Probabilidad de eventos compuestos
Lo que vas a aprender
- Calcular la probabilidad de un evento como la razón entre casos favorables y casos posibles, y la de su complemento.
- Estimar una probabilidad con la razón entre frecuencias de un experimento repetido.
- Calcular la probabilidad de eventos compuestos con la regla de la suma (eventos mutuamente excluyentes) y la regla de la multiplicación (eventos independientes).
- Calcular probabilidades de extracciones con reemplazo y sin reemplazo, y explicar por qué dan distinto.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Si sacas dos balotas de una bolsa, ¿cambia algo devolver la primera antes de sacar la segunda? En un juego de mesa, ¿qué es más fácil, sacar dos seis seguidos o sacar un seis o un uno? Para responder hay que medir qué tan posible es cada cosa, y eso es la probabilidad: un número entre 0 y 1.
En esta lección aprendes a calcular probabilidades de eventos compuestos, los que juntan dos o más cosas con «y» o con «o», y a ver la diferencia entre sacar algo devolviéndolo y sin devolverlo.
Antes de empezar necesitas operar fracciones y contar resultados con el principio multiplicativo, que viste en la lección anterior.
Explicación
Casos favorables y casos posibles
El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos sus resultados posibles. Al lanzar un dado es $\{1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6\}$. Un evento es una parte de ese conjunto: «sacar un número par» es el evento $\{2;\ 4;\ 6\}$.
Si todos los resultados tienen la misma posibilidad de salir (un dado sin trampa, una bolsa con balotas del mismo tamaño), la probabilidad de un evento $A$ es la razón
$$P(A) = \frac{\text{casos favorables a } A}{\text{casos posibles}}.$$
Es la regla de Laplace. De ella salen tres hechos útiles:
- $0 \le P(A) \le 1$. Un evento imposible tiene probabilidad 0; uno seguro, 1.
- El complemento de $A$, «no ocurre $A$», reúne los casos que no son favorables. Por eso $P(\text{no } A) = 1 - P(A)$.
- Una probabilidad se puede escribir como fracción, como decimal o como porcentaje: $\tfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\%$.
La razón entre frecuencias
Cuando los resultados no son igual de posibles, como al lanzar una tachuela o una tapa de gaseosa, la regla de Laplace no sirve. Entonces se repite el experimento muchas veces y se calcula la frecuencia relativa: las veces que ocurrió el evento divididas entre las veces que se repitió. Esa razón estima la probabilidad, y la estimación mejora cuantas más repeticiones haya.
Eventos compuestos con «o»: la regla de la suma
Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir a la vez. Al lanzar un dado, «sacar 1» y «sacar 6» lo son; «sacar par» y «sacar más de 3» no, porque el 4 y el 6 están en los dos. Si $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes,
$$P(A \text{ o } B) = P(A) + P(B).$$
Si no lo son, sumar cuenta dos veces los resultados comunes. En ese caso, lo más seguro es contar directamente los casos favorables a «$A$ o $B$».
Eventos compuestos con «y»: la regla de la multiplicación
Dos eventos son independientes si el resultado de uno no cambia la probabilidad del otro: lanzar una moneda y después un dado, o lanzar dos veces la misma moneda. Para eventos independientes,
$$P(A \text{ y } B) = P(A) \cdot P(B).$$
Es el mismo principio multiplicativo de la lección anterior: los casos favorables se multiplican y los casos posibles también.
Con reemplazo y sin reemplazo
Al sacar dos balotas de una bolsa, una tras otra, hay dos maneras de hacerlo:
- Con reemplazo: la primera balota se devuelve. La bolsa queda igual que al comienzo, y las dos extracciones son independientes: se multiplica la misma fracción dos veces.
- Sin reemplazo: la primera balota no vuelve. Para la segunda extracción hay una balota menos en total y, si la primera fue del color que buscamos, una menos de ese color. La segunda probabilidad cambia: se multiplica la primera fracción por la segunda ya actualizada.
Por eso, para sacar dos balotas del mismo color, sin reemplazo la probabilidad es menor: después de sacar una, queda una menos de ese color.
Ejemplo resuelto
Laplace y el complemento
Lanzas un dado de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un múltiplo de 3? ¿Y de no sacarlo?
Ver la solución paso a paso
Los casos posibles son 6. Los múltiplos de 3 en el dado son 3 y 6: hay 2 casos favorables.
La probabilidad es favorables sobre posibles:
$$\frac{2}{6}$$
Simplificamos:
$$\frac{1}{3}$$
No sacar un múltiplo de 3 es el complemento:
$$1 - \frac{1}{3}$$
Resultado: $\tfrac{2}{3}$. Coincide con contar los cuatro casos favorables 1, 2, 4 y 5 entre seis.
$$\frac{2}{3}$$
Respuesta: $\frac{2}{3}$
Ejemplo resuelto
La regla de la suma
Una bolsa tiene 5 balotas rojas, 4 azules y 3 verdes, todas del mismo tamaño. Sacas una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja o verde?
