El teorema de Pitágoras

¿Para qué sirve esto?

Imagina que necesitas saber si un televisor cabe en el mueble de la sala, qué tan larga debe ser una escalera para alcanzar una ventana o cuánto camina en línea recta una persona que atraviesa una cancha en diagonal. En los tres casos hay una medida que es difícil de tomar con el metro, pero que se puede calcular a partir de otras dos que sí son fáciles de medir.

La herramienta para eso es el teorema de Pitágoras. Funciona siempre que haya un ángulo recto escondido en la situación: la esquina de una pared con el piso, el borde de una pantalla o los ejes del plano cartesiano.

Antes de empezar repasa cómo se eleva un número al cuadrado y cómo se saca una raíz cuadrada, exacta o aproximada con la calculadora.

Las partes del triángulo rectángulo

Un triángulo es rectángulo cuando uno de sus ángulos mide $90^\circ$. Sus lados tienen nombres propios:

• los catetos, que son los dos lados que forman el ángulo recto; los llamaremos $a$ y $b$;
• la hipotenusa, que es el lado que queda enfrente del ángulo recto; la llamaremos $c$.

La hipotenusa es siempre el lado más largo. Si en un problema te dan tres medidas y no sabes cuál es la hipotenusa, es la mayor.

El enunciado del teorema

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Si piensas en áreas, el teorema dice que el cuadrado construido sobre la hipotenusa tiene exactamente la misma área que los dos cuadrados construidos sobre los catetos juntos. En esta lección no lo demostramos: lo usamos para medir.

Hallar la hipotenusa o un cateto

Con la fórmula puedes despejar cualquier lado si conoces los otros dos:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad\qquad a = \sqrt{c^2 - b^2}$$

Para la hipotenusa se suman los cuadrados; para un cateto se restan: al cuadrado de la hipotenusa le quitas el cuadrado del cateto conocido. Un error muy común es sumar siempre. Si al buscar un cateto te sale un número mayor que la hipotenusa, revisa: algo se sumó que debía restarse.

Otro error frecuente es creer que $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$. La raíz no se reparte sobre la suma: con catetos 6 y 8 la hipotenusa es 10, no 14. Piensa también en el triángulo: un lado no puede medir lo mismo que los otros dos juntos.

Muchas veces la raíz no es exacta. Entonces el resultado exacto se deja indicado, como $\sqrt{29}$, y solo se redondea al final, cuando hace falta una medida para cortar o comprar.

Ternas pitagóricas

Hay tríos de números naturales que cumplen $a^2 + b^2 = c^2$; se llaman ternas pitagóricas. Las más usadas son $3, 4, 5$; $5, 12, 13$; $8, 15, 17$ y $7, 24, 25$. Si multiplicas una terna por un mismo número natural obtienes otra: de $3, 4, 5$ salen $6, 8, 10$ y $9, 12, 15$. Más abajo comprobarás por qué esa conjetura es cierta para cualquier factor natural.

Los constructores usan la terna $3, 4, 5$ para trazar esquinas rectas en el piso: miden 3 unidades por un lado, 4 por el otro, y mueven la cuerda hasta que la distancia entre las dos marcas sea 5.

¿Es rectángulo el triángulo?

El teorema también funciona al revés. Si conoces los tres lados de un triángulo, toma el mayor como posible hipotenusa y compara:

• si $a^2 + b^2 = c^2$, el triángulo es rectángulo;
• si $a^2 + b^2 \neq c^2$, no lo es.

Distancia entre dos puntos del plano

Entre dos puntos $A(x_1;\ y_1)$ y $B(x_2;\ y_2)$ siempre puedes dibujar un triángulo rectángulo: un cateto horizontal que mide la diferencia de las abscisas, $x_2 - x_1$ sin su signo, y uno vertical que mide la diferencia de las ordenadas, $y_2 - y_1$ sin su signo. La distancia $AB$ es la hipotenusa:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

No importa el orden en que restes, porque al elevar al cuadrado el signo desaparece. Si los dos puntos tienen la misma abscisa o la misma ordenada, no hay triángulo: la distancia es la otra diferencia, sin su signo, y la fórmula también la da.

En resumen

• En un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo recto y la hipotenusa, el lado más largo, queda enfrente.

• El teorema de Pitágoras dice que a² + b² = c²: para la hipotenusa se suman los cuadrados y para un cateto se restan.

• Si los tres lados de un triángulo cumplen a² + b² = c², con c el mayor, el triángulo es rectángulo; si no, no lo es.

• Una terna pitagórica multiplicada por cualquier número natural da otra terna.

• La distancia entre dos puntos del plano es la hipotenusa del triángulo que forman sus diferencias horizontal y vertical.

Vocabulario

Triángulo rectángulo

Triángulo que tiene un ángulo recto, es decir, de 90°.

Catetos

Los dos lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo.

Hipotenusa

El lado opuesto al ángulo recto. Es siempre el lado más largo del triángulo rectángulo.

Terna pitagórica

Tres números naturales a, b y c que cumplen a² + b² = c², como 3, 4 y 5.