Técnicas de conteo
Lo que vas a aprender
- Contar los resultados de un experimento con un diagrama de árbol y con el principio multiplicativo.
- Distinguir un experimento con reemplazo de uno sin reemplazo y contar sus resultados.
- Calcular permutaciones y combinaciones, y decidir cuál corresponde a una situación según importe o no el orden.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
¿Cuántas claves distintas tiene el candado de tu locker? ¿De cuántas formas se pueden repartir el primero, el segundo y el tercer puesto de una carrera? ¿Cuántos comités de tres personas se pueden armar en tu salón? Hacer la lista completa de las posibilidades es lento y es fácil que se escape alguna, o que alguna se cuente dos veces.
Las técnicas de conteo son maneras de contar sin hacer la lista. Además, son la base de la probabilidad: para saber qué tan probable es algo, primero hay que saber cuántos resultados son posibles.
Antes de empezar necesitas manejar bien la multiplicación y las potencias de números naturales.
Explicación
Experimentos y resultados
Un experimento aleatorio es una acción cuyo resultado no se puede predecir aunque se repita en las mismas condiciones: lanzar una moneda, sacar una balota de una bolsa, sortear un puesto. Contar sus resultados posibles es la primera tarea.
El diagrama de árbol
Cuando el experimento ocurre por etapas, se puede dibujar un árbol. De un punto de partida salen tantas ramas como opciones tiene la primera etapa; de la punta de cada rama salen las opciones de la segunda etapa, y así sucesivamente. Cada camino completo, de la raíz a una hoja, es un resultado. El árbol tiene la ventaja de que muestra todos los resultados; su desventaja es que crece muy rápido.
El principio multiplicativo
Si una etapa se puede hacer de $m$ maneras y, para cada una de ellas, la siguiente se puede hacer de $n$ maneras, las dos etapas juntas se pueden hacer de $m \cdot n$ maneras. Con más etapas se sigue multiplicando. Es lo mismo que contar las hojas del árbol sin dibujarlo.
Cuidado: las opciones se multiplican cuando se eligen una de cada grupo. Se suman solo cuando se elige una sola cosa entre varios grupos (una sopa o un plato fuerte, no los dos).
Con reemplazo y sin reemplazo
Piensa en sacar balotas de una bolsa, una tras otra.
- Con reemplazo: cada balota se anota y se devuelve a la bolsa. En cada etapa están otra vez todas las opciones, así que pueden salir repetidas. Con $n$ opciones y $r$ etapas hay $n^r$ resultados.
- Sin reemplazo: la balota que sale no vuelve. En cada etapa hay una opción menos: $n$, luego $n-1$, luego $n-2$…, y una opción que ya salió no vuelve a salir.
Una clave en la que los dígitos se pueden repetir es un caso «con reemplazo»; repartir premios distintos entre personas, donde nadie recibe dos, es «sin reemplazo».
Permutaciones: importa el orden
Para ordenar $n$ objetos distintos hay $n$ opciones para el primer lugar, $n-1$ para el segundo, y así hasta $1$. Ese producto se llama factorial de $n$: $n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1$. Por convenio, $0! = 1$.
Si solo se llenan $r$ lugares con $n$ objetos, sin repetir y en un orden que importa, se tiene una permutación. Su número es
$$P(n, r) = n \cdot (n-1) \cdots (n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!}.$$
Combinaciones: no importa el orden
A veces solo importa quiénes quedan escogidos, no en qué orden: un comité sin cargos, los sabores de una copa de helado, las preguntas que contestas de un examen. Eso es una combinación. Cada grupo de $r$ objetos aparece $r!$ veces entre las permutaciones (una por cada orden), así que se divide:
$$C(n, r) = \frac{P(n, r)}{r!} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}.$$
¿Qué técnica uso?
Antes de calcular, hazte dos preguntas sobre la situación:
- ¿Se puede repetir? Si sí y el orden importa (como en una clave), es con reemplazo: principio multiplicativo, $n^r$. El caso con repetición y sin orden no se ve en 9.º.
- Si no se repite, ¿importa el orden? Si cambiar el orden da un resultado distinto (cargos, puestos, horarios), son permutaciones. Si da el mismo resultado (grupos, comités), son combinaciones.
Justificar la técnica es parte de la respuesta: un número sin explicación no dice si se contó bien.
Árbol de los uniformes: cada camiseta se combina con cada pantaloneta. Cada camino de la raíz a una hoja es un uniforme distinto.
Ejemplo resuelto
Del árbol al principio multiplicativo
El uniforme de deporte se arma con una camiseta (roja o azul) y una pantaloneta (negra, gris o blanca). ¿Cuántos uniformes distintos hay? ¿Y si además se eligen medias blancas o negras?
