La ley combinada y la ecuación de estado
Lo que vas a aprender
- Calcular una propiedad final de un gas cuando cambian a la vez la presión, el volumen y la temperatura, con la ley combinada.
- Usar la ecuación de estado PV = nRT para hallar la presión, el volumen, la temperatura o los moles de un gas.
- Calcular el volumen de un gas a partir de su masa y la masa molar de un gas a partir de sus condiciones.
- Explicar de dónde sale el volumen molar de 22,4 L en condiciones normales y por qué cambia cuando cambian la temperatura o la presión.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la vida real casi nunca cambia una sola cosa. Un globo que sube por una montaña encuentra menos presión y, a la vez, aire más frío. El aire que entra a una bomba de bicicleta se comprime y se calienta al mismo tiempo. Las leyes de la lección anterior fijaban dos cantidades; ahora vas a juntarlas en una sola ecuación que deja cambiar todo a la vez.
Además, vas a conocer la ecuación más usada de la química de gases, $PV = nRT$. Con ella se puede saber cuántos moles hay en un recipiente sin pesarlos, o qué volumen ocupará el gas que sale de una reacción, que es el tema de la próxima lección.
Antes de empezar necesitas las leyes de Boyle, Charles y Gay-Lussac, la conversión de °C a kelvin y el cálculo de moles con la masa molar.
Explicación
La ley combinada
Las tres leyes de la lección anterior dicen que, para una misma cantidad de gas, $PV$ es constante si $T$ no cambia, $V/T$ es constante si $P$ no cambia y $P/T$ es constante si $V$ no cambia. Las tres caben en una sola expresión: el cociente $\dfrac{PV}{T}$ no cambia mientras no cambien los moles. Es la ley combinada:
$$\frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2} \qquad (n \text{ constante})$$
Si tachas la cantidad que se mantiene fija, recuperas cada ley: sin las $T$ queda la de Boyle, sin las $P$ la de Charles y sin las $V$ la de Gay-Lussac. Por eso basta aprender esta. Las reglas son las mismas de antes: la temperatura en kelvin, y las presiones de los dos estados en la misma unidad, igual que los volúmenes.
La ecuación de estado
Falta la cuarta cantidad, los moles. A la misma presión y temperatura, el doble de gas ocupa el doble de volumen; es la ley de Avogadro: volúmenes iguales de gases distintos, a la misma presión y temperatura, contienen el mismo número de moles. Con eso, el cociente $\dfrac{PV}{T}$ resulta proporcional a $n$, y la constante de proporcionalidad es la misma para cualquier gas ideal. Se llama $R$:
$$PV = nRT$$
Esta es la ecuación de estado del gas ideal. En esta unidad usamos el valor redondeado $R = 0{,}082\ \text{atm·L/(mol·K)}$. Las unidades de $R$ mandan: para usarla, la presión va en atm, el volumen en litros, la cantidad en moles y la temperatura en kelvin. Si un dato viene en mmHg o en mL, se convierte primero.
Fíjate en que la ecuación no pregunta de qué gas se trata. Un mol de oxígeno y un mol de helio, en recipientes iguales y a la misma temperatura, ejercen la misma presión: la presión depende de cuántas partículas chocan, no de cuáles son. Lo que sí depende del gas es la masa: si el dato viene en gramos, los moles salen de la masa molar, $n = m/M$.
Las condiciones normales y el volumen molar
Se llaman condiciones normales a $0\ °\text{C}$ ($273\ \text{K}$) y $1\ \text{atm}$. Con $PV = nRT$ se calcula cuánto ocupa un mol de gas en esas condiciones, y el resultado es aproximadamente $22{,}4\ \text{L}$, el volumen molar en condiciones normales.
Ese número es el de 0 °C y 1 atm. Si cambia la temperatura y la presión no, o al revés, el volumen de un mol cambia: a una temperatura mayor el mismo mol ocupa más; a una presión mayor, menos. Usar 22,4 L por mol en un laboratorio a temperatura ambiente y a la presión del aire es un error de concepto, aunque la cuenta parezca más corta. Fuera de las condiciones normales, lo seguro es $PV = nRT$.
