Diagramas de caja y comparación de grupos
Lo que vas a aprender
- Calcular los cinco números (mínimo, Q₁, mediana, Q₃ y máximo) de un conjunto de datos, con n par o impar.
- Construir el diagrama de caja de un conjunto de datos sobre una escala numérica.
- Comparar dos grupos de datos a partir de sus cajas, sus medianas y sus rangos intercuartiles.
- Redactar una conclusión que responda la pregunta del estudio y que diga sus límites.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
El profesor de Educación Física quiere saber cuál de dos entrenamientos ayuda más a mejorar la resistencia. Dividió al azar a un grupo de estudiantes en dos equipos, cada equipo entrenó un mes con un método distinto y al final todos corrieron el mismo circuito. Ahora tiene dos listas de tiempos, en segundos. ¿Cómo las compara?
Comparar solo los promedios esconde mucho: dos grupos pueden tener la misma media y comportarse de forma muy distinta. El diagrama de caja resume cada lista en cinco números y dibuja las dos cajas una encima de la otra, sobre la misma escala. Con una mirada se ve qué grupo tiene tiempos más bajos, cuál es más parejo y cuánto se parecen.
Antes de empezar necesitas recordar cómo se calculan la mediana y los cuartiles por el método de las mitades, que viste en la lección anterior.
Explicación
Los cinco números
Para dibujar una caja necesitas cinco números del conjunto de datos, ordenado de menor a mayor:
- el mínimo, el dato más pequeño;
- el primer cuartil, $Q_1$: la mediana de la mitad inferior;
- la mediana, el dato del centro (o el promedio de los dos del centro);
- el tercer cuartil, $Q_3$: la mediana de la mitad superior;
- el máximo, el dato más grande.
Recuerda el método de las mitades. Si la cantidad de datos $n$ es impar, la mediana es un dato de la lista y no entra en ninguna de las dos mitades. Si $n$ es par, la lista se parte exactamente por la mitad y cada dato queda en una de ellas.
Estos cinco números parten los datos en cuatro tramos que tienen, más o menos, la misma cantidad de datos: una cuarta parte entre el mínimo y $Q_1$, otra entre $Q_1$ y la mediana, otra entre la mediana y $Q_3$ y la última entre $Q_3$ y el máximo.
Cómo se dibuja la caja
- Traza una escala numérica que cubra desde el mínimo hasta el máximo, con marcas igualmente espaciadas.
- Dibuja un rectángulo, la caja, que empiece en $Q_1$ y termine en $Q_3$.
- Parte la caja con una raya en la mediana.
- Traza los bigotes: un segmento desde $Q_1$ hasta el mínimo y otro desde $Q_3$ hasta el máximo.
El alto de la caja no significa nada: lo que se lee es su posición y su largo sobre la escala.
Cómo se lee una caja
- Dónde está: la mediana dice alrededor de qué valor se agrupan los datos.
- Cuánto mide la caja: es el rango intercuartil, $Q_3 - Q_1$. Ahí cae la mitad central de los datos. Una caja corta quiere decir datos parejos; una larga, datos dispersos.
- Cuánto miden los bigotes: el rango, máximo menos mínimo, mide la dispersión total. Un bigote muy largo indica que el cuarto de datos de ese lado está muy esparcido; a veces es un solo dato lejano, como el 85 del entrenamiento A.
- Dónde queda la mediana dentro de la caja: si está corrida hacia un lado, los datos de ese lado están más apretados y los del otro, más esparcidos.
Cada tramo tiene más o menos la misma cantidad de datos aunque mida distinto. Un tramo corto no tiene menos datos: tiene los datos más juntos.
Comparar dos grupos
Para comparar dos grupos se dibujan sus cajas sobre la misma escala, una encima de la otra. Después se miran, en este orden:
- La posición: ¿qué mediana es mayor? ¿Una caja queda más a la derecha que la otra?
- La dispersión: ¿qué caja es más corta (menor rango intercuartil)? ¿Qué grupo tiene menor rango?
- El traslape: ¿las cajas se montan una sobre otra o quedan separadas? Si el $Q_3$ de un grupo está por debajo de la mediana del otro, al menos tres cuartas partes del primero están por debajo de la mitad del segundo. Es una diferencia grande.
Elaborar una conclusión
Una conclusión responde la pregunta del estudio con los números a la vista y dice sus límites. No basta con «el grupo B es mejor»: hay que decir en qué y cuánto, y reconocer que con pocos datos, o con grupos que no se escogieron al azar, la diferencia podría deberse a otra causa.
