Cuerpos redondos: cilindro, cono y esfera
Lo que vas a aprender
- Calcular el volumen de un cilindro, un cono y una esfera a partir de su radio y su altura.
- Expresar un volumen como capacidad usando 1 dm³ = 1 L y 1 cm³ = 1 mL.
- Comparar las capacidades de recipientes redondos y estimarlas con π ≈ 3.
- Decidir si un cálculo de volumen o de área responde a lo que pide una situación.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Una lata de gaseosa, un vaso, un tanque de agua, un cucurucho de helado y un balón tienen algo en común: sus superficies son redondas. Saber cuánto cabe en ellos sirve para decidir qué empaque conviene comprar, cuántos vasos se llenan con una jarra o cuánta agua guarda un tanque cuando se va el servicio.
En esta lección vas a calcular el volumen de tres cuerpos redondos, el cilindro, el cono y la esfera, y a traducirlo a capacidad, en litros y mililitros.
Antes de empezar recuerda que el área de un círculo de radio $r$ es $\pi r^2$ y que el radio es la mitad del diámetro.
Un cilindro, un cono y una esfera. En el cilindro y el cono, r es el radio de la base y h la altura; en la esfera, r es el radio.
Explicación
Volumen y capacidad
El volumen de un cuerpo es el espacio que ocupa, y se mide en unidades cúbicas: $\text{cm}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{m}^3$. La capacidad de un recipiente es lo que cabe dentro, y se mide en litros (L) y mililitros (mL). Las dos medidas están unidas por una equivalencia exacta:
$$1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{L} \qquad\qquad 1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{mL} \qquad\qquad 1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{L}$$
Un cubo de $10\ \text{cm}$ de lado, es decir, de $1\ \text{dm}$, se llena exactamente con un litro de agua. Por eso, si calculas un volumen en $\text{cm}^3$, ya tienes la capacidad en mililitros; para pasarla a litros, divides entre mil.
El cilindro
Un cilindro es como una pila de círculos iguales. Su volumen es el área de la base por la altura:
$$V_{\text{cilindro}} = \pi r^2 h$$
El cono
Si tomas un cono y un cilindro con la misma base y la misma altura, llenas el cono de arena o de agua y lo vacías en el cilindro, descubres que necesitas hacerlo tres veces para llenarlo. Esa relación, que puedes comprobar en el salón con recipientes de papel, da la fórmula:
$$V_{\text{cono}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$
La esfera
Ahora piensa en una esfera metida justo dentro de un cilindro: la esfera toca las dos tapas y la pared, así que el cilindro tiene radio $r$ y altura $2r$. Si sumerges la esfera en ese cilindro lleno de agua, se derraman dos tercios del agua. Ese experimento lleva a la fórmula del volumen de la esfera:
$$V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^3$$
Fíjate en que aquí el radio va al cubo: si duplicas el radio de una esfera, su volumen no se duplica, sino que se multiplica por ocho.
Los tres juntos
Las dos relaciones anteriores se pueden reunir en una sola imagen. Toma un cilindro de radio $r$ y altura $2r$, y compáralo con una esfera y un cono que caben justos en él, con ese mismo radio y esa misma altura. Entonces el cono ocupa un tercio del cilindro y la esfera, dos tercios: los volúmenes del cono y de la esfera suman el del cilindro. Dicho de otra forma, los tres volúmenes están en la razón $1 : 2 : 3$. Es una buena manera de recordar las fórmulas y de comprobar un resultado: si la esfera te da menos que ese cono, algo salió mal.
Exacto y aproximado
Lo más limpio es calcular con $\pi$ y dejar el resultado como $160\pi$ o $36\pi$, que son valores exactos. Para medir o comprar, al final se usa la calculadora. Y para estimar de cabeza si algo cabe, basta con tomar $\pi \approx 3$: el resultado sale un poco por debajo del real, porque $\pi$ es algo mayor que 3.
¿El cálculo responde a la pregunta?