Algunos libros toman como referencia 0 °C y 1 bar, una presión un poco menor que 1 atm, y dan unos 22,7 L por mol. En este curso usamos 1 atm y 22,4 L.
¿Cuál de las dos ecuaciones uso?
- Si el problema habla de dos estados de la misma muestra de gas (antes y después) y no menciona moles ni gramos, usa la ley combinada. Ahí las presiones y los volúmenes pueden ir en cualquier unidad, siempre que sea la misma en los dos estados; solo la temperatura tiene que ir en kelvin.
- Si el problema habla de un solo estado y aparecen moles o gramos, o te los piden, usa PV = nRT. Ahí todas las unidades quedan fijadas por $R$.
Antes de reemplazar, haz una tabla con los datos ya convertidos. Al final, revisa si el resultado tiene sentido: un gas que se comprime y se enfría tiene que ocupar menos, y más moles en el mismo recipiente tienen que dar más presión.
Los datos de los problemas son inventados para practicar.
Volumen de 1 mol de gas ideal a 1 atm según PV = nRT: V = 0,082·T, con T en kelvin. A 273 K (0 °C) ocupa unos 22,4 L; a 300 K (27 °C) ya ocupa 24,6 L.
Un mol de gas a 1 atm, como en la figura, empieza a 0 °C (273 K), donde ocupa unos 22,4 L. Calienta hasta 27 °C (300 K): el volumen queda multiplicado por 1,10 y llega a unos 24,6 L. Por eso el volumen molar cambia con la temperatura.
Ejemplo resuelto
Cambian la presión y la temperatura a la vez
Un gas ocupa 9 L a 1 atm y 27 °C. ¿Qué volumen ocupa a 3 atm y 127 °C?
Ver la solución paso a paso
Cambian las tres cantidades y los moles no: es la ley combinada, con las temperaturas en kelvin. $\frac{1 \cdot 9}{27 + 273} = \frac{3V}{127 + 273}$
Sumamos: $\frac{9}{300} = \frac{3V}{400}$
Despejamos el volumen: $V = \frac{9 \cdot 400}{300 \cdot 3}$
El volumen final, en litros: $V = 4$
Tiene sentido: triplicar la presión lo comprime y calentarlo lo expande; gana la compresión, y el volumen baja de 9 L a 4 L.
$$4 < 9$$
Respuesta: El gas ocupa 4 L.
Ejemplo resuelto
La presión a partir de la masa
Un recipiente de 8,2 L contiene 16 g de oxígeno, O₂, a 27 °C. ¿Qué presión ejerce? Usa R = 0,082 atm·L/(mol·K).
Ver la solución paso a paso
El dato viene en gramos, así que primero calculamos los moles con la masa molar del O₂, 2 · 16 = 32 g/mol:
$$\frac{16}{M_m\left(\mathrm{O_{2}}\right)}$$
Hay $0{,}5$ mol de O₂.
Planteamos PV = nRT con la temperatura en kelvin: $P \cdot 8{,}2 = 0{,}5 \cdot 0{,}082 \cdot \left(27 + 273\right)$
Multiplicamos el lado derecho: $8{,}2P = 12{,}3$
Dividimos entre 8,2: $P = 1{,}5$
Respuesta: El oxígeno ejerce 1,5 atm.
Ejemplo resuelto
El volumen de un mol, en condiciones normales y fuera de ellas
¿Qué volumen ocupa 1 mol de gas a 0 °C y 1 atm? ¿Y a 25 °C y 1 atm?
Ver la solución paso a paso
Despejamos V en PV = nRT, con la temperatura en kelvin: $1V = 1 \cdot 0{,}082 \cdot \left(0 + 273\right)$
El volumen, en litros: $V = 22{,}386$
Redondeado a un decimal son 22,4 L: el volumen molar en condiciones normales.
$$22{,}35 < 0{,}082 \cdot \left(0 + 273\right) < 22{,}45$$
A 25 °C, con la misma presión: $1V = 1 \cdot 0{,}082 \cdot \left(25 + 273\right)$
El volumen, en litros: $V = 24{,}436$
Son unos 24,4 L, no 22,4 L: a 25 °C y 1 atm el volumen molar es otro.
$$24{,}35 < 0{,}082 \cdot \left(25 + 273\right) < 24{,}45$$
Respuesta: A 0 °C y 1 atm ocupa unos 22,4 L; a 25 °C y 1 atm, unos 24,4 L.
