los rayos llegan a la Tierra prácticamente paralelos. Si a la misma hora clavas una vara vertical junto a un poste, también vertical, se forman dos triángulos: el de la vara con su sombra y el del poste con la suya. Los rayos que pasan por las puntas son paralelos, y la vara y el poste también lo son. Por Thales (o porque los triángulos son semejantes):

$$\frac{\text{altura del poste}}{\text{sombra del poste}} = \frac{\text{altura de la vara}}{\text{sombra de la vara}}.$$

Para que el método funcione, las dos sombras se miden a la misma hora y en un piso plano: si pasa mucho tiempo, el sol cambia de posición y la razón ya no es la misma.

Medir con una escuadra isósceles

Hay otra manera de medir alturas, útil cuando no hay sol. Se usa una escuadra isósceles (la que tiene dos lados iguales y ángulos de 45°), un pitillo pegado a su lado más largo y un hilo con un peso que hace de plomada para mantenerla derecha. Miras por el pitillo y te alejas o te acercas al árbol hasta ver la punta justo por él.

En ese momento se forma un triángulo rectángulo isósceles, semejante a la escuadra: el cateto horizontal va desde tu ojo hasta el tronco y el cateto vertical, desde la altura de tu ojo hasta la punta. Como los dos catetos son iguales, la parte de arriba mide lo mismo que tu distancia al árbol. Solo falta sumar la altura de tus ojos sobre el piso.

En resumen

• La razón entre dos segmentos es el cociente de sus longitudes; cuatro segmentos forman una proporción si a/b = c/d, y entonces a·d = b·c.

• La proporcionalidad se comprueba dividiendo, no restando.

• Teorema de Thales: si varias paralelas cortan a dos secantes, los segmentos de una secante son proporcionales a los correspondientes de la otra.

• Una paralela a un lado de un triángulo determina un triángulo semejante: misma forma, ángulos iguales y lados proporcionales.

• Con sombras medidas a la misma hora, o con una escuadra isósceles, se calculan alturas que no se alcanzan.

Vocabulario

Razón entre segmentos

El cociente entre sus longitudes, medidas con la misma unidad.

Proporción

Igualdad entre dos razones: a/b = c/d. En toda proporción, a·d = b·c.

Secante

Recta que corta a otras rectas. En el teorema de Thales, las secantes cortan a un grupo de rectas paralelas.

Figuras semejantes

Figuras que tienen la misma forma aunque no el mismo tamaño: sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.