Criterios de semejanza de triángulos

¿Para qué sirve esto?

Una foto ampliada, la maqueta de una casa, el mapa de tu barrio o la sombra de un poste: todas son figuras con la misma forma que otra, pero de distinto tamaño. Cuando dos triángulos tienen la misma forma, conocer uno te permite calcular las medidas del otro, y en eso se basan muchas mediciones que no se pueden hacer con una cinta métrica.

La pregunta de esta lección es práctica: ¿qué es lo mínimo que tengo que comprobar para estar seguro de que dos triángulos son semejantes? Y una vez que lo sé, ¿qué pasa con sus perímetros y sus áreas?

Antes de empezar necesitas recordar el teorema de Thales, que los ángulos de un triángulo suman 180° y que el área de un triángulo es base por altura sobre 2.

Qué significa que dos triángulos sean semejantes

Dos triángulos $ABC$ y $DEF$ son semejantes, y se escribe $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, cuando se pueden emparejar sus vértices ($A$ con $D$, $B$ con $E$, $C$ con $F$) de manera que:

• los ángulos correspondientes son iguales: $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$ y $\angle C = \angle F$;
• los lados correspondientes son proporcionales:

$$\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = k.$$

El número $k$ es la razón de semejanza. Si $k = 2$, el segundo triángulo es una ampliación al doble del primero; si $k = \tfrac{1}{2}$, es una reducción a la mitad. El orden de las letras importa: en $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, la primera letra va con la primera, la segunda con la segunda y la tercera con la tercera.

Comprobar seis condiciones cada vez sería muy largo. Por suerte, en los triángulos basta con algunas: son los criterios de semejanza.

Criterio AA: dos ángulos

Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro, los triángulos son semejantes.

No hace falta revisar el tercer ángulo: como los tres suman 180° en los dos triángulos, si dos coinciden, el tercero también. ¿Y por qué los lados quedan proporcionales? Aquí entra el teorema de Thales. Coloca una copia del triángulo pequeño encima del grande, con un vértice sobre $A$ y sus dos lados sobre $AB$ y $AC$: en la figura es el triángulo $ADE$. Como $\angle ADE = \angle B$, el lado $DE$ de la copia queda paralelo a $BC$. Y una paralela a un lado recorta segmentos proporcionales: eso es justo lo que dice Thales.

Criterio LAL: dos lados y el ángulo entre ellos

Si dos lados de un triángulo son proporcionales a dos lados de otro y el ángulo comprendido entre ellos es igual, los triángulos son semejantes.

«Comprendido» quiere decir que el ángulo está entre los dos lados que comparas, en el vértice donde se juntan. Si el ángulo igual es otro, el criterio no sirve.

Criterio LLL: tres lados

Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados de otro, los triángulos son semejantes.

Para aplicarlo, ordena los lados de cada triángulo de menor a mayor y divide el menor entre el menor, el mediano entre el mediano y el mayor entre el mayor. Si los tres cocientes son iguales, hay semejanza. Basta con que uno sea distinto para que no la haya.

Perímetros y áreas

Si la razón de semejanza es $k$, todos los lados se multiplican por $k$. Entonces el perímetro, que es la suma de los lados, también se multiplica por $k$:

$$\frac{\text{perímetro del grande}}{\text{perímetro del pequeño}} = k.$$

Con el área pasa algo distinto. El área de un triángulo es $\tfrac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}$, y en el triángulo semejante la base y la altura se multiplican por $k$. El área queda multiplicada por $k \cdot k$:

$$\frac{\text{área del grande}}{\text{área del pequeño}} = k^2.$$

Por eso, si amplías una figura al doble, su área no se duplica: se cuadruplica. Y si amplías al triple, el área se multiplica por 9.

La congruencia, un caso particular

Si la razón de semejanza es $k = 1$, los lados correspondientes no solo son proporcionales: son iguales. Los triángulos tienen la misma forma y el mismo tamaño, y se llaman congruentes ($\triangle ABC \cong \triangle DEF$). Los criterios de congruencia se parecen a los de semejanza: tres lados iguales (LLL), dos lados iguales y el ángulo comprendido igual (LAL), o un lado igual y los dos ángulos que lo tocan iguales (ALA). Con ángulos solamente no basta: dos triángulos con los mismos ángulos pueden tener tamaños distintos.

En resumen

• Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales; el cociente entre lados es la razón de semejanza k.

• Criterios de semejanza: AA (dos ángulos iguales), LAL (dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual) y LLL (tres lados proporcionales).

• El criterio AA se justifica con el teorema de Thales, colocando un triángulo sobre el otro para que un lado quede paralelo.

• Si la razón de semejanza es k, los perímetros están en razón k y las áreas en razón k².

• La congruencia es la semejanza con razón 1; con ángulos solamente no se puede asegurar.

Vocabulario

Triángulos semejantes

Triángulos con sus ángulos correspondientes iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Se escribe ΔABC ∼ ΔDEF.

Razón de semejanza

El cociente k entre un lado de una figura y el lado correspondiente de la otra; es el mismo para todos los pares de lados.

Criterio de semejanza

Un grupo mínimo de condiciones que basta comprobar para asegurar que dos triángulos son semejantes.

Triángulos congruentes

Triángulos semejantes con razón 1: tienen los mismos ángulos y los mismos lados. Se escribe ΔABC ≅ ΔDEF.