Antes de calcular, pregúntate qué pide la situación:
- si es lo que cabe (agua, arena, helado), se calcula un volumen;
- si es lo que cubre (pintura, papel, lámina), se calcula un área, no un volumen;
- las medidas tienen que estar en la misma unidad: no se multiplica un radio en centímetros por una altura en metros;
- en un recipiente con paredes gruesas, como un termo, la capacidad se calcula con las medidas de adentro, no con las de afuera.
Ejemplo resuelto
La capacidad de un vaso cilíndrico
Un vaso cilíndrico tiene 4 cm de radio y 10 cm de altura. ¿Cuántos mililitros le caben?
Ver la solución paso a paso
Usamos $V = \pi r^2 h$ con $r = 4$ y $h = 10$: $4^{2} \cdot 10\pi$
Calculamos el cuadrado del radio: $16 \cdot 10\pi$
Y multiplicamos. Este es el volumen exacto, en centímetros cúbicos: $160\pi$
Con la calculadora, $160\pi \approx 502{,}65$. La diferencia entre los dos es menor que media centésima: $\left|160\pi - 502{,}65\right| < 0{,}005$
Respuesta: como $1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{mL}$, al vaso le caben unos 503 mL, un poco más de medio litro.
Ejemplo resuelto
El cono y el cilindro de la misma base
Un cucurucho tiene forma de cono, con 3 cm de radio y 12 cm de altura. ¿Cuánto helado le cabe? Compáralo con un cilindro de la misma base y la misma altura.
Ver la solución paso a paso
Usamos $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ con $r = 3$ y $h = 12$: $\frac{1}{3} \cdot 3^{2} \cdot 12\pi$
Calculamos $3^2 \cdot 12 = 108$: $\frac{1}{3} \cdot 108\pi$
Y tomamos la tercera parte: $36\pi$
El cilindro de la misma base y altura tiene volumen $3^2 \cdot 12\,\pi = 108\pi$, que es exactamente el triple del cono: $3^{2} \cdot 12\pi = 3 \cdot \left(36\pi\right)$
Con la calculadora, $36\pi \approx 113{,}1$: $\left|36\pi - 113{,}1\right| < 0{,}05$
Respuesta: al cucurucho le caben unos 113 mL de helado; en el cilindro cabría el triple.
Ejemplo resuelto
El volumen de una esfera
Una pelota tiene 6 cm de radio. ¿Cuál es su volumen? Compáralo con el del cilindro que la envuelve justo.
Ver la solución paso a paso
Usamos $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ con $r = 6$: $\frac{4 \cdot 6^{3}\pi}{3}$
Calculamos el cubo, $6^3 = 216$: $\frac{4}{3} \cdot 216\pi$
Y multiplicamos por cuatro tercios: $288\pi$
El cilindro que la envuelve tiene radio 6 y altura 12. La esfera ocupa dos tercios de ese cilindro: $288\pi = \frac{2 \cdot \left(6^{2} \cdot 12\pi\right)}{3}$
El cono que cabe justo en ese cilindro tiene su mismo radio y su misma altura, y ocupa un tercio: $\frac{1}{3} \cdot 6^{2} \cdot 12\pi = 144\pi$
Cono, esfera y cilindro quedan en la razón $1 : 2 : 3$: el cono y la esfera juntos llenan el cilindro. $144\pi + 288\pi = 6^{2} \cdot 12\pi$
Con la calculadora, $288\pi \approx 904{,}78$: $\left|288\pi - 904{,}78\right| < 0{,}005$
Respuesta: la pelota ocupa unos 905 cm³, casi un litro.
Vacía los conos en el cilindro de la misma base y la misma altura: hacen falta tres. Después cambia a la esfera: la que cabe justo en el cilindro solo llena 2/3 de él.
Ejemplo resuelto
¿Cuántos vasos llena una jarra?
Una jarra cilíndrica tiene 6 cm de radio y 16 cm de altura. Se sirven vasos de papel en forma de cono, de 4 cm de radio y 9 cm de altura. ¿Cuántos vasos llena la jarra?