Ver la solución paso a paso
Hay $5 + 4 + 3 = 12$ balotas. Una balota no puede ser roja y verde a la vez, así que los eventos son mutuamente excluyentes y las probabilidades se suman:
$$\frac{5}{12} + \frac{3}{12}$$
Sumamos las fracciones, que tienen el mismo denominador:
$$\frac{8}{12}$$
Simplificamos:
$$\frac{2}{3}$$
Es lo mismo que contar directamente: 8 de las 12 balotas son rojas o verdes.
$$\frac{5 + 3}{5 + 4 + 3} = \frac{2}{3}$$
Respuesta: $\frac{2}{3}$
Ejemplo resuelto
Dos extracciones, con reemplazo y sin reemplazo
De la misma bolsa (5 rojas, 4 azules y 3 verdes) sacas dos balotas, una tras otra. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean rojas si devuelves la primera? ¿Y si no la devuelves?
Ver la solución paso a paso
En la bolsa hay $5 + 4 + 3 = 12$ balotas.
Con reemplazo. La bolsa vuelve a tener 12 balotas y 5 rojas, así que la segunda extracción tiene la misma probabilidad que la primera. Multiplicamos:
$$\frac{5}{12} \cdot \frac{5}{12}$$
Resultado:
$$\frac{25}{144}$$
Sin reemplazo. La primera es roja con probabilidad $\tfrac{5}{12}$. Si salió roja, quedan 11 balotas y solo 4 rojas, así que la segunda es roja con probabilidad $\tfrac{4}{11}$:
$$\frac{5}{12} \cdot \frac{4}{11}$$
Resultado:
$$\frac{5}{33}$$
Comparamos. Sin reemplazo la probabilidad es menor, porque después de la primera roja queda una roja menos:
$$\frac{5}{33} < \frac{25}{144}$$
Saca una balota y mira cómo queda la bolsa: no se devuelve. Si salió roja, para la segunda quedan 4 rojas entre 11 balotas. Por eso sacar dos rojas sin devolver tiene probabilidad 5/12 · 4/11 = 5/33.
Ejemplo resuelto
Eventos independientes
Lanzas una moneda y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara y un número mayor que 4?
Ver la solución paso a paso
Lo que salga en la moneda no cambia lo que sale en el dado: los eventos son independientes. La probabilidad de cara es $\tfrac{1}{2}$, y la de un número mayor que 4 (el 5 o el 6) es $\tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3}$. Multiplicamos:
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$$
Resultado:
$$\frac{1}{6}$$
Comprobación contando. El experimento tiene $2 \cdot 6 = 12$ resultados igual de posibles, y solo 2 son favorables: cara y 5, cara y 6.
$$\frac{2}{12}$$
Da lo mismo:
$$\frac{1}{6}$$
Respuesta: $\frac{1}{6}$
Cada punto es un resultado de lanzar el dado (6 columnas) y la moneda (2 filas): 6 × 2 = 12 casos igual de probables. Arrastra la esquina hasta 6 × 6 para ver los 36 casos de dos dados.
Práctica
Una urna tiene 3 balotas rojas y 7 azules. Sacas una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja?
Hay 3 casos favorables entre 10 posibles: 3/10. Si respondiste 3/7, dividiste entre las azules, no entre el total.
Una ruleta tiene 8 sectores iguales numerados del 1 al 8. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número mayor que 5? Escríbela como fracción.
Los números mayores que 5 son 6, 7 y 8: tres casos favorables entre ocho posibles.
Lanzas un dado de 6 caras. ¿Cuál es la probabilidad de no sacar un 6? Escríbela como fracción.
Es el complemento de sacar 6: 1 − 1/6 = 5/6. También se puede contar: 1, 2, 3, 4 y 5 son cinco casos de seis.
Un grupo de estudiantes lanzó una tachuela 50 veces y cayó con la punta hacia arriba 18 veces (datos inventados). Con la razón entre frecuencias, estima la probabilidad de que caiga con la punta hacia arriba. Escríbela como decimal.
La frecuencia relativa es 18/50 = 0,36. Es una estimación: con más lanzamientos sería más confiable.
Una ruleta tiene sectores iguales: 3 rojos, 4 azules y 1 amarillo. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en rojo o en amarillo? Escríbela como fracción simplificada.
Rojo y amarillo son mutuamente excluyentes: 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2.
La urna tiene 3 balotas rojas y 7 azules. Sacas una, la devuelves, y sacas otra. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean rojas?
Con reemplazo las extracciones son independientes: 3/10 · 3/10 = 9/100. 1/15 sería sin reemplazo, y 3/5 sale de sumar en lugar de multiplicar.
La urna tiene 3 balotas rojas y 7 azules. Sacas una y, sin devolverla, sacas otra. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean rojas?
La primera es roja con probabilidad 3/10. Si salió roja, quedan 9 balotas y 2 rojas: 3/10 · 2/9 = 6/90 = 1/15. 9/100 olvida que no hay reemplazo, y 47/90 suma en lugar de multiplicar.
Lanzas una moneda y un dado de 6 caras. ¿Cuál es la probabilidad de obtener sello y un número par?
