Medidas de tendencia central, localización y variación

¿Para qué sirve esto?

Cuando un estudio recoge treinta, cien o mil datos, nadie los puede mirar uno por uno. Hace falta resumirlos en pocos números que respondan dos preguntas: ¿alrededor de qué valor se agrupan los datos? y ¿qué tan dispersos están?

Esos números se llaman medidas. Con ellas puedes decir, por ejemplo, cuánto tarda normalmente un estudiante en llegar al colegio, o si los puntajes de un curso son parejos o muy distintos entre sí. En la próxima lección las usarás para comparar dos grupos.

Antes de empezar repasa cómo ordenar números de menor a mayor y cómo sacar una raíz cuadrada con la calculadora.

Medidas de tendencia central

Responden a la pregunta: ¿cuál es un valor típico de los datos?

• La media (o promedio) es la suma de todos los datos dividida entre el número de datos, $n$: $$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$$
• La mediana es el dato del centro después de ordenar. Si $n$ es impar, es el dato que queda en el medio; si $n$ es par, es el promedio de los dos datos centrales. Deja la mitad de los datos por debajo y la mitad por encima.
• La moda es el dato que más se repite. Puede haber más de una, o ninguna si todos los datos aparecen la misma cantidad de veces.

Un error muy común es buscar la mediana sin ordenar los datos: el dato que queda en el centro de la lista tal como se anotó no dice nada.

Medidas de localización: los cuartiles

Así como la mediana parte los datos ordenados en dos mitades, los cuartiles los parten en cuatro partes con la misma cantidad de datos:

• $Q_1$, el primer cuartil, deja por debajo la cuarta parte de los datos;
• $Q_2$ es la mediana;
• $Q_3$, el tercer cuartil, deja por debajo las tres cuartas partes.

En este curso usamos el método de las mitades: se ordenan los datos, se halla la mediana y se parte la lista en una mitad inferior y una superior. $Q_1$ es la mediana de la mitad inferior y $Q_3$, la de la superior. Si $n$ es impar, el dato central no entra en ninguna de las dos mitades.

Medidas de variación

Dos cursos pueden tener la misma media y ser muy distintos: en uno todos sacan notas parecidas y en el otro hay notas muy altas y muy bajas. Para describir esa diferencia se mide la dispersión.

• El rango es el dato mayor menos el dato menor. Es fácil de calcular, pero solo mira los dos extremos.
• El rango intercuartil es $Q_3 - Q_1$: mide qué tan extendida está la mitad central de los datos, y casi no le afectan los valores extremos.
• La varianza es el promedio de los cuadrados de las distancias de cada dato a la media. En este curso usamos la varianza poblacional, que divide entre $n$: $$\sigma^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2}{n}$$
• La desviación es la raíz cuadrada de la varianza, $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$. Se prefiere a la varianza porque queda en las mismas unidades que los datos.

¿Por qué se elevan al cuadrado las distancias? Porque si solo se suman las diferencias $x - \bar{x}$, las positivas y las negativas se cancelan y la suma siempre da cero.

Fíjate también en una propiedad útil: si a todos los datos les sumas el mismo número, la media aumenta en ese número, pero la dispersión no cambia, porque las distancias entre los datos siguen siendo las mismas.

¿Cuándo usar cada una?

• Con una variable cualitativa sin orden (color, deporte favorito) solo tiene sentido la moda: no se pueden sumar colores. Si las categorías tienen orden (bajo, medio, alto), también tiene sentido la mediana.
• Si hay datos atípicos, valores muy alejados del resto, la media se va hacia ellos. Entonces la mediana y el rango intercuartil describen mejor a la mayoría.
• Si los datos están repartidos de forma pareja, sin atípicos, la media y la desviación aprovechan toda la información y son las más usadas.

En resumen

• La media, la mediana y la moda dicen alrededor de qué valor se agrupan los datos; la mediana se busca siempre con los datos ordenados.

• Los cuartiles parten los datos ordenados en cuatro partes; con el método de las mitades, Q1 y Q3 son las medianas de cada mitad.

• El rango, el rango intercuartil, la varianza y la desviación miden qué tan dispersos están los datos.

• La desviación es la raíz de la varianza y queda en las mismas unidades que los datos.

• Con datos cualitativos sin orden solo sirve la moda; con datos atípicos, la mediana y el rango intercuartil describen mejor a la mayoría.

Vocabulario

Media

La suma de todos los datos dividida entre el número de datos. También se llama promedio.

Mediana

El dato que queda en el centro cuando los datos se ordenan; si el número de datos es par, el promedio de los dos centrales.

Cuartiles

Los valores Q1, Q2 y Q3 que parten los datos ordenados en cuatro partes con la misma cantidad de datos. Q2 es la mediana.

Desviación

La raíz cuadrada de la varianza. Mide qué tan lejos de la media están los datos, en las mismas unidades que los datos.