Ejemplo resuelto
Los cinco números con una cantidad impar de datos
Los 11 estudiantes del entrenamiento A obtuvieron estos tiempos, en segundos (datos inventados): 52; 55; 58; 60; 61; 63; 64; 66; 70; 74; 85. Halla los cinco números, el rango intercuartil y el rango.
Ver la solución paso a paso
Los datos ya están ordenados. El mínimo es 52 y el máximo es 85.
Hay 11 datos, una cantidad impar. La mediana es el sexto dato, porque deja cinco a cada lado: mediana = 63.
$$\operatorname{mediana}\left(\left[52;\ 55;\ 58;\ 60;\ 61;\ 63;\ 64;\ 66;\ 70;\ 74;\ 85\right]\right) = 63$$
La mitad inferior son los cinco datos antes de la mediana: 52; 55; 58; 60; 61. Su dato central es Q₁ = 58.
$$Q_{1}\left(52;\ 55;\ 58;\ 60;\ 61;\ 63;\ 64;\ 66;\ 70;\ 74;\ 85\right) = 58$$
La mitad superior son los cinco datos después de la mediana: 64; 66; 70; 74; 85. Su dato central es Q₃ = 70.
$$Q_{3}\left(52;\ 55;\ 58;\ 60;\ 61;\ 63;\ 64;\ 66;\ 70;\ 74;\ 85\right) = 70$$
El rango intercuartil es Q₃ − Q₁ = 70 − 58, es decir, 12 s:
$$\operatorname{RIC}\left(\left[52;\ 55;\ 58;\ 60;\ 61;\ 63;\ 64;\ 66;\ 70;\ 74;\ 85\right]\right) = 12$$
Y el rango es el máximo menos el mínimo, 85 − 52, es decir, 33 s:
$$\operatorname{rango}\left(\left[52;\ 55;\ 58;\ 60;\ 61;\ 63;\ 64;\ 66;\ 70;\ 74;\ 85\right]\right) = 33$$
Los cinco números de A son 52, 58, 63, 70 y 85; el rango intercuartil es 12 s y el rango, 33 s. La caja mide 12 s y los bigotes llegan de 52 a 85. Fíjate en que el bigote derecho, de 70 a 85, es mucho más largo que el izquierdo: el tiempo de 85 s está lejos de los demás.
Ejemplo resuelto
Los cinco números con una cantidad par de datos
Los 12 estudiantes del entrenamiento B obtuvieron estos tiempos, en segundos (datos inventados): 48; 50; 51; 53; 54; 55; 57; 57; 58; 60; 62; 66. Halla los cinco números.
Ver la solución paso a paso
Los datos ya están ordenados. El mínimo es 48 y el máximo es 66.
Hay 12 datos, una cantidad par: los dos centrales son el sexto y el séptimo, 55 y 57. La mediana es su promedio:
$$\operatorname{mediana}\left(\left[48;\ 50;\ 51;\ 53;\ 54;\ 55;\ 57;\ 57;\ 58;\ 60;\ 62;\ 66\right]\right) = \frac{55 + 57}{2}$$
La lista se parte en dos mitades de seis datos. La inferior es 48; 50; 51; 53; 54; 55, y sus dos centrales son 51 y 53:
$$Q_{1}\left(48;\ 50;\ 51;\ 53;\ 54;\ 55;\ 57;\ 57;\ 58;\ 60;\ 62;\ 66\right) = \frac{51 + 53}{2}$$
La superior es 57; 57; 58; 60; 62; 66, y sus dos centrales son 58 y 60:
$$Q_{3}\left(48;\ 50;\ 51;\ 53;\ 54;\ 55;\ 57;\ 57;\ 58;\ 60;\ 62;\ 66\right) = \frac{58 + 60}{2}$$
Los cinco números de B son 48, 52, 56, 59 y 66. Con ellos y los de A se dibujan las dos cajas sobre la misma escala.
Tiempos del circuito, en segundos. Arriba, el entrenamiento A (52, 58, 63, 70, 85); abajo, el entrenamiento B (48, 52, 56, 59, 66). Cada caja va de Q₁ a Q₃ y la raya de adentro es la mediana.
Ejemplo resuelto
¿Qué entrenamiento fue más efectivo?