Ver la solución paso a paso
Volumen de la jarra, un cilindro: $6^{2} \cdot 16\pi$
Calculamos: $576\pi$
Volumen de un vaso, un cono: $\frac{1}{3} \cdot 4^{2} \cdot 9\pi$
Calculamos: $48\pi$
Dividimos la capacidad de la jarra entre la de un vaso. El factor $\pi$ se cancela, así que no hace falta aproximarlo: $\frac{576\pi}{48\pi}$
$12$
Respuesta: la jarra llena exactamente 12 vasos. Antes de servir, una estimación con $\pi \approx 3$ habría dado lo mismo, porque $\pi$ aparece en los dos volúmenes.
Respuesta: $12$
Práctica
Un cilindro tiene 5 cm de radio y 12 cm de altura. ¿Cuál es su volumen, en cm³? Escribe el resultado redondeado a la unidad.
V = π · 5² · 12 = 300π ≈ 942,48, que redondeado a la unidad es 942 cm³.
Un cono tiene 6 cm de radio y 10 cm de altura. ¿Cuál es su volumen, en cm³? Escribe el resultado redondeado a la unidad.
V = (1/3) · π · 6² · 10 = 120π ≈ 376,99, que redondeado es 377 cm³. Si olvidas dividir entre 3, obtienes el volumen del cilindro.
Una esfera tiene 9 cm de radio. ¿Cuál es su volumen, en cm³? Escribe el resultado redondeado a la unidad.
V = (4/3) · π · 9³ = (4/3) · 729 · π = 972π ≈ 3053,6, que redondeado es 3054 cm³.
Un vaso cilíndrico mide 3 cm de radio y 8 cm de altura. ¿Cuántos mililitros le caben? Escribe el resultado redondeado a la unidad.
V = π · 3² · 8 = 72π ≈ 226,19 cm³. Como 1 cm³ = 1 mL, le caben unos 226 mL.
Un tanque cilíndrico mide por dentro 40 cm de radio y 100 cm de altura. ¿Cuál es su capacidad en litros?
V = π · 40² · 100 = 160.000π cm³. Como 1 L = 1000 cm³, la capacidad es 160π L, unos 503 L. 160.000π es olvidar la conversión.
Un cilindro tiene un volumen de 90 cm³. ¿Cuál es el volumen, en cm³, de un cono con la misma base y la misma altura?
El cono cabe tres veces en el cilindro de igual base y altura: 90 ÷ 3 = 30 cm³. 270 es multiplicar por 3 en vez de dividir.
Para estimar la capacidad de una olla cilíndrica de 1,5 dm de radio y 2 dm de altura, Sofía usa π ≈ 3. ¿Qué estimación obtiene, en litros?
3 · 1,5² · 2 = 3 · 2,25 · 2 = 13,5 dm³, es decir, unos 13,5 L. 9 es olvidar elevar el radio al cuadrado; 54 es usar el diámetro, 3 dm, como si fuera el radio.
¿Verdadero o falso? Un cono de radio 3 cm y altura 9 cm tiene el mismo volumen que un cilindro de radio 3 cm y altura 3 cm.
El cono tiene (1/3) · π · 9 · 9 = 27π y el cilindro π · 9 · 3 = 27π. Un cono con el triple de altura iguala al cilindro de la misma base.
¿Verdadero o falso? Una esfera de radio 6 cm tiene el doble de volumen que una esfera de radio 3 cm.
El radio va al cubo: 6³ = 216 y 3³ = 27, y 216 ÷ 27 = 8. Al duplicar el radio, el volumen se multiplica por 8, no por 2.
¿Verdadero o falso? En una esfera hueca de 4 cm de radio cabe más agua que en un cilindro de 3 cm de radio y 8 cm de altura.
La esfera: (4/3) · π · 64 ≈ 85,3π. El cilindro: π · 9 · 8 = 72π. Como 85,3π > 72π, en la esfera cabe más.