Ejemplo resuelto
Identificar un gas por su masa molar
Una muestra de 2,8 g de un gas ocupa 2,46 L a 1 atm y 27 °C. ¿Cuál es su masa molar?
Ver la solución paso a paso
Primero los moles, despejando n en PV = nRT: $1 \cdot 2{,}46 = n \cdot 0{,}082 \cdot \left(27 + 273\right)$
El lado derecho es 24,6 n: $2{,}46 = 24{,}6n$
La muestra tiene $n = 0{,}1$ mol.
La masa molar es la masa dividida entre los moles, en g/mol:
$$\frac{2{,}8}{0{,}1}$$
Es $28$ g/mol.
Es la masa molar del nitrógeno, N₂; con este dato el gas podría ser nitrógeno.
$$M_m\left(\mathrm{N_{2}}\right) = 28$$
Respuesta: La masa molar es 28 g/mol.
Práctica
Un gas ocupa 2 L a 1 atm y 27 °C. ¿Qué volumen ocupa a 2 atm y 327 °C, en litros?
V₂ = P₁V₁T₂/(T₁P₂) = 1 · 2 · 600 / (300 · 2) = 2 L. Duplicar la presión lo comprime a la mitad y duplicar la temperatura absoluta lo expande al doble: los dos efectos se cancelan.
Un gas ocupa 5 L a 1 atm y 7 °C. Se comprime hasta 2 L y se calienta hasta 147 °C. ¿Qué presión tiene, en atm? Escribe el número con coma decimal.
P₂ = P₁V₁T₂/(T₁V₂) = 1 · 5 · 420 / (280 · 2) = 3,75 atm.
Un recipiente de 4,1 L tiene gas a 3 atm y 27 °C. ¿Cuántos moles de gas contiene? Usa R = 0,082 atm·L/(mol·K) y escribe el número con coma decimal.
n = PV/(RT) = 3 · 4,1 / (0,082 · 300) = 12,3 / 24,6 = 0,5 mol.
¿Qué volumen ocupan 2 mol de gas a 2 atm y 127 °C? Usa R = 0,082 atm·L/(mol·K) y escribe el número con coma decimal.
V = nRT/P = 2 · 0,082 · 400 / 2 = 32,8 L.
¿Qué volumen ocupan 22 g de CO₂ a 0 °C y 1 atm? Usa R = 0,082 atm·L/(mol·K) y redondea a un decimal.
22 g ÷ 44 g/mol = 0,5 mol; V = 0,5 · 0,082 · 273 / 1 ≈ 11,2 L. Como son condiciones normales, también sale con 0,5 · 22,4 L.
Un mol de gas ocupa 24,6 L a 1 atm. ¿A qué temperatura está, en °C? Usa R = 0,082 atm·L/(mol·K).
T = PV/(nR) = 24,6 / 0,082 = 300 K, que son 27 °C.
¿Qué presión ejercen 8 g de metano, CH₄, en un recipiente de 4,1 L a 27 °C? Usa R = 0,082 atm·L/(mol·K).
8 g ÷ 16 g/mol = 0,5 mol; P = 0,5 · 0,082 · 300 / 4,1 = 3 atm. La opción 0,27 sale de dejar la temperatura en °C, y la 48 de usar los gramos como si fueran moles.
¿Verdadero o falso? A 25 °C y 1 atm, un mol de gas ideal ocupa 22,4 L. Usa R = 0,082 atm·L/(mol·K).
22,4 L es el volumen molar en condiciones normales, a 0 °C. A 25 °C el mol ocupa 0,082 · 298 ≈ 24,4 L.
¿Verdadero o falso? Un gas ocupa 3 L a 1 atm y 300 K; a 2 atm y 600 K vuelve a ocupar 3 L.
Ley combinada: V₂ = 1 · 3 · 600 / (300 · 2) = 3 L. El doble de presión y el doble de temperatura absoluta se compensan.
¿En cuál de estas condiciones ocupa un mol de gas aproximadamente 22,4 L?