Con las dos cajas, responde la pregunta del profesor: ¿con qué entrenamiento se obtuvieron mejores tiempos? En un circuito, un tiempo menor es mejor.
Ver la solución paso a paso
Posición. La mediana de B, 56, es menor que la de A, 63, y toda la caja de B queda más a la izquierda:
$$\operatorname{mediana}\left(\left[48;\ 50;\ 51;\ 53;\ 54;\ 55;\ 57;\ 57;\ 58;\ 60;\ 62;\ 66\right]\right) < \operatorname{mediana}\left(\left[52;\ 55;\ 58;\ 60;\ 61;\ 63;\ 64;\ 66;\ 70;\ 74;\ 85\right]\right)$$
Traslape. El Q₃ de B, 59, está por debajo de la mediana de A, 63. Es decir, al menos tres cuartas partes de los estudiantes de B fueron más rápidos que la mitad de los de A:
$$Q_{3}\left(48;\ 50;\ 51;\ 53;\ 54;\ 55;\ 57;\ 57;\ 58;\ 60;\ 62;\ 66\right) < \operatorname{mediana}\left(\left[52;\ 55;\ 58;\ 60;\ 61;\ 63;\ 64;\ 66;\ 70;\ 74;\ 85\right]\right)$$
Dispersión. La caja de B mide 59 − 52 = 7 s y la de A, 12 s: la de B es más corta, así que sus tiempos son más parejos:
$$\operatorname{RIC}\left(\left[48;\ 50;\ 51;\ 53;\ 54;\ 55;\ 57;\ 57;\ 58;\ 60;\ 62;\ 66\right]\right) < \operatorname{RIC}\left(\left[52;\ 55;\ 58;\ 60;\ 61;\ 63;\ 64;\ 66;\ 70;\ 74;\ 85\right]\right)$$
Conclusión. Con estos datos, el entrenamiento B dio tiempos más bajos y más parejos que el A. Como los equipos se armaron al azar, es razonable atribuir la diferencia al entrenamiento. Pero son pocos estudiantes: antes de cambiar el plan de todo el colegio convendría repetir el estudio con más.
Práctica
Tiempos del entrenamiento A: 52; 55; 58; 60; 61; 63; 64; 66; 70; 74; 85. ¿Cuál es Q₁?
Con 11 datos la mediana es el sexto, 63, y no entra en las mitades. La mitad inferior es 52; 55; 58; 60; 61, y su centro es 58.
Tiempos del entrenamiento A: 52; 55; 58; 60; 61; 63; 64; 66; 70; 74; 85. ¿Cuál es la mediana?
Hay 11 datos: el sexto deja cinco a cada lado, y es 63.
Tiempos del entrenamiento B: 48; 50; 51; 53; 54; 55; 57; 57; 58; 60; 62; 66. ¿Cuál es Q₃?
Con 12 datos, la mitad superior son los seis últimos: 57; 57; 58; 60; 62; 66. Sus dos centrales son 58 y 60, y su promedio es 59.
Nueve jugadoras de baloncesto anotaron estos puntos en un partido (datos inventados): 4; 6; 7; 9; 10; 12; 15; 16; 20. ¿Cuál es Q₁?
La mediana es el quinto dato, 10, y no entra en las mitades. La mitad inferior es 4; 6; 7; 9: sus dos centrales son 6 y 7, y su promedio es 6,5.
Con los mismos puntos de las nueve jugadoras (4; 6; 7; 9; 10; 12; 15; 16; 20), ¿cuál es Q₃?
La mitad superior es 12; 15; 16; 20. Sus dos centrales son 15 y 16, y su promedio es 15,5. La caja de este grupo iría de 6,5 a 15,5.
Seis estudiantes anotaron cuántos minutos tardan en llegar al colegio (datos inventados): 7; 9; 10; 14; 15; 20. ¿Cuál es la mediana?
Con seis datos, los centrales son 10 y 14, y su promedio es 12. Si respondiste 12,5, calculaste la media, no la mediana.
Un curso tiene 36 estudiantes, todos con tiempos distintos. ¿Cuántos estudiantes quedan por debajo de Q₁?
Q₁ deja por debajo una cuarta parte de los datos: 36 ÷ 4 = 9. Por debajo de la mediana quedarían 18, y por debajo de Q₃, 27.
¿Verdadero o falso? En la figura de los entrenamientos, la mediana de B es mayor que la mediana de A.
La mediana de B es 56 y la de A es 63: la de B es menor. La caja de B está más a la izquierda.