Andrés quiere saber cuánta pintura necesita para pintar por fuera la pared curva de un tanque cilíndrico, y calcula πr²h. ¿Su cálculo responde a lo que necesita?
La pintura cubre la superficie, que se mide en unidades cuadradas. El volumen, en unidades cúbicas, mide lo que cabe adentro: responde a otra pregunta.
Un termo tiene paredes gruesas. Para calcular cuánto café le cabe, ¿qué medidas conviene usar?
La capacidad es lo que cabe en el hueco interior. Con las medidas de afuera se calcularía también el volumen de las paredes, y la capacidad quedaría sobreestimada.
Reto
Une cada volumen con su resultado exacto.
Calcula cada producto y busca la ficha que vale lo mismo. Deja el π indicado.
Reto
Completa las equivalencias entre volumen y capacidad.
Elige el número que completa cada frase.
Reto
Abre el candado de los recipientes.
Cada pista da un dígito de la clave.
Cierre
En resumen
El volumen del cilindro es πr²h: el área de la base por la altura.
El cono cabe tres veces en el cilindro de igual base y altura, por eso su volumen es πr²h/3.
El volumen de la esfera es 4πr³/3, dos tercios del cilindro que la envuelve; el radio va al cubo.
1 dm³ = 1 L y 1 cm³ = 1 mL: un volumen en centímetros cúbicos ya es una capacidad en mililitros.
Para lo que cabe se calcula un volumen; para lo que cubre, un área; y siempre con medidas en la misma unidad.
Vocabulario
- Cilindro
Cuerpo redondo con dos bases que son círculos iguales y paralelos, unidos por una superficie curva.
- Cono
Cuerpo redondo con una base circular y una superficie curva que termina en un punto llamado vértice.
- Esfera
Cuerpo redondo formado por todos los puntos que están a la misma distancia, el radio, de un punto llamado centro.
- Capacidad
Cantidad de líquido o de material que cabe dentro de un recipiente. Se mide en litros y mililitros.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre un vaso, un cucurucho o un embudo y una pelota, y pida que ordenen de menor a mayor lo que creen que les cabe, sin calcular.
- Explicación · 15 min — Volumen y capacidad; las tres fórmulas. Si es posible, haga el experimento de llenar un cono de papel con arena o arroz y vaciarlo en un cilindro de igual base y altura.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas con calculadora; el dominó y el candado se pueden resolver en grupo. Pida estimar con π ≈ 3 antes de calcular.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante explique con sus palabras por qué la jarra del último ejemplo llena 12 vasos sin necesidad de aproximar π.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué el volumen de un cono es la tercera parte del de un cilindro y no la mitad? ¿Cómo lo comprobarían?
- Si un recipiente dice 500 mL, ¿cuántos centímetros cúbicos tiene por dentro?
- ¿Qué cambia más el volumen de un cilindro: duplicar el radio o duplicar la altura? ¿Y qué le pasa al volumen de una esfera si duplicas el radio?
- ¿En qué situaciones se calcula un área y en cuáles un volumen?
Errores típicos
- Usar el diámetro en lugar del radio. Pida que escriban siempre r = d ÷ 2 antes de reemplazar en la fórmula.
- Olvidar dividir entre 3 en el cono. Recuerde el experimento: el cono cabe tres veces en el cilindro de igual base y altura.
- Elevar el radio al cuadrado en la esfera, en vez de al cubo. Compare las unidades: un volumen siempre lleva unidades cúbicas, y r² solo da unidades cuadradas.
- Pasar de cm³ a litros dividiendo entre 100. Use el cubo de 10 cm de lado: tiene 10 · 10 · 10 = 1000 cm³ y le cabe un litro.
Tarea sugerida
Escoger tres recipientes redondos de la casa (un vaso, una olla, una lata), medir su radio y su altura por dentro, calcular su capacidad en mililitros y comprobarla llenándolos con una taza medidora. Explicar por escrito por qué el cálculo y la medición no coinciden exactamente.