Ver la solución paso a paso
En el árbol, de la raíz salen 2 ramas (las camisetas) y de cada una salen 3 (las pantalonetas). Las hojas son los uniformes.
Para cada una de las 2 camisetas hay 3 pantalonetas, así que multiplicamos:
$$2 \cdot 3$$
Hay 6 uniformes, las mismas 6 hojas del árbol.
$$6$$
Con las medias aparece una tercera etapa de 2 opciones. Cada uno de los 6 uniformes se combina con cada color de medias:
$$2 \cdot 3 \cdot 2$$
Hay 12 uniformes. El árbol tendría 12 hojas: ya no vale la pena dibujarlo.
$$12$$
Respuesta: $12$
Ejemplo resuelto
Con reemplazo y sin reemplazo
Un candado tiene 3 ruedas y cada rueda trae los diez dígitos del 0 al 9. ¿Cuántas claves hay si los dígitos se pueden repetir? ¿Y si no se pueden repetir?
Ver la solución paso a paso
Con repetición. Cada rueda puede marcar cualquiera de los 10 dígitos, aunque otra rueda ya lo tenga: es como sacar una balota y devolverla. Son 3 etapas de 10 opciones:
$$10 \cdot 10 \cdot 10$$
Es decir, $n^r$ con $n = 10$ y $r = 3$:
$$10^{3}$$
Hay mil claves, desde 000 hasta 999.
$$1000$$
Sin repetición. La primera rueda tiene 10 opciones; la segunda, solo 9, porque no puede repetir la primera; la tercera, 8:
$$10 \cdot 9 \cdot 8$$
Hay 720 claves sin dígitos repetidos. Es un conteo sin reemplazo, y da menos que el de con reemplazo.
$$720$$
Respuesta: $720$
Ejemplo resuelto
Permutación o combinación
En un curso hay 8 candidatos. ¿De cuántas formas se pueden elegir presidente, vicepresidente y secretario? ¿Y de cuántas formas se puede elegir un comité de 3 personas sin cargos?
Ver la solución paso a paso
Con cargos. No se repite (nadie ocupa dos cargos) y el orden importa: si Ana es presidenta y Luis secretario no es lo mismo que al revés. Es una permutación, $P(8, 3)$: 8 opciones para presidente, 7 para vicepresidente y 6 para secretario.
$$8 \cdot 7 \cdot 6$$
Hay 336 formas de repartir los tres cargos.
$$336$$
Es lo que da la fórmula de las permutaciones: $P\left(8;\ 3\right) = 336$
Sin cargos. Ahora solo importa quiénes quedan. Cada grupo de 3 personas aparece en la lista anterior tantas veces como formas hay de ordenarlo, $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$. Dividimos:
$$\frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1}$$
Simplificamos:
$$\frac{336}{6}$$
Hay 56 comités distintos.
$$56$$
Es la combinación de 8 tomados de 3 en 3: $C\left(8;\ 3\right) = 56$
Respuesta: $56$
Práctica
La cafetería arma el almuerzo con una de 4 sopas, uno de 3 platos fuertes y uno de 2 jugos. ¿Cuántos almuerzos distintos se pueden armar?
Se elige una cosa de cada grupo, así que se multiplica: 4 · 3 · 2 = 24. Si sumaste (9), contaste como si se eligiera una sola cosa entre todas.
Un candado de maleta tiene 4 ruedas y cada una trae los diez dígitos. Si los dígitos se pueden repetir, ¿cuántas claves distintas hay?
Cada rueda tiene 10 opciones, sin importar lo que marquen las demás: 10 · 10 · 10 · 10 = 10⁴ = 10 000.
El mismo candado de 4 ruedas con los diez dígitos, pero ahora la clave no puede repetir dígitos. ¿Cuántas claves hay?
Sin reemplazo: 10 opciones para la primera rueda, 9 para la segunda, 8 para la tercera y 7 para la cuarta. 10 · 9 · 8 · 7 = 5040.
¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar 5 libros diferentes en un estante?
Son 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. 3125 = 5⁵ contaría libros repetidos, como si hubiera reemplazo, y 15 sale de sumar en vez de multiplicar.
En una carrera corren 7 atletas. ¿De cuántas formas se pueden repartir las medallas de oro, plata y bronce?
Nadie gana dos medallas y el orden importa: 7 · 6 · 5 = 210. 35 es la combinación (olvida el orden de las medallas) y 343 = 7³ permitiría que alguien ganara dos.
Hay que escoger 2 representantes, sin cargos, entre los 12 estudiantes de un grupo. ¿Cuántas parejas distintas se pueden escoger?
No se repite y el orden no importa: C(12, 2) = (12 · 11)/2 = 66. Si respondiste 132, contaste cada pareja dos veces.