El volumen de un mol depende de la presión y de la temperatura (V = RT/P). El valor de 22,4 L sale de hacer la cuenta a 273 K y 1 atm, las condiciones normales; a 25 °C y 1 atm ya son unos 24,4 L. Otra pareja con la misma razón T/P, como 546 K y 2 atm, también daría 22,4 L; las otras tres opciones, en cambio, son falsas.
Vas a usar PV = nRT con R = 0,082 atm·L/(mol·K). Te dan la presión en mmHg, el volumen en mL y la temperatura en °C. ¿Qué tienes que hacer antes de reemplazar?
Las unidades de R dicen en qué unidades tienen que ir los datos: atm, litros, moles y kelvin.
Reto
Completa el volumen de un mol.
Usa V = nRT/P con n = 1 mol, R = 0,082 atm·L/(mol·K) y la temperatura en kelvin.
Reto
Abre el candado de la ecuación de estado.
Cada respuesta es una cifra del código. Usa R = 0,082 atm·L/(mol·K) y la temperatura en kelvin.
Cierre
En resumen
Ley combinada: para una cantidad fija de gas, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂, con la temperatura en kelvin; de ella salen las leyes de Boyle, Charles y Gay-Lussac.
Ecuación de estado: PV = nRT, con R = 0,082 atm·L/(mol·K); P en atm, V en litros, n en moles y T en kelvin.
Si la cantidad de gas viene en gramos, los moles salen de la masa molar; y con los moles y la masa se calcula la masa molar de un gas desconocido.
En condiciones normales (0 °C y 1 atm) un mol de gas ocupa aproximadamente 22,4 L; fuera de ellas, lo seguro es PV = nRT.
Vocabulario
- Ley combinada
Para una cantidad fija de gas, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂, con la temperatura en kelvin.
- Ecuación de estado del gas ideal
PV = nRT: relaciona la presión, el volumen, los moles y la temperatura absoluta de un gas.
- Constante de los gases
R = 0,082 atm·L/(mol·K), redondeada; con ese valor, P va en atm, V en litros, n en moles y T en kelvin.
- Condiciones normales
0 °C (273 K) y 1 atm. En ellas un mol de gas ideal ocupa aproximadamente 22,4 L.
- Volumen molar
Volumen que ocupa un mol de gas a una presión y una temperatura dadas.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte qué le pasa a un globo que sube a una montaña, donde hay menos presión y más frío. Deje que discutan cuál de los dos efectos gana.
- Explicación · 25 min — La ley combinada como fusión de las tres leyes; la ecuación de estado con las unidades de R. Resuelva en el tablero el ejemplo del oxígeno y el del volumen molar, y subraye que 22,4 L es el volumen de un mol en condiciones normales (0 °C y 1 atm): con otra temperatura u otra presión se calcula con PV = nRT.
- Práctica · 20 min — Preguntas y retos en parejas. Exija que cada respuesta parta de una tabla con los datos ya convertidos a atm, litros, moles y kelvin.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe por qué un mol de gas no ocupa 22,4 L en el salón de clase.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué en PV = nRT no aparece de qué gas se trata?
- Si tachamos la temperatura en la ley combinada, ¿qué ley queda? ¿Y si tachamos la presión?
- ¿Ocupa más un mol de gas en una ciudad fría o en una caliente, si la presión es la misma?
Errores típicos
- Usar 22,4 L por mol en cualquier condición. Pida que calculen con PV = nRT el volumen de un mol a la temperatura del salón y lo comparen con 22,4 L.
- Reemplazar en PV = nRT los gramos en lugar de los moles. Que escriban la unidad junto a cada dato antes de reemplazar; las unidades de R piden moles.
- Dejar la temperatura en °C o la presión en mmHg al usar R = 0,082. Muestre el distractor de 0,27 atm del metano: es lo que sale con °C. Pida que revisen las unidades de R antes de reemplazar.
Tarea sugerida
Calcular la presión de 4 g de helio (He) en un recipiente de 12,3 L a 27 °C, y el volumen que ocuparían a 0 °C y 1 atm, por PV = nRT y con el volumen molar; comparar los dos resultados.