Son eventos independientes: 1/2 · 3/6 = 1/4. Si sumaste 1/2 + 1/2 = 1, dirías que el evento es seguro, y no lo es.
¿Verdadero o falso? Es más probable sacar dos seis seguidos con un dado que sacar un seis o un uno en un solo lanzamiento.
Dos seis seguidos son eventos independientes: 1/6 · 1/6 = 1/36. Un seis o un uno son mutuamente excluyentes: 1/6 + 1/6 = 1/3. Lo segundo es doce veces más probable.
En un grupo de 5 estudiantes hay 2 mujeres y 3 hombres. Se escogen 2 estudiantes al azar para una comisión. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean mujeres? Escríbela como fracción.
Hay C(5, 2) = 10 comisiones posibles y solo una tiene a las dos mujeres: 1/10. Sin reemplazo da lo mismo: 2/5 · 1/4 = 2/20 = 1/10.
Al lanzar un dado, ¿cuáles de estos dos eventos son mutuamente excluyentes?
El 5 no es par, así que esos dos eventos no tienen resultados en común. En las otras parejas sí los hay: el 4 y el 6, el 2, y el 1 y el 3.
¿En cuál de estas situaciones los dos eventos son independientes?
Lo que salga en la moneda no cambia las probabilidades del dado. En las otras situaciones no hay reemplazo: lo que sale primero cambia lo que queda para la segunda vez.
Reto
Dos balotas de una bolsa.
Una bolsa tiene 2 balotas rojas y 3 azules. Elige la probabilidad de cada hueco.
Reto
Abre el candado contando casos.
Cada pista da un dígito: el número de casos que se pide.
Reto
El crucigrama de la probabilidad.
Lee cada pista y escribe la palabra. No lleva tildes.
Cierre
En resumen
Si los resultados son igual de posibles, la probabilidad de un evento es casos favorables sobre casos posibles; siempre está entre 0 y 1.
La probabilidad del complemento es 1 menos la del evento.
Cuando los resultados no son igual de posibles, la razón entre frecuencias de muchas repeticiones estima la probabilidad.
Para eventos mutuamente excluyentes, P(A o B) = P(A) + P(B); para eventos independientes, P(A y B) = P(A) · P(B).
Con reemplazo la segunda extracción tiene la misma probabilidad que la primera; sin reemplazo hay que actualizarla, y para dos del mismo color da menos.
Vocabulario
- Espacio muestral
El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
- Evento
Un conjunto de resultados del espacio muestral, por ejemplo «sacar un número par».
- Eventos mutuamente excluyentes
Eventos que no pueden ocurrir a la vez: no tienen resultados en común.
- Eventos independientes
Eventos en los que el resultado de uno no cambia la probabilidad del otro.
- Frecuencia relativa
La razón entre las veces que ocurrió un evento y las veces que se repitió el experimento.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte si es más fácil sacar dos seis seguidos con un dado o sacar un seis o un uno, y anote las apuestas del grupo.
- Explicación · 15 min — Laplace y complemento con el dado; la bolsa de balotas para la regla de la suma y para comparar con reemplazo y sin reemplazo (ejemplos 2 y 3).
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Si hay tiempo, que cada pareja lance una tapa de gaseosa 20 veces y que el curso junte los datos para estimar la probabilidad con la razón entre frecuencias.
- Cierre · 5 min — Vuelva a la pregunta del inicio y resuélvanla con las reglas: 1/36 frente a 1/3.
Preguntas para el salón
- Si en 10 lanzamientos de una moneda salen 7 caras, ¿la probabilidad de cara es 7/10? ¿Qué pasaría con 1000 lanzamientos?
- ¿Por qué al sacar sin reemplazo cambia la probabilidad de la segunda balota?
- ¿Pueden dos eventos ser mutuamente excluyentes e independientes a la vez? Prueben con «sacar 1» y «sacar 6» en un dado: si salió 1, ¿qué probabilidad queda de que haya salido 6? (Para el docente: no, salvo que uno de los dos sea imposible; si son excluyentes, que ocurra uno deja en 0 la probabilidad del otro.)
Errores típicos
- Dividir los casos favorables entre los desfavorables en lugar de entre el total. Pida que escriban siempre el total de casos posibles antes de armar la fracción.
- Usar la misma fracción en las dos extracciones cuando no hay reemplazo. Haga la extracción con balotas reales y pregunte cuántas quedan en la bolsa antes de la segunda.
- Sumar probabilidades de eventos que deben ocurrir los dos («y»). Muestre que sumar puede dar más de 1, lo que no puede ser una probabilidad; con «y» se multiplica.
- Sumar probabilidades de eventos que no son mutuamente excluyentes. Con un dado, compare P(par) + P(mayor que 3) con el conteo directo de {2; 4; 5; 6}.
Tarea sugerida
Lanzar una moneda 40 veces y anotar los resultados; calcular la frecuencia relativa de cara y compararla con 1/2. Además, calcular la probabilidad de sacar dos ases de una baraja de 40 cartas con 4 ases, con y sin reemplazo.