En las pruebas de atletismo del colegio hay 6 pruebas y 4 franjas horarias. Cada participante presenta una prueba distinta en cada franja. ¿De cuántas formas puede organizar su jornada?
Las franjas son distintas, así que el orden importa, y no se repiten pruebas: 6 · 5 · 4 · 3 = 360. 15 = C(6, 4) contaría solo qué pruebas presenta, sin decir a qué hora.
¿Verdadero o falso? Escoger 2 de 6 estudiantes para una comisión da tantas posibilidades como escoger entre esos 6 un presidente y un tesorero.
La comisión es una combinación, C(6, 2) = 15; los cargos son una permutación, P(6, 2) = 30. Cada pareja de la comisión da dos repartos de cargos.
Lanzas una moneda 3 veces y después un dado de 6 caras. ¿Cuántos resultados distintos tiene el experimento?
La moneda da 2 opciones en cada lanzamiento y el dado 6: 2 · 2 · 2 · 6 = 48.
¿En cuál de estas situaciones el experimento es con reemplazo?
Solo en la primera vuelven a estar todas las opciones en cada etapa. En las otras, lo que sale (una carta, un premiado, un delegado) no puede volver a salir.
Una heladería tiene 8 sabores. Quieres una copa con 3 sabores distintos y no te importa en qué orden te los sirvan. ¿Qué técnica conviene usar para contar las copas posibles?
Las dos preguntas: ¿se repite? No. ¿Importa el orden? No, la misma copa servida en otro orden es la misma copa. Por eso son combinaciones: C(8, 3) = 56.
Reto
Claves con vocales.
Con las cinco vocales se forman claves de dos letras. Elige el número de cada hueco.
Reto
Abre el candado contando.
Cada pista da un dígito de la clave.
Reto
Busca las palabras del conteo.
Encuentra en la sopa las palabras de esta lección.
Cierre
En resumen
El diagrama de árbol muestra todos los resultados de un experimento por etapas; el principio multiplicativo los cuenta sin dibujarlo.
Con reemplazo cada etapa tiene otra vez todas las opciones (n^r resultados); sin reemplazo cada etapa tiene una opción menos.
Una permutación es una selección sin repetición en la que importa el orden; P(n, r) = n!/(n − r)!.
Una combinación es una selección sin repetición en la que no importa el orden; C(n, r) = n!/(r!(n − r)!).
Para elegir la técnica se pregunta primero si se puede repetir y después si importa el orden.
Vocabulario
- Diagrama de árbol
Dibujo que muestra, rama por rama, todos los resultados posibles de un experimento que ocurre por etapas.
- Principio multiplicativo
Si una etapa se puede hacer de m maneras y la siguiente de n maneras, las dos juntas se pueden hacer de m · n maneras.
- Factorial
El producto de los naturales desde n hasta 1. Se escribe n! y cuenta las formas de ordenar n objetos distintos.
- Permutación
Una selección ordenada de r objetos tomados de n, sin repetir. Su número es P(n, r) = n!/(n − r)!.
- Combinación
Una selección de r objetos tomados de n, sin repetir y sin que importe el orden. Su número es C(n, r) = n!/(r!(n − r)!).
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte cuántas claves tiene un candado de tres ruedas y deje que estimen antes de calcular.
- Explicación · 15 min — Árbol de los uniformes en el tablero, principio multiplicativo, con y sin reemplazo (ejemplo del candado) y la diferencia entre cargos y comité (ejemplo 3).
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Antes de cada cálculo, la pareja dice en voz alta si se repite y si importa el orden. Los retos se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante inventa una situación de permutación y otra de combinación con los mismos números.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué el número de comités es menor que el número de formas de repartir cargos con las mismas personas?
- En una clave de candado, ¿importa el orden? ¿Es una combinación, como dice su nombre en la vida diaria?
- ¿Cuándo vale la pena dibujar el árbol completo y cuándo no?
Errores típicos
- Sumar las opciones de cada etapa en lugar de multiplicarlas. Dibuje el árbol de los uniformes y cuente las hojas: son 6, no 5.
- Usar n^r cuando no hay reemplazo. Pida que escriban la lista de claves de dos dígitos tomados de {1; 2; 3} con y sin repetición, y que comparen.
- Confundir permutaciones con combinaciones. Con tres estudiantes reales al frente, muestre que el comité {Ana; Luis; Sara} es uno solo, pero da 6 repartos de cargos.
- Creer que 0! = 0. Use P(n, n) = n!/0! = n!: para que funcione, 0! tiene que valer 1.
Tarea sugerida
Contar, justificando la técnica, cuántas placas de carro se forman con 3 letras y 3 dígitos si se pueden repetir, y cuántas si no se pueden repetir ni letras ni dígitos (con 26 letras).