¿Verdadero o falso? Al menos el 75 % de los tiempos de B son menores que la mediana de A.
Q₃ de B es 59 y la mediana de A es 63. Como Q₃ deja por debajo tres cuartas partes de los datos y 59 < 63, la afirmación es verdadera.
En un diagrama de caja, ¿qué parte de los datos queda dentro de la caja, entre Q₁ y Q₃?
De Q₁ a la mediana hay una cuarta parte, y de la mediana a Q₃ otra: en total, la mitad central. El largo de la caja dice qué tan juntos están esos datos, no cuántos son.
Dos grupos tienen la misma mediana, pero la caja del grupo P es mucho más corta que la del grupo R. ¿Qué conclusión es correcta?
Una caja corta es un rango intercuartil pequeño: la mitad central está más junta. El largo de la caja no dice cuántos datos hay, y una mediana igual no hace iguales a los grupos.
Reto
Abre el candado con los cuartiles.
Cada pista da un dígito de la clave. Calcula con el método de las mitades.
Reto
Completa los cinco números.
Diez estudiantes anotaron cuántos minutos leyeron el fin de semana (datos inventados): 5, 8, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 40. Elige el valor de cada hueco.
Reto
El crucigrama de la caja.
Lee cada pista y escribe la palabra. No lleva tildes.
Cierre
En resumen
Los cinco números son el mínimo, Q₁, la mediana, Q₃ y el máximo; parten los datos ordenados en cuatro tramos con más o menos la misma cantidad de datos.
El diagrama de caja dibuja una caja de Q₁ a Q₃, partida por la mediana, y dos bigotes hasta el mínimo y el máximo.
El largo de la caja es el rango intercuartil y contiene la mitad central de los datos; un tramo corto indica datos juntos, no menos datos.
Para comparar dos grupos se dibujan sus cajas en la misma escala y se miran la posición, la dispersión y el traslape.
Una conclusión responde la pregunta con los números a la vista y reconoce sus límites.
Vocabulario
- Cinco números
El mínimo, el primer cuartil (Q₁), la mediana, el tercer cuartil (Q₃) y el máximo de un conjunto de datos.
- Diagrama de caja
Gráfico que dibuja los cinco números sobre una escala: una caja de Q₁ a Q₃ partida por la mediana y dos bigotes hasta el mínimo y el máximo.
- Bigote
Cada uno de los segmentos que salen de la caja: uno llega hasta el mínimo y el otro hasta el máximo.
- Rango intercuartil
La diferencia Q₃ − Q₁. Es el largo de la caja y mide cuánto se dispersa la mitad central de los datos.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee la pregunta de los dos entrenamientos y pida que propongan cómo compararían las dos listas antes de ver la caja.
- Explicación · 15 min — Los cinco números con n impar y con n par (ejemplos 1 y 2); dibuje las dos cajas en el tablero sobre una misma escala.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; el candado y los huecos se pueden resolver en grupo. Pida que cada pareja dibuje en papel la caja de las jugadoras de baloncesto.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe en dos líneas la conclusión del estudio de los entrenamientos, con una cifra y un límite.
Preguntas para el salón
- Si dos grupos tienen la misma media, ¿pueden tener cajas muy distintas? Propongan un ejemplo.
- ¿Por qué el bigote derecho del entrenamiento A es tan largo? ¿Qué pasaría con la caja si quitáramos el dato de 85 s?
- ¿Qué haría falta para que la conclusión sobre los entrenamientos fuera más confiable?
Errores típicos
- Incluir la mediana en las dos mitades cuando n es impar. Tache la mediana en la lista ordenada antes de buscar Q₁ y Q₃, y cuente cuántos datos quedan a cada lado.
- Creer que un tramo más largo de la caja tiene más datos. Cuente con el grupo cuántos datos hay en cada tramo del entrenamiento A: son casi los mismos, aunque midan distinto.
- Calcular los cuartiles sin ordenar los datos. Dé una lista desordenada y pida que comparen el resultado con y sin ordenar.
- Concluir solo con la mediana, sin mirar la dispersión ni el traslape. Muestre dos cajas con la misma mediana y largos muy distintos y pregunte si los grupos son iguales.
Tarea sugerida
Registrar durante una semana cuántos minutos se tarda cada uno en llegar al colegio, juntar los datos de dos cursos, dibujar las dos cajas en la misma escala y escribir una conclusión de tres líneas con sus límites.